广东省五校高三数学联考试卷 理（含解析）.doc

广东省2015届高三五校联考数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知a=x|x24x5=0，b=x|x2=1，则ab=（）a1b1，1，5c1d1，1，52（5分）设条件p：a0；条件q：a2+a0，那么p是q的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件3（5分）已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）ay=2xbcd4（5分）下列命题不正确的是（）a如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的任意直线，则两平面垂直b如果一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面，则两平面平行c如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行d如果两条不同的直线在一平面内的射影互相垂直，则这两条直线垂直5（5分）已知函数f（x）=则下列结论正确的是（）af（x）是偶函数bf（x）的值域为1+）cf（x）是周期函数df（x）是增函数6（5分）在abc中，ab=2，ac=3，=1，则bc=（）abc2d7（5分）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（）abcd8（5分）在空间中，过点a作平面的垂线，垂足为b，记b=f（a）设，是两个不同的平面，对空间任意一点p，p，q1=ff（p），q2=ff（p），恒有pq1=pq2，则（）a平面与平面所成的（锐）二面角为45b平面与平面垂直c平面与平面平行d平面与平面所成的（锐）二面角为60二、填空题：本大共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分）（一）必做题（913题）9（5分）复数的值是10（5分）若数列an满足：a1=1，an+1=），其前n项和为sn，则=11（5分）执行如图的程序框图，那么输出s的值是12（5分）已知不等式组所表示的平面区域的面积为4，则k的值为13（5分）将a，b，c，d，e，f六个字母排成一排，且a，b均在c的同侧，则不同的排法共有种（用数字作答）选做题（1415题，考生只能从中选做一题，两题都做记第一题的得分）（坐标系与参数方程）14（5分）（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系下，曲线（t为参数），曲线（a为参数）若曲线cl、c2有公共点，则实数a的取值范围（几何证明选讲）15如图，点a，b，c是圆o上的点，且，则aob对应的劣弧长为三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16（12分）在平面直角坐标系下，已知a（2，0），b（0，2），c（cos2x，sin2x），（1）求f（x）的表达式和最小正周期；（2）当时，求f（x）的值域17（12分）某校参加2014-2015学年高一年级期2015届中考试的学生中随机抽出60名学生，将其数学成绩分成六段40，50）、50，60）、90，100后得到如图部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；（3）若从60名学生中随抽取2人，抽到的学生成绩在40，60）记0分，在60，80）记1分，在80，100记2分，用表示抽取结束后的总记分，求的分布列和数学期望18（14分）如图，abc内接于圆o，ab是圆o的直径，四边形dcbe为平行四边形，dc平面abc，ab=2，已知ae与平面abc所成的角为，且（1）证明：平面acd平面ade；（2）记ac=x，v（x）表示三棱锥acbe的体积，求v（x）的表达式；（3）当v（x）取得最大值时，求二面角dabc的大小19（14分）已知数列an中，a1=3，a2=5，其前n项和sn满足sn+sn2=2sn1+2n1（n3）令bn=（）求数列an的通项公式；（）若f（x）=2x1，求证：tn=b1f（1）+b2f（2）+bnf（n）（n1）20（14分）已知椭圆c1的中心在坐标原点，两个焦点分别为f1（2，0），f2（2，0），点a（2，3）在椭圆c1上，过点a的直线l与抛物线交于b、c两点，抛物线c2在点b，c处的切线分别为l1，l2，且l1与l2交于点p（1）求椭圆c1的方程；（2）是否存在满足|pf1|+|pf2|=|af1|+|af2|的点p？