广东省佛山一中高三数学上学期期中试卷 理（含解析）.doc

广东省佛山一中2015届高三上学期期中数学试卷（理科 ）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）复数z满足（z3）（2i）=5（i为虚数单位），则z的共轭复数为（）a2+ib2ic5+id5i2（5分）已知几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）ab4cd3（5分）设、为平面，m、n、l为直线，则m的一个充分条件是（）a，=l，mlb=m，c，mdn，n，m4（5分）设等差数列an的前n项和为sn，若s3=9，s6=36，则a7+a8+a9=（）a63b45c36d275（5分）设，则a，b，c的大小关系是（）aacbbabcccabdbca6（5分）设x，yr，向量=（x，1）=（1，y），=（2，4）且，则x+y=（）a0b1c2d27（5分）如图，一直线ef与平行四边形abcd的两边ab，ad分别交于e、f两点，且交其对角线于k，其中，=，=，=，则的值为（）abcd8（5分）对于下列命题：命题“x0r，x02+13x0”的否定是“xr，x2+13x”；在abc中“ab”的 充要条件是“sinasinb”；设a=sin，b=cos，c=tan，则cab；将函数y=2sin（3x+）图象的横坐标变为原来的3倍，再向左平移个单位，得到函数y=2sin（x+）图象其中真命题的个数是（）a4b1c2d3二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分（一）必做题：（9-13）9（5分）若0，0，且sin=，cos（）=，则sin=10（5分）已知函数f（x）=2sin（x+）的图象如图所示，则=11（5分）过点a（1，1）作曲线y=x2（x0）的切线，设该切线与曲线及x轴所围图形的面积为s，则s=12（5分）已知a0，函数f（x）=，若f（t），则实数t的取值范围为13（5分）如图，多面体oabcd，ab=cd=2，ad=bc=2，ac=bd=，且oa，ob，oc两两垂直，给出下列 5个结论：三棱锥oabc的体积是定值；球面经过点a、b、c、d四点的球的直径是；直线ob平面acd；直线ad与ob所成角是60；二面角aocd等于30其中正确的结论是三、选做题（1415题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题）14（5分）在极坐标系中，圆=2上的点到直线cos（）=3的距离的最小值是四、（几何证明选讲选做题）15如图所示，过o外一点a作一条直线与o交于c，d两点，ab切o于b，弦mn过cd的中点p已知ac=4，ab=6，则mpnp=五、解答题（共80分）16（12分）已知（1）求f（x）的周期及其图象的对称中心；（2）abc中，角a、b、c所对的边分别是a、b、c，满足（2ac）cosb=bcosc，求f（b）的值17（12分）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约设甲面试合格的概率为，乙、丙面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响（）求至少有1人面试合格的概率；（）求签约人数的分布列和数学期望18（14分）如图，在三棱锥pabc中，pa底面abc，bca=90，ap=ac，点d，e分别在棱pb，pc上，且bc平面ade（）求证：de平面pac；（）当二面角adep为直二面角时，求多面体abced与paed的体积比19（14分）等比数列an的前n项和为sn，已知对任意的nn*，点（n，sn），均在函数y=bx+r（b0）且b1，b，r均为常数）的图象上（1）求r的值；（2）当b=2时，记bn=（nn*），求数列bn的前n项和tn20（14分）如图，四棱柱abcda1b1c1d1的底面abcd是平行四边形，且ab=1，bc=2，abc=60，e为bc的中点，aa1平面abcd（）证明：平面a1ae平面a1de；（）若de=a1e，试求异面直线ae与a1d所成角的余弦值；（）在（）的条件下，试求二面角ca1de的余弦值21（14分）已知函数（1）当时，如果函数g（x）=f（x）k仅有一个零点，求实数k的取值范围；（2）当a=2时，试比较f（x）与1的大小；（3）求证：（nn*）广东省佛山一中2015届高三上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）复数z满足（z3）（2i）=5（i为虚数单位），则z的共轭复数为（）a2+ib2ic5+id5i考点：复数的基本概念 