对小学数学概念教学的思考_以_比的意义_为例_刘琳娜.pdf

第 卷第 期 年 月 对小学数学概念教学的思考 以 比的意义 为例 刘琳娜 北京航空航天大学 高教所 北京 北京教育学院 初等教育系 北京 摘要 数学概念是小学数学课堂的重要教学内容 通过对小学 比 这一概念的教 学的分析可以看出 数学概念的形成是一个抽象的过程 概念 需揭示事物的本 质特征 小学数学概念教学要让学生认同该概念产生的价值 要关注概念的本质特 征 要有具体材料支撑 还应该是一个循序渐进的过程 关键词 数学概念 本质 比的意义 中图分类号 文献标志码 文章编号 本文受全国教育科学规划 年度中小学数学教育专项重点课题 基于 的中小学数学教师专业发展研究 课题批准号 资助 收稿日期 修回日期 作者简介 刘琳娜 黑龙江宝清县人 北京航空航天大学高教所博士研究生 北京教育学院初等教育系讲师 主要 从事教育经济管理 教师教育研究 数学概念是数学理论体系的基础 从 世 纪 年代起 概念理解逐渐成为教育心理学的 一个主要研究课题 然而因为受到 回归基础 运动的影响 在 世纪 年代中期典型的小学 数学课堂里 有 以上的时间花在练习运算 程序上 只有不到 的时间用于发展概念的 理 解 到了 世纪 年代 后期 概念 理 解 才 又 重 新 成 为 数 学 课 堂 的 焦 点 尽管如此 在我国当前的小学课堂教学 中 重定义轻理解的现象仍然普遍存在 这也可 以从教师们在教学时产生的困惑中窥见一斑 如 一位教师在 比的意义 课后反思中谈到 一 节课下来 做后测时问学生 什么是比 学生也 能对答如流 两个数相除又叫做两个数的比 过 几天再测 学生回答起来就有些茫然 追问原 因 学生的回答是没背下来 忘了 扪心自问 小学的概念教学只是让学生把概念背下来就算学 会了吗 教师上课时也设计了一些贴近生活的情 境 为什么经过几天的搁置 学生对概念的理解 就会淡忘甚至遗忘呢 相信这位教师的困惑也 是很多一线教师的困惑 那么数学概念本身有哪 些特点 学生对数学概念有着怎样的学习与认识 过程 教师如何帮助学生理解与巩固数学概念 本文拟以 比的意义 一课为例 对这些问题进 行一些梳理和探讨 一 数学概念的形成是一个抽象的过程 从数学本身的发展来看 数学概念的来源一 般认为有两个方面 一是直接从客观事物的数量 关系和空间形式反映而得 二是在抽象的数学理 论基础上经过多级抽象所获 所以说 数学概念 既有它的抽象性 也有它的具体内容 例如 比的意义 这部分内容 年版 课标下的各个版本教材尽管在处理方式上有所不 同 但都是通过设计丰富的情境 如国旗的长与 宽的关系 路程与时间的关系等情境 在引导学 生充分感知和体会的基础上 再抽象出 两个数 相除又叫做两个数的比 或 两个数的比表示两 个数相除 不管采用什么样的情境 一般来说 大陆版 教材都将比的含义划分为两层 一是比例 刻画 同类两个量之间的关系 如按比例分配 溶液的 浓度等 二是比率 刻画异类两个量之间的关 系 如路程与时间 总价与数量之间的关系 台湾版教材中用 对等关系 来刻画 比 并 将这种对等关系更加细致地划分为四种类型 组合 一组亲子游戏中 个小孩 需要 个 大人来协助 母子 一打衬衫有 件 其 中 件是蓝色的 交换 小华拿了 本杂 志到图书馆换了 本小说 密度 立方 厘米的水重 克 传统教材中的 概念 确切地说是 定 义 多是以 黑体字 的形式呈现 凡是 黑 体字 就是教师授课时要再三强调的 也是需要 学生必须记住的 新课改后的教材取消了 黑体 字 而代之以多样化的情境抽象出 概念 的 过程 是符合数学概念的发展顺序 更加符合儿 童概念学习和理解的认知规律的 正如杜威指出 的 只有当他具备了和意义有实际联系的某些情 境的经验 他才能掌握这些符号的意义 如果仅 以文字来推演意义 而与事物没有关联 文字就 会失去可理解的含义 因此 呈现多种现实 情境 对帮助学生全面而深刻地理解 比的意 义 是大有裨益的 这也是不同版本教材均呈现 多样化情境的目的所在 二 概念 需揭示事物的本质特征 对课堂上学生的表现教师深感困惑 为什么 学生会对比与除法之间如此明显的关系 视而不 见 我们对前述教师课堂上学生的反应进行一 个回放 情境 第一次试讲 教师引导学生列出几种数量关系之间的除法 算式 一面长 厘米 宽 厘米的国旗 长 与宽之间的关系怎么表示 长 是 宽 的 几 倍 也 可 以 写 成 宽是长的几分之几 也可以写成 一列火车 小时行驶了 千米 速度 是多少 也可以写成 路程 