若存在，指出这样的点p有几个（不必求出点p的坐标）；若不存在，说明理由21（14分）已知函数f（x）=ex，xr（） 求f（x）的反函数的图象上的点（1，0）处的切线方程；（） 证明：曲线y=f（x）与曲线y=有唯一公共点（） 设ab，比较f（）与的大小，并说明理由广东省2015届高三五校联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知a=x|x24x5=0，b=x|x2=1，则ab=（）a1b1，1，5c1d1，1，5考点：交集及其运算 专题：集合分析：求出集合a，b，然后求解交集即可解答：解：a=x|x24x5=0=1，5，b=x|x2=1=1，1，则ab=1故选：c点评：本题考查集合的交集的运算，是对基本知识的考查2（5分）设条件p：a0；条件q：a2+a0，那么p是q的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据充分必要条件的定义进行判断即可解答：解：若a0，则a2+a0，是充分条件，若a2+a0，解得：a0或a1，不是必要条件，故选：a点评：本题考查了充分必要条件，考查了解不等式问题，本题属于基础题3（5分）已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）ay=2xbcd考点：双曲线的简单性质 专题：计算题分析：由离心率的值，可设，则得，可得的值，进而得到渐近线方程解答：解：，故可设，则得，渐近线方程为 ，故选c点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出的值是解题的关键4（5分）下列命题不正确的是（）a如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的任意直线，则两平面垂直b如果一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面，则两平面平行c如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行d如果两条不同的直线在一平面内的射影互相垂直，则这两条直线垂直考点：平面与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系 专题：阅读型分析：本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，及直线与平面间的位置关系，我们根据空间线与面、面与面的判定及性质定理对四个答案逐一进行分析，即可得到答案解答：解：如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的任意直线，由线面垂直的定义，可得该直线与另一个平面垂直，由面面垂直的判定定理我们可得两平面垂直，故a正确；如果一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面，则存在两条相交直线与另一个平面平行，由面面平等的判定定理得两平面平行，故b正确；如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，由线面平行的性质定理，那么这条直线和交线平行，故c正确；如果两条不同的直线在一平面内的射影互相垂直，则这两条直线可能垂直，也可能不垂直，故d错误故选d点评：判断空间线线关系、线面关系、面面关系时，掌握掌握空间线面垂直和平等的判定定理和性质定理，是解决问题的关键5（5分）已知函数f（x）=则下列结论正确的是（）af（x）是偶函数bf（x）的值域为1+）cf（x）是周期函数df（x）是增函数考点：分段函数的应用 专题：函数的性质及应用分析：由题意，分x0与x0讨论函数在各个部分的取值，从而求函数的值域解答：解：当x0时，f（x）=x2+11，当x0时，f（x）=cosx，故1cosx1，综上所述，f（x）1，故f（x）的值域为1，+）故选b点评：本题考查了分段函数的应用及函数的值域的求法，属于基础题6（5分）在abc中，ab=2，ac=3，=1，则bc=（）abc2d考点：解三角形；向量在几何中的应用 专题：计算题；压轴题分析：设b=，由=1，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，表示出cos，再利用余弦定理表示出cos，两者相等列出关于bc的方程，求出方程的解即可得到bc的长解答：解：根据题意画出相应的图形，如图所示：=1，设b=，ab=2，2bccos（）=1，即cos=，又根据余弦定理得：cos=，=，即bc2=3，则bc=故选a点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：平面向量的数量积运算，余弦定理，以及诱导公式的运用，熟练掌握定理及法则是解本题的关键7（5分）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（）abcd考点：几何概型 