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则求得z，即可求得z的共轭复数解答：解：（z3）（2i）=5，z3=2+iz=5+i，=5i故选d点评：本题考查复数的基本概念与基本运算，求得复数z是关键，属于基础题2（5分）已知几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）ab4cd考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题分析：根据已知的三视图可判断出该几何体是一个正四棱锥，且可得底面棱长为2，侧面高为，由此求出底面面积和棱锥的高，代入棱锥体积公式，可得答案解答：解：由已知可得该几何体是一个底面棱长为2侧面高为的正四棱锥则棱锥的高h=棱锥的高v=sh=22=故选c点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知分析出几何体的形状是解答的关键3（5分）设、为平面，m、n、l为直线，则m的一个充分条件是（）a，=l，mlb=m，c，mdn，n，m考点：直线与平面垂直的判定 专题：证明题；转化思想分析：根据面面垂直的判定定理可知选项a是否正确，根据平面与平面的位置关系进行判定可知选项b和c是否正确，根据垂直于同一直线的两平面平行，以及与两平行平面中一个垂直则垂直于另一个平面，可知选项d正确解答：解：，=l，ml，根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件m，故不正确；=m，而与可能平行，也可能相交，则m与不一定垂直，故不正确；，m，而与可能平行，也可能相交，则m与不一定垂直，故不正确；n，n，而m，则m，故正确故选d点评：本小题主要考查空间线面关系、面面关系以及充分条件的判定等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力，属于基础题4（5分）设等差数列an的前n项和为sn，若s3=9，s6=36，则a7+a8+a9=（）a63b45c36d27考点：等差数列的性质 分析：观察下标间的关系，知应用等差数列的性质求得解答：解：由等差数列性质知s3、s6s3、s9s6成等差数列，即9，27，s9s6成等差，s9s6=45a7+a8+a9=45故选b点评：本题考查等差数列的性质5（5分）设，则a，b，c的大小关系是（）aacbbabcccabdbca考点：幂函数图象及其与指数的关系 分析：根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来解答：解：在x0时是增函数ac又在x0时是减函数，所以cb故答案选a点评：本题主要考查幂函数与指数的关系要充分利用函数图象、函数的单调性来解决问题6（5分）设x，yr，向量=（x，1）=（1，y），=（2，4）且，则x+y=（）a0b1c2d2考点：平面向量的坐标运算 专题：平面向量及应用分析：利用向量垂直与数量积的关系、向量共线定理即可得出解答：解：，2x4=0，2y+4=0，解得x=2，y=2x+y=0故选：a点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量共线定理，属于基础题7（5分）如图，一直线ef与平行四边形abcd的两边ab，ad分别交于e、f两点，且交其对角线于k，其中，=，=，=，则的值为（）abcd考点：平面向量的基本定理及其意义 专题：计算题；作图题；平面向量及应用分析：以a为原点，ab，ad为坐标轴建立坐标系，设ab、ad为单位长度，从而可得，=（，），=（，），由由e、f、k三点共线可得（）（）=0，从而解得解答：解：以a为原点，ab，ad为坐标轴建立坐标系，设ab、ad为单位长度，则由题意可得，a（0，0），b（1，0），c（1，1），d（0，1），e（，0），f（0，），k（，），则=（，），=（，），则由e、f、k三点共线可得，（）（）=0，即=，故=，故选a点评：本题考查了平面向量的基本定理应用，属于中档题8（5分）对于下列命题：命题“x0r，x02+13x0”的否定是“xr，x2+13x”；在abc中“ab”的 充要条件是“sinasinb”；设a=sin，b=cos，c=tan，则cab；将函数y=2sin（3x+）图象的横坐标变为原来的3倍，再向左平移个单位，得到函数y=2sin（x+）图象其中真命题的个数是（）a4b1c2d3考点：命题的真假判断与应用 专题：三角函数的图像与性质；解三角形；简易逻辑分析：，写出命题“x0r，x02+13x0”的否定再判断其正误即可；，在abc中，利用大角对大边及正弦定理可判断的正误；，利用诱导公式及特殊角的三角函数值可判断设a=sin，b=cos，c=tan的大小；，利用三角函数间的图象变换可判断的正误解答：解：对于，命题“x0r，x02+13x0”的否定是“xr，x2+13x”，故正确；对于，在abc中，由大角对大边及正弦定理可知，ababsinasinb，即abc中“ab”的 