高中数学 222椭圆的几何性质同步练习 新人教B版选修21.doc

2.2.2椭圆的几何性质一、选择题1(2010广东文，7)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()a. b.c.d.答案b解析本题考查了离心率的求法，这种题目主要是设法把条件转化为含a，b，c的方程式，消去b得到关于e的方程，由题意得：4b2(ac)4b2(ac)23a22ac5c205e22e30(两边都除以a2)e或e1(舍)，故选b.2已知椭圆c：1与椭圆1有相同的离心率，则椭圆c的方程可能是()a.m2(m0) b.1c.1 d以上都不可能答案a解析椭圆1中，a28，b24，所以c2a2b24，即a2，c2，离心率e.容易求出b，c项中的离心率均不为此值，a项中，m0，所以m20，有1，所以a28m2，b24m2.所以a2|m|，c2|m|，即e.3将椭圆c12x2y24上的每一点的纵坐标变为原来的一半，而横坐标不变，得一新椭圆c2，则c2与c1有()a相等的短轴长 b相等的焦距c相等的离心率 d相同的长轴长答案c解析把c1的方程化为标准方程，即c1：1，从而得c2：y21.因此c1的长轴在y轴上，c2的长轴在x轴上e1，e2e1，故离心率相等，选c.4若椭圆的短轴为ab，它的一个焦点为f1，则满足abf1为等边三角形的椭圆的离心率是()a. b. c. d.答案d解析由abf1为等边三角形，2ba，c2a2b23b2，e.5我们把离心率等于黄金比的椭圆称为“优美椭圆”设1(ab0)是优美椭圆，f、a分别是它的左焦点和右顶点，b是它的短轴的一个端点，则abf等于()a60 b75 c90 d120答案c解析cosabf0，abf90，选c.6椭圆1(mn0)的焦点坐标分别是()a(0，)，(0)b(，0)，(，0)c(0，)，(0，)d(，0)，(，0)答案b解析因为mnm0，故焦点在x轴上，所以c，故焦点坐标为(，0)，(，0)，故选b.7(2010福建文，11)若点o和点f分别为椭圆1的中心和左焦点，点p为椭圆上的任意一点，则的最大值为()a2 b3 c6 d8答案c解析本题主要考查椭圆和向量等知识由题易知f(1,0)，设p(x，y)，其2x2，则(x，y)(x1，y)x(x1)y2x2x3x2x2x3(x2)22当x2时，()max6.8椭圆的一个顶点与两个焦点组成等边三角形，则它的离心率e为()a. b. c. d.答案a解析由题意知a2c，所以e.9设椭圆1(ab0)的离心率为e，右焦点为f(c,0)，方程ax2bxc0的两个实根分别为x1和x2，则点p(x1，x2)的位置()a必在圆x2y22内 b必在圆x2y22上c必在圆x2y22外 d以上三种情形都有可能答案a解析由e知，a2c.由a2b2c2得bc，代入ax2bxc0，得2cx2cxc0，即2x2x10，则x1x2，x1x2，xx(x1x2)22x1x2b0)的焦距为2c，以点o为圆心，a为半径的圆过点p过p作圆的两切线又互相垂直，则离心率e_.答案解析如图，切线pa、pb互相垂直，又半径oa垂直于pa，所以oap是等腰直角三角形，故a，解得e.12过椭圆1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于a，b两点，o为坐标原点，则oab的面积为_答案解析易知直线ab的方程为y2(x1)，与椭圆方程联立解得a(0，2)，b，故sabcsaofsbof121.13已知f1，f2为椭圆1的两个焦点，过f1的直线交椭圆于a、b两点，若|f2a|f2b|12，则|ab|_.答案8解析由椭圆的第一定义得|af1|af2|2a，|bf1|bf2|2a，两式相加，得|ab|bf2|af2|4a20|ab|20128.14在abc中，a90，tanb.若以a、b为焦点的椭圆经过点c，则该椭圆的离心率e_.答案解析设|ac|3x，|ab|4x，又a90，|bc|5x，由椭圆定义：|ac|bc|2a8x，那么2c|ab|4x，e.三、解答题15已知点p在以坐标轴为对称轴，长轴在x轴的椭圆上，点p到两焦点的距离分别为4和2，且点p与两焦点连线所张角的平分线交x轴于点q(1,0)，求椭圆的方程解析根据题意，设所求椭圆方程为1(ab0)，|pf1|4，|pf2|2，2a6，即a3，又根据三角形内角平分线的性质，得|pf1|pf2|f1q|qf2|21，即c12(c1)，c3，b2a2c218，故所求椭圆方程为1.16. 设p是椭圆1(ab0)上的一点，f1、f2是椭圆的焦点，且f1pf290，求证：椭圆的圆心率e.证明证法一：p是椭圆上的点，f1、f2是焦点，由椭圆的定义，得|pf1|pf2|2a，在rtf1pf2中，|pf1|2|pf2|2|f1f2|2(2c)24c2，由2，得|pf1|22|pf1|pf2|pf2|24a2，|pf1|pf2|2(a2c2)，由和，知|pf1|，|pf2|是方程z22az2(a2c2)0的两根，且两根均在(ac，ac)之间令f(z)z22az2(a2c2)则可得()2，即e.证法二：由题意知cb，c2b2a2c2，故e.17椭圆1(ab0)的离心率为，椭圆与直线x2y80相交于p、q，且|pq|，求椭圆方程解析e，b2a2.椭圆方程为x24y2a2.与x2y80联立消去y得2x216x64a20，由0得a232，由弦长公式得10642(64a2)a236，b29.椭圆方程为1.18过椭圆1内一点m(2,1)的一条直线与椭圆交于a，b两点，如果弦ab被m点平分，那么这样的直线是否存在？若存在，求其方程；若不存在，说明理由解析设所求直线存在，方程y1k(x2)，代入椭圆方程并整理，得