专题：压轴题；概率与统计分析：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得0x4，0y4，要满足条件须|xy|2，作出其对应的平面区域，由几何概型可得答案解答：解：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得0x4，0y4，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒，则|xy|2，由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比，由图可知所求的概率为：=故选c点评：本题考查几何概型，涉及用一元二次方程组表示平面区域，属基础题8（5分）在空间中，过点a作平面的垂线，垂足为b，记b=f（a）设，是两个不同的平面，对空间任意一点p，p，q1=ff（p），q2=ff（p），恒有pq1=pq2，则（）a平面与平面所成的（锐）二面角为45b平面与平面垂直c平面与平面平行d平面与平面所成的（锐）二面角为60考点：平面与平面之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离分析：设p1是点p在内的射影，点p2是点p在内的射影根据题意点p1在内的射影与p2在内的射影重合于一点，由此可得四边形pp1q1p2为矩形，且p1q1p2是二面角l的平面角，根据面面垂直的定义可得平面与平面垂直，得到本题答案解答：解：设p1=f（p），则根据题意，得点p1是过点p作平面垂线的垂足q1=ff（p）=f（p1），点q1是过点p1作平面垂线的垂足同理，若p2=f（p），得点p2是过点p作平面垂线的垂足因此q2=ff（p）表示点q2是过点p2作平面垂线的垂足对任意的点p，恒有pq1=pq2，点q1与q2重合于同一点由此可得，四边形pp1q1p2为矩形，且p1q1p2是二面角l的平面角p1q1p2是直角，平面与平面垂直故选：b点评：本题给出新定义，要求我们判定平面与平面所成角大小，着重考查了线面垂直性质、二面角的平面角和面面垂直的定义等知识，属于中档题二、填空题：本大共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分）（一）必做题（913题）9（5分）复数的值是考点：复数代数形式的乘除运算 分析：复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，然后化为a+bi（a、br）的形式即可解答：解：复数=故答案为：点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题10（5分）若数列an满足：a1=1，an+1=），其前n项和为sn，则=15考点：数列递推式 专题：计算题分析：由递推关系式可知数列an是以1为首项，为公比的等比数列，从而可解解答：解：由题意，数列an是以1为首项，为公比的等比数列，所以，故答案为15点评：本题主要考查数列递推式，考查等比数列的通项及前n项和公式，属于基础题11（5分）执行如图的程序框图，那么输出s的值是考点：程序框图 专题：计算题；图表型分析：框图首先给变量s，k赋值s=2，k=1，然后判断k2013是否成立，成立则执行，否则跳出循环，输出s，然后依次判断执行，由执行结果看出，s的值呈周期出现，根据最后当k=2013时算法结束可求得s的值解答：解：框图首先给变量s，k赋值s=2，k=1判断12013，执行s=，k=1+1=2；判断22013，执行s=，k=2+1=3；判断32013，执行s=，k=3+1=4；判断42013，执行s=，k=4+1=5；程序依次执行，由上看出，程序每循环3次s的值重复出现1次而由框图看出，当k=2012时还满足判断框中的条件，执行循环，当k=2013时，跳出循环又2013=6713所以当计算出k=2013时，算出的s的值为此时2013不满足20132013，跳出循环，输出s的值为故答案为点评：本题考查了程序框图，是当型结构，即先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件，跳出循环，算法结束，解答的关键是算准周期是基础题12（5分）已知不等式组所表示的平面区域的面积为4，则k的值为1考点：二元一次不等式（组）与平面区域 专题：计算题分析：先作出不等式组表示的平面区域，根据已知条件可表示出平面区域的面积，然后结合已知可求k解答：解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由题意可得a（2，2k+2），b（0，2），c（2，0）（d为b到ac的距离）=2k+2=4k=1故答案为：1点评：本题主要考查了二元一次不等式组表示平面区域，属于基础试题13（5分）将a，b，c，d，e，f六个字母排成一排，且a，b均在c的同侧，则不同的排法共有480种（用数字作答）考点：排列、组合及简单计数问题 