流形上的散度公式和式极限证明和数值模型 [附件3 分析.doc

附件3流形上的散度公式和式极限证明和数值模型分析与说明杨科中国 成都 610017E-mail: 以符号/为首者为分析说明(红色痕迹)目录引言 证明的前提条件-单连通可定向闭合曲面坐标系的建立(参见 流形上的散度公式证明 引言2)1.流形上的散度公式和式极限证明 .。. 12.流形上的散度公式和式极限数值模型 .15参考书籍. 291.流形上的散度公式和式极限证明:散度公式 设空间闭区域是由光滑或分片光滑的闭曲面S围成,函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) 构成向量场A 及其偏导数在空间闭区域上连续,则 (1)其中曲面S为空间闭区域的整个边界曲面外侧,n为曲面S的单位外法向量, divA为向量场A的散度 / 强调曲面的可定向性证明(和式极限形式):定义任意单连通、可定向闭合曲面S的参数表达式:/不是”任意曲面S”的参数表达式,而是”任意单连通、可定向闭合曲面S”的参数表达式/详见 流形上的散度公式证明 引言2 说明a sin(u)cos(v),b sin(u)sin(v),c cos(u) (2)/在严格意义上,参数表达式a sin(u)cos(v),b sin(u)sin(v),c cos(u) 是任意单连通、可定向闭合曲面S在”直角坐标系”和”任意单连通、可定向闭合曲面S坐标系”之间的转换式.其中a,b,c为非零常数或一阶可导连续函数表达式, 单连通、可定向闭合曲面S决定a,b,c的取值;设定参数u,v的变化范围0,0,2,使曲面S闭合.(参见Poincare猜想: 任何与n维球面同伦的n维闭合流形必定同胚于n维球面)19/在散度公式涉及的三维欧氏空间, Poincare猜想对应的判断为任何单连通、可定向2维闭合流形必定同胚于2维球面./待定系数a,b,c均不是由任意的一阶可导连续函数表达式构成,a,b,c的取值必须服从于参数曲面S的”单连通、可定向闭合”的拓扑学属性; 详见 流形上的散度公式证明 引言2 说明.根据曲面参数表达式(2),定义并计算第一偏导数矩阵,获取曲面S的切平面法向量: =(3)从(3)式分别提取i,j,k项系数,获得曲面S的切平面法向量:, (4)设定曲面S的参数分割单元数量为50 (可取任意自然数值): (5)1.曲面S的第一分割单元的微观曲面积分过程:分割参数u的取值区间0,: du = 分割参数v的取值区间0,2: dv = (6)分割切平面法向量(7): 即将(6)带入(4) (7)分割抽象向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)(8):P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) (8)/ 由于抽象向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)的普遍性和同质性, 其在第一分割单元的值仍为P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)计算曲面S的第一分割单元的微观曲面积分值: (9)根据积分中值定理,抽象向量场(8)与切平面法向量(7)的空间点积再乘以参数u,v的分割区间(6)即为第一分割单元的微观曲面积分值(9)(9)2.曲面S的所有分割单元(即50个分割单元)的微观曲面积分过程:分割参数u的取值区间0,: du = 分割参数v的取值区间0,2: dv = (10)(其中s和t均为150的自然数)分割切平面法向量(11): 即将(10)带入(4) (11)/(11)式不再是单一向量值,而是有限个(即50个)向量值的集合分割抽象向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)(12):P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) (12)/ 由于抽象向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)的普遍性和同质性, 其在所有分割单元(即50个分割单元)的值仍为P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)计算曲面S的所有分割单元的微观曲面积分值:根据积分中值定理,抽象向量场(12)与切平面法向量(11)的空间点积再乘以参数u,v的分割区间(10)即为所有分割单元的微观曲面积分值(13)(13)/ 