时间 速度 买 斤苹果花了 元 苹果的单价是 多少 也可以写成 总价 数量 单价 在作了这些铺垫后询问学生 什么是比 本以为学生会很顺利地回答出 比 的定义 却 发现没有一个学生能够回答这个问题 于是教师 直接给出 两个数相除又叫做两个数的比 这一 定义 课后教师在反思时谈到 学生之所以回答不 上来 是因为自己没有反复强调和勾连 除法 与 比 之间的关系 于是在第二次试讲时 教 师将重点放在了联系二者的关系上 情境 第二次试讲 在列出了与上次课堂上相同的多个除法算 式后 师 今天这节课我们就在对两个数量用除 法比 较 的 基 础上 来 学 习 一种新 的 数学比较方 法 比 我们一块儿来看这个除法算式 表示长是宽的几倍 我们用除法 这种倍数 关系 我 们 也 可 以 说 成 长 和 宽 的 比 是 表示宽是长的几分之几 也可以说成宽和 长的比是 生 它们相同的地方是都是除法 教师再次重复说 对 它们都有一个除法的 关系 那你们说说 什么叫做比 仅有一个女生举手 这是该女生在这堂课上 唯一的一次举手 教师叫起了她 女生回答 说 两 个 数 相 除 叫 两 个 数 的 比 也许是受启发于教师的反复强调 也许是打开 课本看了看 教师如释重负 在黑板上写下了 两个数相 除又叫做两个数的比 如此明显的除法与比之间的关系为什么大多 数学生会视而不见 课堂上教师反复强调了除法 与比的关系 又进行齐读的强化训练 为什么几 天之后学生仍然会忘记 学生真的是忘记了吗 还是从心底里对教材中 两个数相除又叫做两个 数的比 这一说法没有认可 杜威在 我们怎样思维 一书中提出 由 语言符号所固定下来的意义像一堵围墙 像一个 标签 像一种媒介 这才使得事物获得独特的 恒久 的 意 义 可 以 长 期 保 存 可 以 进 行 交 流 根据杜威的观点 一个概念应该使 某一事物具有其独特的意义 那么根据 两个数 相除又叫做两个数的比 这一说法 除法与比有 什么区别呢 比 这一概念的独特性体现在哪 里 也许正是源于对这一问题的困扰 学生不愿 意 承认 两个数相除又叫做两个数的比 这 一说法 因为这一概念不能够揭示引入 比 这 一概念的独特价值 也即区别于 除法 的本质 特征 由此 我们可以看出 两个数相除 并不 是 比 的本质特征 而只是它的另外一种表现 形式 分数也可以是比的另外一种表现形式 用表现形式来代替本质属性本身就是一种非本质 特征的泛化 是一种错误的概括 而这种错误的 概括会对学生概念学习产生重要影响 现代心理 学家奥苏伯尔从认知结构的角度研究了错误概念 的产生原因 他认为 在数学概念学习过程中 如果向学生的认知结构中加入错误的或不充分的 信息 也将导致错误概念的产生 斯涅普坎从学 生感知觉的特点出发 同样认为 非本质特征的 泛化 错误 的 概 括 是 错 误 概 念 产 生 的 重 要 原 因 那么比到底是什么 作为数学名词 目前看 到的有如下三种不同的解释 比是表示两个量倍数关系的记录 年版 辞海 比是表示两个数相除关系的记录 大陆 小学数学教材 比是表示两个量对等关系的记录 台湾 小学数学教材 王永老师指出 比源于度量 比能够解决物 体 不 可 度 量 的 属 性 的 可 比 性 这 才 是 比 的 本质 三 对小学数学概念教学的思考 所谓对 数学基本概念的理解 是指了解 为什么要学习这一概念 这一概念的现实原型是 什么 这一概念特有的数学内涵 数学符号是什 么 以这一概念为核心是否能构建一个 概念网 络图 基于此 笔者对于小学阶段数学概念的 教学 提出几点思考 一 概念教学首先要让学生认同该概念产 生的价值 在 比的 意 义 上 课 伊 始 教 师 问 学 生 你们想了解比的什么知识 就有学生提出 比有什么用 课后笔者对学生进行了询问 你觉得比有什么用 学生的回答仍然是 比可 以表示两个数相除 比的意义仅限于此吗 在 和授课教师研讨时 笔者指出 本节课凸显比的 价值不够 教师的回答是 比的价值应该在下堂 课 比的应用 中解决 不是这堂课要解决的 真的如此吗 正如王永老师所举的例子 学生 提出 既然两个数相除 又叫做这两个数的比 那为什么还要学比呢 这一质疑 让教师感到十 分沮丧与无奈 相信在这一部分内容的教学中 尽管不是每个学生都提出了这样的质疑 这一问 题也一定是存在于大多数学生和教师心中的一个 疑惑 只有采取主动的学习 才能明确文字的 意义 因此 在学习概念之初 让学生了 解 明确并认同引入这一概念的价值对帮助学生 有意识地去理解概念是非常有帮助的 比的意 义 