专题：排列组合分析：按c的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可解答：解：按c的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可当c在左边第1个位置时，有a，当c在左边第2个位置时，a和b有c右边的4个位置可以选，有aa，当c在左边第3个位置时，有aa+aa，共为240种，乘以2，得480则不同的排法共有480种故答案为：480点评：本题考查排列、组合的应用，关键在于明确事件之间的关系，同时要掌握分类讨论的处理方法选做题（1415题，考生只能从中选做一题，两题都做记第一题的得分）（坐标系与参数方程）14（5分）（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系下，曲线（t为参数），曲线（a为参数）若曲线cl、c2有公共点，则实数a的取值范围考点：圆的参数方程；直线与圆相交的性质 专题：计算题分析：把参数方程化为普通方程，由直线和圆有交点可得圆心到直线的距离小于或等于半径，解不等式求得实数a的取值范围解答：解：曲线（t为参数）即 x+2y2a=0，表示一条直线曲线（a为参数） 即 x2+（y2）2=4，表示圆心为（0，2），半径等于2的圆由曲线cl、c2 有公共点，可得圆心到直线的距离小于或等于半径，2，2a2+，故答案为：点评：本题考查把参数方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系，绝对值不等式的解法（几何证明选讲）15如图，点a，b，c是圆o上的点，且，则aob对应的劣弧长为考点：弧长公式 专题：计算题；压轴题分析：利用正弦定理求出acb的大小，然后再求aob，最后求出aob对应的劣弧长解答：解：由正弦定理可知：，得sinacb=，aob=，ob=，aob对应的劣弧长：故答案为：点评：本题考查弧长公式，考查计算能力，是基础题三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16（12分）在平面直角坐标系下，已知a（2，0），b（0，2），c（cos2x，sin2x），（1）求f（x）的表达式和最小正周期；（2）当时，求f（x）的值域考点：平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域 专题：计算题分析：（1）先计算两个向量的坐标，再利用向量数量积运算性质计算f（x），将所得f（x）解析式化为y=asin（x+）的形式，最后利用周期公式计算f（x）的最小正周期即可（2）先求内层函数y=2x的值域，再利用正弦函数的图象和性质求y=sin（2x）的值域，最后由y=2t+4的单调性即可得f（x）的值域解答：解：（1）a（2，0），b（0，2），c（cos2x，sin2x），=（2，2）（cos2x2，sin2x）=42cos2x+2sin2x=，f（x），f（x）的最小正周期为，（2）所以函数f（x）的值域是点评：本题考察了向量数量积运算的性质和三角变换、三角函数的图象和性质，解题时要能熟练的将函数化为y=asin（x+）形式，为利用三角函数的图象和性质求周期和最值创造条件17（12分）某校参加2014-2015学年高一年级期2015届中考试的学生中随机抽出60名学生，将其数学成绩分成六段40，50）、50，60）、90，100后得到如图部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；（3）若从60名学生中随抽取2人，抽到的学生成绩在40，60）记0分，在60，80）记1分，在80，100记2分，用表示抽取结束后的总记分，求的分布列和数学期望考点：离散型随机变量及其分布列；频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差 专题：计算题；图表型分析：（1）根据概率之和为1，即频率分布直方图的面积之和为1（2）根据题意同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，所以用每一组数据的中点值代表这一组数的平均数，即可求得（3）从60名学生中随抽取2人，根据题意总记分可能为0、1、2、3、4求出相应的概率，即可求得分布列和期望解答：解：（1）设分数在70，80）内的频率为x，根据频率分布直方图，有（0.01+0.0152+0.025+0.005）10+x=1，可得x=0.3，所以频率分布直方图如图所示（2）平均分为=450.1+550.15+650.15+750.3+850.25+950.05=71（3）学生成绩在40，