上述积分值不再是单一数值,而是有限个(即50个)数值的集合构建有限个(即50个)微观曲面积分值组成的数列(14):(由于该数列表达式极长,已省略;在附件Mape程序样本中,将指令sqn:=seq(seq(stdV1*stdA+stdV2*stdB+stdV3*stdC)*du*dv,s=1.dus),t=1.dus):末尾的:替换为;即可获得) 数列的累加 (即抽象向量场(11) 与切平面法向量(10) 的空间点积在曲面S的所有50个分割单元的积分值求和),获得流形上曲面积分值(15) (由于该累加结果表达式极长,已省略;在附件Mape程序样本中,将指令add(k,k=sqn):xi:=evalf(%);中间的:替换为;即可获得)将累加结果表达式转化为浮点数值:/该值随参数分割区间数量的无限增大,无限趋近于零设定曲面S的参数分割单元数量为n (即不确定的自然数): (16)3.曲面S的第一分割单元的微观曲面积分过程:分割参数u的取值区间0,: du = 分割参数v的取值区间0,2: dv = (17)分割切平面法向量(18): 即将(17)带入(4) (18)分割抽象向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)(19):P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) (19)/ 由于抽象向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)的普遍性和同质性, 其在第一分割单元的值仍为P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)计算曲面S的第一分割单元的微观曲面积分值: (20)根据积分中值定理,抽象向量场(19)与切平面法向量(18)的空间点积再乘以参数u,v的分割区间(17)即为第一分割单元的微观曲面积分值(20) (20)4.曲面S的所有分割单元(即n个分割单元)的微观曲面积分过程:分割参数u的取值区间0,: du = 分割参数v的取值区间0,2: dv = (21)(其中s和t均为1n的自然数)分割切平面法向量(22): 即将(21)带入(4) (22)/(22)式不再是单一向量值,而是有限个(即n个)向量值的集合分割抽象向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)(23):P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) (23)/ 由于抽象向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)的普遍性和同质性, 其在所有分割单元(即n个分割单元)的值仍为P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)计算曲面S的所有分割单元的微观曲面积分值(24):根据积分中值定理,抽象向量场(23)与切平面法向量(22)的空间点积再乘以参数u,v的分割区间(21)即为所有分割单元的微观曲面积分值(24) (24)/ 上述积分值不再是单一数值,而是有限个(即n个)数值的集合构造有限和式(25):(在参数分割单元数量n不确定的情况下,抽象向量场(23)与切平面法向量(22)的空间点积在所有分割单元的积分值求和):有限和式的无限化,其极限运算值即为流形上的曲面积分值(26)(在参数分割单元数量n趋于无穷的情况下, 抽象向量场(23)与切平面法向量(22)的空间点积在所有分割单元的积分值求和表达式的极限值) = = 0 (26)将曲面S的参数表达式(2)各项通乘以向径r(设定r0),将x,y,z轴方向上的曲面坐标参数转化为空间有界闭区域坐标参数:ra sin(u)cos(v),rb sin(u) sin(v),rc cos(u) (27)根据空间有界闭区域坐标参数 (27), 定义并计算第二偏导数矩阵, 获取空间有界闭区域微元系数的一般表达式:= (28)/ 在严格意义上, 空间有界闭区域微元系数是”空间有界闭区域坐标微元”和”直角坐标微元”之间的比值.