数学史讲座(幻灯片对照).doc

幻灯片3：数学发展第一时期与第二时期的主要成果，即初等数学中的主要内容已经成为中小学教育的内容。第三个时期的基本结果，如解析几何(部分已放入中学)、微积分(部分已放入中学)、微分方程、高等代数、概率论(部分已放入中学)等已成为高等学校理工科教育的主要内容，简而言之，中小学学古代数学，大学阶段学近代数学，研究生阶段学现代数学。幻灯片4“多”与“少”的意识原始人是在一一对应的过程中建立的。即把两组对象进行一一比较，如果两组对象完全对应，则这两个组的数量就相等，如果不能完全一一对应，就会出现多少。例如，据古希腊荷马史诗记载：波吕斐摩斯被俄底修斯刺伤后，以放羊为生。他每天坐在山洞口照料他的羊群，早晨母羊出洞吃草，出来一只，他就从一堆石子中捡起一颗石子儿；晚上母羊返回山洞，进去一只，他就扔掉一颗石子儿，当把早晨捡起的石子儿全部扔完后，他就放心了，因为他知道他的母羊全都平安地回到了山洞。另一个方面，在长期的采集、狩猎等生产活动中原始人逐渐注意到一只羊与许多羊，一头狼与整群狼在数量上的差异。通过一只羊、一头狼与许多羊、整群狼的比较，就逐渐看到一只羊、一头狼、一条鱼、一棵树之间存在着某种共同的东西，即它们的单位性。由此抽象出数“1”这个概念。数“1”可以说是这类具有单个元素的集合的特征。可以认为，在人类发展的一个相当长的阶段上，人们最早具有的数的概念是“1”。与之相对应的是一个比较确定的观念“多”。如上面的“数羊”，人们把一些被数物品用另外某些彼此同类的物品或标记来代替，如用手指、小石块、绳结、树枝、刻痕等。根据彼此一一对应的原则进行这种计算，也就是给每个被数物品选择一个相应的东西作为计算工具，这就是早期的记数。幻灯片6手算能表示出的数目毕竟有限，即使再借助于脚趾，也不过数到20。当指头不敷用时，数到10时，摆一块小石头，双手就解放了，还可以继续数更大的数目。自然地人们会想到，可以不用手，直接用石头记数。但记数的石子堆很难长久保存信息，于是又有结绳记数。我国有“上古结绳而治，后世圣人，易之以书契”的说法。“结绳而治”一般解释为“结绳记事”或“结绳记数”。“书契”就是在物体上刻痕，以后逐渐发展成为文字。结绳记事、记数，并不限于中国，世界各地都有，有些地方甚至到19世纪还保留这种方法，有些结绳事物甚至保存下来。例如，美国自然史博物馆就藏有古代南美印加部落用来记事的绳结，当时人们称之为基普：在一根较粗的绳子上拴系涂有颜色的细绳，再在细绳上打各种各样的结，不同的颜色和结的位置、形状表示不同的事物和数目。结绳毕竟不甚方便，以后在实物（石、木、骨等）上刻痕以代替结绳。从现在的考古资料看，几乎所有的文明古国都经历过一个刻痕记数的阶段，只是各自的形式不同而已。无论手算、结绳还是刻痕所记下来的数还不是现在意义上的数，只是物体集合蕴涵着的数量特性从一个物体集合转移到另一个物体集合上。也就是说，人们还不能脱离具体的物的集合来认识“数量”。但是，当人们可以任意选用这种随手可得的东西来记数时，就离形成数的概念为期不远了。总之，在人类几万年的原始文明中，只限于一些零碎的、片断的、不完整的知识，有些人只能分辨一、二和许多，有些能够把数作为抽象的概念来认识，并采用特殊的字或记号来代表个别的数，甚至采用十、二十或五作为基底来表示较大的数，进行简单的运算。此外，古人也认识到最简单的几何概念，如，直线、圆、角等。幻灯片7世界公认的四大文明古国：埃及、巴比伦、中国、印度，其文明程度的主要标志之一就是数学的萌芽。中国其他的诸如分数运算，负数及其运算，任意数的小数展开，开方，任意线性方程组的消元法，面积、体积公式、勾股定理及其应用均有涉猎。从两汉的周髀算经、九章算术到元初，中国数学不断发展，最高峰出现在宋代，从明代开始，中国数学突然走向衰弱。其特点是重应用之术，轻理论构建，未能创立有效的符号系统。幻灯片10随着希腊科学的终结，在欧洲出现了科学萧条，数学发展的中心移到了印度、中亚细亚和阿拉伯国家。在这些地方从5世纪到15世纪的一千年中间，数学主要由于计算的需要而得到发展。印度人发明了现代记数法（即我们通常所说的阿拉伯数字），引进了负数。到了16世纪，欧洲文艺复兴时代，欧洲人向阿拉伯学习，并根据阿拉伯文的翻译熟识了希腊科学，从阿拉伯沿袭过来的印度记数法逐渐在欧洲确定下来，欧洲科学终于越过了先人的成就。