60）的有0.2560=15人，在60，80）的有0.4560=27人，在80，100）的有0.360=18人，的可能取值是0，1，2，3，4则， ，所以的分布列为：点评：此题把统计和概率结合在一起，比较新颖，也是2015届高考的方向，应引起重视18（14分）如图，abc内接于圆o，ab是圆o的直径，四边形dcbe为平行四边形，dc平面abc，ab=2，已知ae与平面abc所成的角为，且（1）证明：平面acd平面ade；（2）记ac=x，v（x）表示三棱锥acbe的体积，求v（x）的表达式；（3）当v（x）取得最大值时，求二面角dabc的大小考点：与二面角有关的立体几何综合题；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定 专题：计算题；综合题；转化思想分析：（1）欲证平面acd平面ade，根据面面垂直的判定定理可知在平面ade内一直线与平面acd垂直，de平面adc，de平面ade，满足定理所需条件；（2）根据线面所成角的定义可知eab为ae与平面abc所成的角，在rtabe中，求出be，在rtabc中求出ac，最后根据三棱锥的体积公式求出体积即可；（3）利用基本不等式可知当v（x）取得最大值时，这时acb为等腰直角三角形，连接co，do，根据二面角的平面角的定义可知doc为二面角dabc的平面角在rtdco中求出此角即可解答：解：（1）证明：四边形dcbe为平行四边形cdbe，bcde（1分）dc平面abc，bc平面abcdcbc（2分）ab是圆o的直径bcac且dcac=cbc平面adcdebcde平面adc（3分）又de平面ade平面acd平面ade（4分）（2）dc平面abcbe平面abceab为ae与平面abc所成的角，即eab=（5分）在rtabe中，由，ab=2得（6分）在rtabc中（0x2）（7分）=（0x2）（8分）（3）由（2）知0x2要v（x）取得最大值，当且仅当取得最大值，（9分）当且仅当x2=4x2，即时，“=”成立，当v（x）取得最大值时，这时acb为等腰直角三角形（10分）连接co，doac=bc，dc=dcrtdcartdcbad=db又o为ab的中点coab，doabdoc为二面角dabc的平面角（12分）在rtdco中，doc=60即当v（x）取得最大值时，二面角dabc为60（14分）点评：本题主要考查了平面与平面垂直的判定，以及体积和二面角的定理等有关知识，求二面角，关键是构造出二面角的平面角，常用的方法有利用三垂线定理和通过求法向量的夹角，然后再将其转化为二面角的平面角19（14分）已知数列an中，a1=3，a2=5，其前n项和sn满足sn+sn2=2sn1+2n1（n3）令bn=（）求数列an的通项公式；（）若f（x）=2x1，求证：tn=b1f（1）+b2f（2）+bnf（n）（n1）考点：数列递推式；数列的函数特性；不等式的证明 专题：计算题；证明题；压轴题分析：（）由题意知an=an1+2n1（n3）（anan1）+（an1an2）+（a3a2）+a2=2n+1（）由于=故tn=b1f（1）+b2f（2）+bnf（n）=，由此可证明tn=b1f（1）+b2f（2）+bnf（n）（n1）解答：解：（）由题意知snsn1=sn1sn2+2n1（n3）即an=an1+2n1（n3）an=（anan1）+（an1an2）+（a3a2）+a2=2n1+2n2+22+5=2n+1（n3）检验知n=1、2时，结论也成立，故an=2n+1（）由于bn=，f（x）=2x1，=故tn=b1f（1）+b2f（2）+bnf（n）=点评：本题考查数列的性质和综合应用，解题时要认真审题仔细解答20（14分）已知椭圆c1的中心在坐标原点，两个焦点分别为f1（2，0），f2（2，0），点a（2，3）在椭圆c1上，过点a的直线l与抛物线交于b、c两点，抛物线c2在点b，c处的切线分别为l1，l2，且l1与l2交于点p（1）求椭圆c1的方程；（2）是否存在满足|pf1|+|pf2|=|af1|+|af2|的点p？若存在，指出这样的点p有几个（不必求出点p的坐标）；若不存在，说明理由考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）利用椭圆的标准方程及其性质即可得出；（2）设出点b，c的坐标，利用a，b，c三点共线即可得出坐标之间的关系，利用导数的几何意义可得切线的斜率，在得出切线的方程，即可得出交点p的坐标代入上面得到的关系式即可得到交点p的轨迹方程由|pf1|+|pf2|=|af1|+|af2|，则点p在椭圆c1上，而点p又在直线y=x3上，直线经过椭圆c1的内部一点（3，0），即可判断出其交点个数解答：解：（1）设椭圆的标准方程为，由题意可得解得椭圆c1的方程为；（2）设点b，c，则，a，b，c三点共线，化为2（x1+x2）x1x2=12由x2=4y，得抛物线c