充要条件是“sinasinb”，故正确；对于，因为a=sin=sin（3352+）=，b=cos=cos=，c=tan=，则cba，故错误；对于，将函数y=2sin（3x+）图象的横坐标变为原来的3倍，得到y=2sin（x+）的图象，再向左平移个单位，得到函数y=2sin（x+）+=2sin（x+）图象，故正确综上所述，其中真命题的个数是3个，故选：d点评：本题考查命题的真假判断及其应用，综合考查命题及其否定、充分必要条件的概念及应用，考查诱导公式及特殊角的三角函数值、三角函数间的图象变换等基本知识二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分（一）必做题：（9-13）9（5分）若0，0，且sin=，cos（）=，则sin=考点：两角和与差的正弦函数 专题：计算题；三角函数的求值分析：利用同角三角函数平方关系，求出cos、sin（），再利用角的变换，即可得出结论解答：解：sin=，0，cos=，0，0，0，cos（）=，sin（）=，sin=sin（）+=sin（）cos+cos（）sin=故答案为：点评：本题考查两角和与差的正弦函数，考查同角三角函数平方关系、角的变换，正确运用sin=sin（）+=sin（）cos+cos（）sin是关键10（5分）已知函数f（x）=2sin（x+）的图象如图所示，则=0考点：由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式 专题：压轴题分析：先根据图象可得到周期t进而可知的值，确定函数f（x）的解析式后将x=代入即可得到答案解答：解：根据图象可知，所以t=，因为，所以=3，当x=时，f（）=0，即，可得，所以故答案为：0点评：本题主要考查已知三角函数的部分图象求函数解析式的问题属基础题11（5分）过点a（1，1）作曲线y=x2（x0）的切线，设该切线与曲线及x轴所围图形的面积为s，则s=考点：定积分在求面积中的应用 专题：导数的综合应用分析：首先根据导数的几何意义求出切线的斜率，写出直线方程，利用定积分的几何意义求s解答：解：因为点a的坐标为（1，1），过点a的切线的斜率为k=y|x=1=2，故过点a的切线l的方程为y1=2（x1），即y=2x1，令y=0，得x=，则s=；故答案为：点评：本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、定积分的应用、直线的方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想12（5分）已知a0，函数f（x）=，若f（t），则实数t的取值范围为（0，+）考点：分段函数的应用 专题：函数的性质及应用分析：根据分段函数的表达式判断函数的单调性，根据函数的单调性将不等式进行转化即可得到结论解答：解：当x1，0）时，函数f（x）=sin单调递增，且f（x）1，0），当x0，+）时，函数f（x）=ax2+ax+1的对称轴为x=，此时函数f（x）单调递增且f（x）1，综上当x1，+）时，函数单调递增，由f（x）=sin=得=，解得x=，则不等式f（t），等价为f（t）f（），函数f（x）是增函数，t，即t0，故答案为：（0，+）点评：本题主要考查不等式的求解，根据条件判断分段函数的单调性是解决本题的关键13（5分）如图，多面体oabcd，ab=cd=2，ad=bc=2，ac=bd=，且oa，ob，oc两两垂直，给出下列 5个结论：三棱锥oabc的体积是定值；球面经过点a、b、c、d四点的球的直径是；直线ob平面acd；直线ad与ob所成角是60；二面角aocd等于30其中正确的结论是考点：空间中直线与直线之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离分析：由题意，只要构造长方体，设oa=x，ob=y，oc=z，则x2+y2=4，x2+z2=10，y2+z2=12，解得，x=1，y=，z=3，运用棱锥的体积公式，即可判断；运用异面直线所成角的定义，即可判断；球面经过点a、b、c、d两点的球的直径即为长方体的对角线长，即可判断；由于obae，ae和平面acd相交，即可判断解答：解：由题意，构造长方体，如右图，设oa=x，ob=y，oc=z，则x2+y2=4，x2+z2=10，y2+z2=12，解得，x=1，y=，z=3，对于，三棱锥oabc的体积为ocoaob=，故对；对于，球面经过点a、b、c、d两点的球的直径即为长方体的对角线长，即为，故对；对于，由于obae，ae和平面acd相交，则ob和平面acd相交，故错对于，由于obae，则dae即为直线ad与ob所成的角，由tandae=，则dae=60，故对；因为aooc，dcoc，所以异面直线cd与oa所成的角大小为二面角aocd的二面角大小，连接oe，则角aoe为所求，tanaoe=，所以aoe=60；错误；故答案为：点评：本题考查线面的位置关系的判断，空间异面直线所成的角，以及三棱锥的体积的计算和多面体的外接球的关系，考查运算能力，属于中档题和易错题三、选做题（1415题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题）14（5分）在极坐标系中，圆=2上的点到直线cos（）=3的距离的最小值是1考点：简单曲线的极坐标方程 