计算抽象向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)的散度,并将其从直角坐标形式(29)转变为空间有界闭区域坐标形式(30): (29) (30)/在空间直角坐标系,抽象向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)的散度为 在本证明的逻辑推导中,需要将其引入抽象单连通可定向闭合曲面坐标系.抽象向量场散度的三个组成单元, , 为抽象微分函数结构,而其微分变量x,y,z皆含有子变量r,u,v.空间直角坐标系与抽象单连通可定向闭合曲面坐标系之间的转换式为x = r a sin(u)cos(v), y = r b sin(u) sin(v), z = r c cos(u)-与微分函数,的三个微分变量,对应的坐标转换微分函数分别为 , 和“微分函数 , 与坐标转换微分函数的乘积”(即两种微分函数的乘积)构成了抽象单连通可定向闭合曲面坐标系的散度./ 是”链式求导”还是”坐标转换”? / 如果是”链式求导”,根据”同链相乘,分链相加”的原则应为:/ 不论是”链式求导”还是求”散度”或者”旋度”, 解决的是抽象向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)”如何求导”、”求导方式” 的问题;而这里是要将抽象向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)散度求导的结果从一个坐标系转化到另一个坐标系的问题;两个”问题”的性质和层次都是不同的,这里是”相乘”而不是”相加”,这是由坐标的空间属性决定的.设定曲面S圈围的空间有界闭区域的参数分割单元数量为20(可取任意自然数值) (31)5.空间有界闭区域的第一分割单元的微观三重积分过程:分割参数r的取值区间0,1: dr = 分割参数u的取值区间0,: du = 分割参数v的取值区间0,2: dv = (32)分割体积微元系数J(33) 即将(32)带入(28):(体积微元系数(28)在空间有界闭区域的第一分割单元的对应值) (33)分割抽象散度函数(34): 即将(32)带入(30)(抽象散度(30)在空间有界闭区域的第一分割单元的对应值)(34)/由于抽象数量场(散度)的普遍性和同质性,如果该抽象数量场在空间有界闭区域有定义, 则在空间有界闭区域的某一或若干分割单元,该抽象数量场仍然可以被表述为计算空间有界闭区域的第一分割单元的微观三重积分值(35):根据积分中值定理,抽象散度(34)与体积微元系数(33)的乘积再乘以参数r,u,v的分割区间(32)即为第一分割单元的微观三重积分值(35)6.空间有界闭区域的所有分割单元(即20个分割单元)的微观三重积分过程:分割参数u的取值区间0,: du = 分割参数v的取值区间0,2: dv = 分割参数r的取值区间0,1: dr = (36)(其中i,j,k均为120的自然数)分割体积微元系数(37): 即将(36)带入(28) (体积微元系数(28)在空间闭区域的所有(20个)分割单元的对应值) (37)/(37)式不再是单一数值,而是有限个(即20个)数值的集合分割抽象散度函数(38): 即将(36)带入(30)(抽象散度(30)在空间有界闭区域的所有(20个)分割单元的对应值)(38)/(38)式不再是单一数值,而是有限个(即20个)数值的集合/由于抽象数量场(散度)的普遍性和同质性,如果该抽象数量场在空间有界闭区域有定义, 则在空间有界闭区域的某一或若干分割单元,该抽象数量场仍然可以被表述为计算空间有界闭区域的所有分割单元的微观三重积分值(39):根据积分中值定理,抽象散度(38)与体积微元系数(37)的乘积再乘以参数r,u,v的分割区间(36)即为所有(20个)分割单元的微观三重积分值(39) (39)/(39)式不再是单一数值,而是有限个(即20个)数值的集合构建有限个(即20个)微观三重积分值组成的数列(40):(由于该数列表达式极长,已省略;在附件Mape程序样本中,将指令sqn:=seq(seq(seq(ijkddiV2*ijkdJ*dr*du*dv,i=1.dus),j=1.dus),k=1.dus):末尾的:替换为;即可获得) 数列的累加(即散度(38)与体积微元的乘积在所有(20个)分割单元上的积分值求和),获得流形上的三重积分值(41) (由于该累加结果表达式及其结果值极长,已省略;在附件Mape程序样本中,将指令add(k,k=sqn):omega:=evalf(%):中间及末尾的:替换为;即可获得)/该值随参数分割区间数量的无限增大,无限趋近于零设定曲面S圈围的空间有界闭区域的参数分割单元数量为n(即不确定的自然数值) (42)7.