高考数学一轮复习 2.9函数与方程精品学案 .doc

2013版高考数学一轮复习精品学案：函数、导数及其应用第九节 函数与方程【高考新动向】1、考纲点击（1）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数。（2）根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解。2、热点提示（1）函数零点个数、存在区间及方程解的确定与应用是高考的热点.（2）常与函数的图象与性质交汇命题，主要考查函数与方程、转化与化归、数形结合思想.（3）题型以选择题和填空题为主，若与导数综合，则以解答题形式出现，属中、高档题.【考纲全景透析】1、函数的零点（1）函数零点的定义对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。（2）几个等价关系方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点注：函数的零点不是函数与轴的交点，而是与轴的交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数。并非任意函数都有零点，只有有根的函数才有零点。（3）函数零点的判定（零点存在性定理）如果函数在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间（a,b）内有零点，即存在c（a,b），使得f(c)=0，这个c也就是的根注：在上面的条件下，（a,b）内的零点至少有一个c，还可能有其他根，个数不确定。2、二次函数的图象与零点的关系3、二分法（1）二分法的定义对于在区间a,b上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。（2）用二分法求函数零点近似值的步骤第一步，确定区间a,b,验证，给定精确度；第二步，求区间（a,b）的中点；第三步，计算：若=0，则就是函数的零点；若，则令（此时零点）；若，则令（此时零点）；第四步，判断是否达到精确度：即若，则得到零点近似值（或）；否则重复第二、三、四步。【热点难点全析】1、零点的判定相关链接（1）解方程：当能直接求解零点时，就直接求出进行判断。（2）用定理：零点存在性定理。注：如果函数在a,b上的图象是连续不断的曲线，且是函数在这个区间上的一个零点，但不一定成立。(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断例题解析例判断下列函数在给定区间是否存在零点。f(x)=x2-3x-18,x1,8;f(x)=log2(x+2)-x,x1,3分析：第（1）问利用零点的存在性定理或直接求出零点，第（2）问利用零点的存在性定理或利用两图象的交点来求解。解答：（1）方法一：f(1)=12-31-18=-200,f(1)f(8)log22-1=0,f(3)=log25-3log28-3=0,f(1)f(3)0,故f(x)=log2(x+2)-x,x1,3存在零点。方法二：设y=log2(x+2),y=x,，在同一直角坐标系中画出它们的图象，从图象中可以看出当时，两图象有一个交点，因此f(x)=log2(x+2)-x,x1,3存在零点。注：(1)判断函数零点所在的区间，当方程f(x)=0无法解出或函数y=f(x)的图象不易作出时，常用函数零点存在的判定定理判断.(2)判断方程的解所在的区间常转化为函数的零点问题.2、函数零点个数的判定相关链接函数零点个数的判定有下列几种方法：(1)解方程法：令f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间a,b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质；(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点. 例题解析判断函数在区间上零点的个数，并说明理由。分析：求的值判断函数在上的单调性函数零点个数。解答：注：在判断函数y=f(x)零点个数时，若方程f(x)=0易解，则用解方程法求解；否则若可转化为两熟悉函数图象交点问题，用图象法求解，但图象画的太粗糙易出现失误；若图象不易画则可利用零点存在的判定定理及函数的性质综合求解.3、与二次函数有关的零点分布问题相关链接设是实系数一元二次方程的两实根，下面为几类常见二次函数零点分布情况需满足于的条件：根的分布（且均为常数）图象满足的条件只有一根在之间或例题解析例（1）m为何值时，f(x)=x2+2mx+3m+4有且仅有一个零点；有两个零点且均比-1大；（2）若函数f(x)=|4x-x2|+a有4个零点，求褛a 取值范围。分析：（1）二次函数结合图象求解，也可用方程思想求解；（2）利用函数图象求解。解答：（1）若函数f(x)=x2+2mx+3m+4有且仅有一个零点，则等价于=4m2-4(3m+4)=0,即4m2-12m-16=0,即m2-3m-4=0,解得m=4或m=-1方法一：方程思想若f(x)有两个零点且均比-1大，设两零点分别为x1,x2,则x1+ x2=-2m, x1x2=3m+4,故只需，故m的取值范围是方法二：函数思想若f(x)有两个零点且均比-1大，结合二次函数图象可知只需满足，故m的取值范围是。（2）若f(x)=|4x-x2|+a有4个零点，即4x-x2|+a=0有四个根，即|4x-x2|=-a有四个根，令g(x)= |4x-x2|,h(x)=-a.则作出g(x)的图象,由图象可知要使|4x-x2|=-a有四个根，则g(x)与h(x)的图象应有4个交点。故需满足0-a4,即-4a2e,即m-e2+2e+1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.m的取值范围是(-e2+2e+1,+).注：有些二次、高次、分式、指数、对数及三角式、含绝对值方程根的存在问题，常转化为求函数值域或两熟悉函数图象交点问题求解.