专题：计算题；直线与圆；坐标系和参数方程分析：运用x=cos，y=sin，x2+y2=2，化极坐标方程为直角坐标方程，再由圆心到直线的距离公式，结合dr为最小，即可得到解答：解：圆=2化为直角坐标方程均为x2+y2=4，直线cos（）=3即为cos+sin=3，即有x+y6=0，则圆心到直线的距离d=3，则圆上的点到直线的距离的最小值为dr=32=1故答案为：1点评：本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线和圆的关系，考查点到直线的距离公式，属于中档题四、（几何证明选讲选做题）15如图所示，过o外一点a作一条直线与o交于c，d两点，ab切o于b，弦mn过cd的中点p已知ac=4，ab=6，则mpnp=考点：与圆有关的比例线段 专题：计算题分析：由已知中，过o外一点a作一条直线与o交于c，d两点，ab切o于b，我们由切割线定理，结合已知中ac=4，ab=6，我们易求出ad的长，进而求出弦cd的长，又由弦mn过cd的中点p，由相交弦定理我们易求出mpnp解答：解：ab为o的切线，acd为o的割线由切割线定理可得：ab2=acad由ac=4，ab=6，故ad=9故cd=5又p是弦cd的中点故pc=pd=由相交弦定理得mpnp=pcpd=故答案为：点评：本题考查的知识点是与圆相关的比例线段，分析已知线段与未求线段与圆的关系，以选择恰当的定理是解答此题的关键五、解答题（共80分）16（12分）已知（1）求f（x）的周期及其图象的对称中心；（2）abc中，角a、b、c所对的边分别是a、b、c，满足（2ac）cosb=bcosc，求f（b）的值考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法；正弦定理 专题：三角函数的图像与性质分析：（1）利用两角和差的正弦公式、二倍角公式化简函数f（x）的解析式为sin（+）+1，由此可得f（x）的周期及其图象的对称中心（2）abc中，由（2ac）cosb=bcosc，利用正弦定理化简可得得2sinacosb=sin（b+c）=sina，故有cosb=，由此求得 b 的值解答：解：（1）已知=sin+cos+1=sin（+）+1，故f（x）的周期为 =4由sin（+）=0 求得 +=k，kz，即 x=2k，故函数的图象的对称中心为（2k，0）（2）abc中，（2ac）cosb=bcosc，由正弦定理可得 （2sinasinc）cosb=sinbcosc，化简可得2sinacosb=sin（b+c）=sina，cosb=，b=f（b）=sin（+）+1=+1点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，三角函数的周期性及求法，正弦函数的对称中心、正弦定理，属于中档题17（12分）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约设甲面试合格的概率为，乙、丙面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响（）求至少有1人面试合格的概率；（）求签约人数的分布列和数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列 专题：计算题分析：（）用a，b，c分别表示事件甲、乙、丙面试合格由题意知a，b，c相互独立，且由至少有1人面试合格的概率是1p（），能求出至少有1人面试合格的概率（）的可能取值为0，1，2，3分别求了p（=0），p（=1），p（=2）和p（=3），由此能求出的分布列和的期望e解答：解：（）用a，b，c分别表示事件甲、乙、丙面试合格由题意知a，b，c相互独立，且至少有1人面试合格的概率是：1p（）=1=1=（）的可能取值为0，1，2，3p（=0）=p（）+p（）+p（）=+=+=p（=1）=p（ac）+p（）+=+=，p（=2）=p（bc）=，p（=3）=p（abc）=p（a）p（b）p（c）=的分布列是 0 1 2 3 