几乎和古希腊同时的战国时期的百家争鸣也促进了中国数学的发展。幻灯片13阿基米德对数学做出的最引人注目的贡献是，积分方法的早期发展。公元前212年罗马人攻陷叙拉古时阿基米德被害城被攻破时，他正在潜心研究画在沙盘上的一个图形，一个刚攻进城的罗马士兵向他跑来，身影落在沙盘里的图形上，他挥手让士兵离开，以免弄乱了他的图形，结果那士兵就用长矛把他刺死了。幻灯片14芝诺的悖论：两分法悖论：“一个人想要从A点走到B点是永远不可能的”，芝诺争辩道：“一个人从A点走到B点，要先走完路程的1/2，再走完剩下总路程的1/2，再走完剩下的1/2”如此循环下去，永远不能到终点。阿基里斯(Achilles)悖论：阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿基里斯只能再追向那个1米。就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟！飞矢不动悖论：设想一支飞行的箭。在每一时刻，它位于空间中的一个特定位置。由于时刻无持续时间，箭在每个时刻都没有时间而只能是静止的。鉴于整个运动期间只包含时刻，而每个时刻又只有静止的箭，所以芝诺断定，飞行的箭总是静止的，它不可能在运动。游行队伍悖论 ：首先假设在操场上，在一瞬间（一个最小时间单位）里，相对于观众席A，列队B、C将分别各向右和左移动一个距离单位。 观众席A 队列B向右移动（） 队列C向左移动（） B、C两个列队开始移动，如下图所示相对于观众席A，B和C分别向右和左各移动了一个距离单位。 而此时，对B而言C移动了两个距离单位。也就是，队列既可以在一瞬间（一个最小时间单位）里移动一个距离单位，也可以在半个最小时间单位里移动一个距离单位，这就产生了半个时间单位等于一个时间单位的矛盾。因此队列是移动不了。前三个悖论揭示的是事物内部的稠密性和连续性之间的区别，是无限可分和有限长度之间的矛盾。他并不是简单地否认运动，而是反对那种认为空间是点的总和、时间是瞬刻的和的概念，他想证明在空间作为点的总和的概念下运动是不可能的。第4个悖论是古代文献中第一个涉及相对运动的问题。在两千四百年后的今天，人们已经明白，芝诺的名字将永远不会从数学史或哲学史中消除。近代德国哲学家黑格尔在哲学史讲演录中指出，芝诺主要是客观而辩证地考察了运动，他称芝诺为“辨证法的创始人”。（1）化圆为方：作一正方形使其与一给定的圆等面积。（2）倍立方体：作一立方体，使其体积等于已知立方体的两倍。（3）三等分角：对任意给定的角三等分。化圆为方问题亦导致了圆周率和穷竭法的探讨。(经过两千多年的努力，数学家利用代数方法终于证明了三大难题都无解。化圆为方相当于求，它不是任何整系数方程的根，因而不可能用尺规作出，1882年由德国数学家林德曼证明。倍立方相当于求，法国数学家范齐尔于1837年证明用尺规作不出。三等分任意角难在任意，有些角如90度角三等分是可以的，意大利数学家邦贝利指出三等分角问题可转化为解不可约情形的三次方程问题，是理论上证明该问题尺规作图不可能的基础。幻灯片15据说，他的学园门口写着：“不懂几何者，不得入内”。幻灯片16被称为“几何之父幻灯片19享有“力学之父”的美称，“给我一个支点和一根足够长的杠杆，我就能撬动整个地球。” 阿基米德还曾利用抛物镜面的聚光作用，把集中的阳光照射到入侵叙拉古的罗马船上，让它们自己燃烧起来。利用杠杆原理制造出一批投石机，凡是靠近城墙的敌人，都难逃他的飞石或标枪。这些武器弄的罗马军队惊慌失措、人人害怕，连大将军马塞拉斯都苦笑的承认：“这是一场罗马舰队与阿基米德一人的战争”、“阿基米德是神话中的百手巨人”。马塞拉斯对于阿基米德的死深感悲痛。他将杀死阿基米德的士兵当作杀人犯予以处决,并为阿基米德修了一座陵墓,在墓碑上根据阿基米德生前的遗愿,刻上了圆柱容球（阿基米德发现的一个著名的定理：任一球的面积是外切圆柱表面积的三分之二，而任一球的体积也是外切圆柱体积的三分之二。这个定理是从球面积等于大圆面积的四倍这一定理推来的，据说，该定理遵遗嘱被刻在阿基米德的墓碑上。）这一几何图形。幻灯片22现已公认海伦公式是阿基米德发现的幻灯片25透视法，因为艺术家们把描述现实世界作为绘画的目标，研究如