【高考零距离】1、（2012北京高考文科5）函数f（x）的零点个数为（a）0 （b）1（c）2 （d）3【解题指南】利用函数与方程思想，把函数的零点个数问题转化为方程解的个数问题，再转化为两个函数图象的交点个数。【解析】选b函数f（x）的零点个数，是方程的解的个数，是方程的解的个数，也就是函数与的交点个数。在同一坐标系中作出两个函数的图象，可得交点个数为1个。2、（2011福建卷文科6）若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）（a）. (-1,1) （b）. (-2,2) （c）. (-，-2) （2，+） （d）.（-，-1）（1，+）【思路点拨】方程x2+mx+1=0若有两个不相等的实数根，需满足其判别式，由此即可解得的取值范围.【精讲精析】选c. 方程有两个不相等的实数根，需判别式，解得或.3、（2011新课标全国高考文科10）在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）a. b. c. d. 【思路点拨】结合函数的单调性，将4个选项中涉及的端点值代入函数的解析式，零点所在的区间必在使得端点函数值异号的区间内.【精讲精析】选c 是上的增函数且图象是连续的，又，定在内存在唯一零点.4、（2011陕西高考理科t6）函数在内 （ ）（a）没有零点 （b）有且仅有一个零点（c）有且仅有两个零点 （d）有无穷多个零点【思路点拨】利用数形结合法进行直观判断，或根据函数的性质（值域、单调性等）进行判断。【精讲精析】选b （方法一）数形结合法，令，则，设函数和，它们在的图象如图所示，显然两函数的图象的交点有且只有一个，所以函数在内有且仅有一个零点；（方法二）在上，所以；在，所以函数是增函数，又因为，所以在上有且只有一个零点5、（2011山东高考文科16）已知函数=当2a3b4时，函数的零点 .【思路点拨】由条件易知函数f(x)在（0,+）上为增函数，然后利用函数的零点存在定理求出函数的零点所在区间.【精讲精析】因为函数在（0，上是增函数，即.【考点提升训练】一、选择题(每小题6分，共36分)1.(2011福建高考)若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( )(a)(-1，1)(b)(-2，2)(c)(-,-2)(2,+)(d)(-,-1)(1,+)2.函数f(x)=-+log2x的一个零点落在下列哪个区间( )(a)(0，1)(b)(1，2)(c)(2，3)(d)(3，4)3.（2012福州模拟）下列图象表示的函数能用二分法求零点的是（ ）4.（预测题）设函数f(x)=n-1,xn,n+1),nn，函数g(x)=log2x，则方程f(x)=g(x)的实数根的个数是( )(a)1 (b)2 (c)3 (d)45.(2012揭阳模拟)若函数y=()|1-x|+m的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是( )(a)m-1 (b)m1(c)-1m0 (d)0m16.已知函数f(x)=()x-log2x，正实数a,b,c依次成公差为正数的等差数列，且满足f(a)f(b)f(c)0，若实数d是方程f(x)=0的一个解，那么下列四个判断：db;dc中有可能成立的个数为( )(a)1 (b)2 (c)3 (d)4二、填空题(每小题6分，共18分)7.函数f(x)= 的零点个数为_.8.(2012衡水模拟)已知函数f(x)=3x+x-5的零点x0a,b,且b-a=1,a,bn*，则a+b=_.9.（易错题）若函数f(x)=(m-1)x2+2(m+1)x-1有且仅有一个零点，则实数m的取值集合是_.三、解答题(每小题15分，共30分)10.(2012长沙模拟)已知y=f(x)是定义域为r的奇函数，当x0,+)时，f(x)=x2-2x.(1)写出函数y=f(x)的解析式；(2)若方程f(x)=a恰有3个不同的解，求a的取值范围.11.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.(1)若abc且f(1)=0，试证明f(x)必有两个零点；(2)若对x1,x2r,且x10，解得m2或m-2.2.【解析】选b.f(1)=-1+log21=-10,f(1)f(2)0,故选b.3.【解析】选c.能用二分法求零点，必须满足零点两侧函数值异号.4.【解题指南】在同一坐标系中作出函数f(x)和g(x)的图象，数形结合求解.【解析】选c.画出f(x)和g(x)的图象，如图所示，从图中不难看出方程f(x)=g(x)有3个零点.5.【解析】选c.由已知函数y=()|1-x|+m有零点，即方程()|1-x|+m=0有解，此时m=-()|1-x|.|1-x|0,0()|1-x|1,m-1,0).6.【解析】选c.由题意，f(x)=()x-log2x在(0,+)上是减函数，正数a,b,c依次成公差为正数的等差数列，abf(b)f(c),又f(a)f(b)f(c)0,f(c)0,又f(d)=0,d0,f(b)0,则ad,bd;故正确.若f(a)0,f(b)d,bd.故正确.综上，有可能成立的为3个.【变式备选】已知函数f(x)=()x-log2x,若实数x0是方程f(x)=0的解，且0x1x0,则f(x1)( )(a)恒为正值 (b)等于0(c)恒为负值 (d)不大于0【解析】选a.f(x)=()x-log2x在(0，+)上为减函数，并且f(x0)=0,0x1f(x0)=0.7.【解题指南】作出函数f(x)的图象，数形结合求解.【解析】作出函数f(x)的图象，从图象中可知函数f(x)的零点有4个.答案：48.【解析】由已知x0a,b,且b-a=1,a,bn*，a,b的可能取值为a=1,b=2,或a=2,b=3，又f(1)=3+1-5=-10，f (1)f(2)bc,a0,c0,即ac0,方程ax2+bx+c=0有两个不等实根，函数f(x)必有两个零点.(2)令g(x)=f(x)-f(x1)+f(x2)，则g(x1)=f(x1)- f(x1)+f(x2)= ,g(x2)=f(x2)- f(x1)+f(x2)= .g(x1)g(x2)=- f(x1)-f(x2)2.f(x1)f(x2),g(x1)g(x2)0.g(x)=