p（）故的期望e=点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生的运算能力，考查学生探究研究问题的能力，解题时要认真审题，理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，体现了化归的重要思想18（14分）如图，在三棱锥pabc中，pa底面abc，bca=90，ap=ac，点d，e分别在棱pb，pc上，且bc平面ade（）求证：de平面pac；（）当二面角adep为直二面角时，求多面体abced与paed的体积比考点：直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题 专题：计算题分析：（i）欲证de平面pac，观察本题的条件，bc平面pac易证，而bc平面ade结合de=平面pbc平面ade，可证得bced，由此证法思路已明（）由（i），结合二面角adep为直二面角，可证得ae面pbc，即得aepc，再由，bca=90，ap=ac可得出e是中点，由于求多面体abced与paed的体积比可以转化为求面bced与面paed的比，问题得解解答：解：（）bc平面ade，bc平面pbc，平面pbc平面ade=debced（2分）pa底面abc，bc底面abcpabc（3分）又bca=90，acbcpaac=a，bc平面pac（5分）de平面pac（6分）（）由（）知，de平面pac，又ae平面pac，pe平面pac，deae，depe，aep为二面角adep的平面角，（8分）aep=90，即aepc，（9分）ap=ac，e是pc的中点，ed是pbc的中位线（10分）（12分）点评：本题考查利用线面垂直的条件证明线面垂直以及求棱锥的体积比，本题中两个问题的证明都转化为了另外问题的证明，体现了做题的灵活性19（14分）等比数列an的前n项和为sn，已知对任意的nn*，点（n，sn），均在函数y=bx+r（b0）且b1，b，r均为常数）的图象上（1）求r的值；（2）当b=2时，记bn=（nn*），求数列bn的前n项和tn考点：数列与函数的综合；数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：（1）由“对任意的nn+，点（n，sn），均在函数y=bx+r（b0，且b1，b，r均为常数）的图象上”可得到sn=bn+r，依次求出a1、a2、a3，由等比数列的性质（a2）2=a1a3，解可得答案（2）结合（1）可知an=（b1）bn1=2n1，从而bn=，符合一个等差数列与等比数列相应项之积的形式，用错位相减法求解即可解答：解：（1）因为对任意的nn+，点（n，sn），均在函数y=bx+r（b0，且b1，b，r均为常数）的图象上所以得sn=bn+r，当n=1时，a1=s1=b+r，a2=s2s1=b2+r（b1+r）=b2b1=（b1）b，a3=s3s2=b3+r（b2+r）=b3b2=（b1）b2，又因为an为等比数列，所以（a2）2=a1a3，则（b1）b2=（b1）b2（b+r）解可得r=1，（2）当b=2时，an=（b1）bn1=2n1，bn=则tn=tn=相减，得tn=+=所以tn=点评：本题主要考查数列与函数的综合运用，主要涉及了数列的通项与前n项和间的关系，错位相减法求和等问题，属中档题，是常考类型20（14分）如图，四棱柱abcda1b1c1d1的底面abcd是平行四边形，且ab=1，bc=2，abc=60，e为bc的中点，aa1平面abcd（）证明：平面a1ae平面a1de；（）若de=a1e，试求异面直线ae与a1d所成角的余弦值；（）在（）的条件下，试求二面角ca1de的余弦值考点：用空间向量求平面间的夹角；异面直线及其所成的角；二面角的平面角及求法 专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角分析：（1）根据题意，得abe是正三角形，aeb=60，等腰cde中ced=（180ecd）=30，所以aed=90，得到deae，结合deaa1，得de平面a1ae，从而得到平面a1ae平面平面a1de（2）取bb1的中点f，连接ef、af，连接b1c证出efa1d，可得aef（或其补角）是异面直线ae与a1d所成的角利用勾股定理和三角形中位线定理，算出aef各边的长，再用余弦定理可算出异面直线ae与a1d所成角的余弦值（3）建立的空间直角坐标系中，求得平面a1de的一个法向量，平面ca1d的法向量，利用向量数量积求解夹角余弦值，则易得二面角ca1de的余弦值解答：解：（1）依题意，be=ec=bc=ab=cd，abe是正三角形，aeb=60，又cde中，ced=cde=（180ecd）=30aed=180cedaeb=90，即deae，aa1平面abcd，de平面abcd，deaa1，aa1ae=a，de平面a1ae，de平面a1de，平面a1ae平面a1de（2）取bb1的中点f，连接ef、af，连接b1c，bb1c中，ef是中位线，efb1ca1b1abcd，a1b1=ab=cd，四边形abcd是平