一课要凸显的 比的价值 应为让学生感知 引入 比 这一概念的必要性 而 比的应用 课要解决的则是如何运用比的意义解决生活中的 现实问题 此 价值 与彼 价值 是不同的 价值 二 概念教学要关注本质特征 为了帮助学生有效掌握概念 教师在教学中 要注意以下几点 以准确的语言明确揭示概 念的本质 突出有关特征 控制无关特征 正例和反例的运用 变式和比较 在 实践中运用概念 可以看出 第一点和第二点所说的都是在概 念学习中要关注本质 摒弃非本质特征 奥苏伯 尔也指出 概念学习 实质上是掌握同类事物 的共同的关键特征 而这些关键特征与它的大 小 形状 颜色等特征无关 小学阶段涉及的基本概念很多 如十进位 制 平面图形 平行四边形 圆 周长 面积 体积 四 则 运 算 加 减 乘 除 的 意 义 统计等等 据不完全统计 在小学阶段学 生要掌握的数学概念有 多个 如何把握这 些概念最核心 最本质的特征 并以最有效的方 式引发学生思考 促进思维力的提升 必须是小 学数学教师尤其要关注的问题 三 概念教学要有具体材料支撑 凡是数学概念的学习都必定要有具体材料的 支撑 比 比例 百分比 都是对事物做比较 的特殊形式 也经常在日常生活中使用 但是学 生理解起来却常常有困难 为了解决学生的困 难 除了前面提到的需要让学生经历从具体情境 中抽象出 比 的概念的过程 还要给学生提供 一些具体的材料和动手操作的机会 如通过实际 分物体 画各种直观图来体会 按比分配 的含 义 准备一根标志出几个点的橡皮圈和标有厘米 刻度的尺子 或者数轴 固定住橡皮圈上的一 点 通过拉伸橡皮圈上的另外一点 感受其他各 点位置的变化来认识 等价比 准备两个纸条 通过多次对折纸条 发现两个纸条长度比的关系 来了解 比例 等等 在对材料操作的过程中 这些抽象的概念便拥有了具体的内容 四 概念教学需循序渐进 不少教师认为 概念学习就是一堂课的事 情 以后的学习就转向解决问题 做计算了 然 而概念学习并不是一蹴而就的 对数学概念的理 解和学习是有层次的 正如荷兰数学教育家弗赖 登塔尔所说 从非数学的语言到完全形式化的 语言要 经 过 一 条 漫 长 的 道 路 克 劳 斯 梅 尔 提供了一个数 学概念学习和发展的模型 其中把数学概念学习 分为以下五个阶段 阶段 具体期 学生能理解一个先前经验 过的例子 阶段 确认期 学生可以了解一个之前遭 遇过的例子 即使这个例子是由不同时空观点或 是不同形式来观察的 阶段 分类期 学生能够分别举出正例与 反例 阶段 生产期 学生可以自行举出关于 此概念的例子 阶段 形式期 学生可以说出此概念的 定义 我们的教学常常是在第一课时就引出某个概 念 之后的学习就脱离开概念 转而进行解决问 题和计算的学习 这一问题在另外一位上 比的 应用 一课的教师那里也有所体现 课堂上 教 师先出示下图 引导学生讨论阴影 份 白色 份 总共 份 阴影与白色的比是 阴影面积占总面 积的 之后 给这一图示赋予情境 一块长方形 地 公顷 按照 种植月季花和玫瑰花 月季花和玫瑰花各种多少公顷 借助示意图尝试 解答 课上得很顺利 学生对这道题的解决毫 无困难 那么这堂课成功了吗 下面是课后在与这位教师研讨时的一段简短 对话 笔者 为什么要先给学生呈现这样一个图 示呢 师 为了给学生搭桥 否则有的学生在做题 时就不会做 笔者 那么比的应用一课你的目标是什么 师 主要是让学生会解决关于比的问题 很明显 教师本节课的重点或者目标就是为 了让学生更加迅速地解题 因此在课前给出了一 个固定的解题范式 按照克劳斯梅尔的观点 学生在前一课 比 的意义 的学习时 应该处于概念理解的 具体 期 即能够理解 比 所能够表示的多种情境 而在 比的应用 的学习中 实际上仍然是对 比 的概念的再认识和确认 即能够根据 比 在现实生活中应用的例子进一步理解 比 的概 念 并根据 比的意义 来分析这个例子 如果 教师能够理解这一点 就应该直接抛出一个情 境 请学生根据以往经验对数量关系进行分析 在分析的过程中 学生可以采取多种途径和策略 画面积图 画线段图 列式 一次一次重复分 等 在这一过程中继续深化对 比 这一概念 的理解 而文中教师的这种处理方式就会降低学 生运用 比的意义 解决问题的思考 而变成模 式化的为解题而解题 因此 第一位教师的困惑 为什么学生学过 几天后还会忘记 这一问题也可以从学生学习数 学概念的过程来解释 概念学习是贯穿数学学习 始终的 也是一个渐进的过程 只有当学生多角 度 多层面地理解了概念 才能够顺利向