空间闭区域的第一分割单元的微观三重积分过程:分割参数r的取值区间0,1: dr = 分割参数u的取值区间0,: du = 分割参数v的取值区间0,2: dv = (43)分割体积微元系数J(44) 即将(43)带入(28):(体积微元系数(28)在空间闭区域的第一分割单元的对应值) (44)分割抽象散度函数(45): 即将(43)带入(30)(抽象散度(30)在空间闭区域的第一分割单元的对应值) (45)/由于抽象数量场(散度)的普遍性和同质性,如果该抽象数量场在空间有界闭区域有定义, 则在空间有界闭区域的某一或若干分割单元,该抽象数量场仍然可以被表述为计算空间闭区域的第一分割单元的微观三重积分值(46):根据积分中值定理,抽象散度(45)与体积微元系数(44)的乘积再乘以参数r,u,v的分割区间(43)即为第一分割单元的微观三重积分值(46)8.空间闭区域的所有分割单元(即n个分割单元)的微观三重积分过程:分割参数u的取值区间0,: du = 分割参数v的取值区间0,2: dv = 分割参数r的取值区间0,1: dr = (47)(其中i,j,k均为1n的自然数)分割体积微元系数(48): 即将(47)带入(28) (体积微元系数(28)在空间闭区域的所有(n个)分割单元的对应值) (48)/(48)式不再是单一数值,而是有限个(即n个)数值的集合分割抽象散度函数(49): 即将(47)带入(30)(抽象散度(30)在空间闭区域的所有(n个)分割单元的对应值)(49)/(49)式不再是单一数值,而是有限个(即n个)数值的集合/由于抽象数量场(散度)的普遍性和同质性,如果该抽象数量场在空间有界闭区域有定义, 则在空间有界闭区域的某一或若干分割单元,该抽象数量场仍然可以被表述为计算空间闭区域的所有分割单元的微观三重积分值(50):根据积分中值定理,抽象散度(49)与体积微元系数(48)的乘积再乘以参数r,u,v的分割区间(47)即为所有(n个)分割单元的微观三重积分值(50): /上述(50)式不再是单一数值,而是有限个(即n个)数值的集合构造有限和式(51): (51) 有限和式的无限化,其极限运算值即为整个空间闭区域的三重积分值(52) (在参数分割单元数量n的情况下,抽象散度(49)与体积微元的乘积在所有分割单元的积分值求和表达式的极限值)= 0 (52)其中,设定即设定体积微元本身在所有分割单元的积分值之和不能为零,也可以理解为设定空间积分区域不能为零体积即在n 情况下,(25)=(51):=亦可表述为 (1), 证毕2.流形上的散度公式和式极限数值模型:已知: 单连通、可定向闭合曲面(不规则、不对称)的参数表达式 (1)其中,u0,v0,2; 以及积分向量场 (2)计算并验证流形上的散度公式(和式极限). 图1 单连通、可定向闭合曲面,积分向量场(蓝箭簇)及其散度等值面解: 第一部分,自由曲面积分(和式极限)实现:根据曲面参数表达式(1),定义并计算第一偏导数矩阵,获取曲面的切平面法向量: =(3)从(3)式分别提取i,j,k项系数,获得曲面S的切平面法向量(4): (4)设定曲面S的参数分割单元数量为50 (可取任意自然数值): (5)1.曲面S的第一分割单元的微观曲面积分过程:分割参数u的取值区间0,: du = 分割参数v的取值区间0,2: dv = (6)分割切平面法向量(7): 即将(6)带入(4) (7)分割具体向量场(8): 即将(1)带入(2)以后,再带入(6)(8)计算曲面S的第一分割单元的微观曲面积分值: (9)根据积分中值定理,积分向量场(8)与切平面法向量(7)的空间点积再乘以参数u,v的分割区间(6)即为第一分割单元的微观曲面积分值(9)2.曲面S的所有分割单元(即50个分割单元)的微观曲面积分过程:分割参数u的取值区间0,: du = 分割参数v的取值区间0,2: dv = (10)(其中s和t均为150的自然数)分割切平面法向量(11): 即将(10)带入(4) (11)/(11)式不再是单一向量值,而是有限个(即50个)向量值的集合分割具体向量场(12): 即将(1)带入(2)以后,再带入(10)计算曲面S的所有分割单元的微观曲面积分值:根据积分中值定理,具体向量场(12)与切平面法向量(11)的空间点积再乘以参数u,v的分割区间(10)即为所有分割单元的微观曲面积分值(13) / 上述积分值不再是单一数值,而是有限个(即50个)数值的集合构建有限个(即50个)微观曲面积分值组成的数列(14):(由于该数列表达式极长,已省略;在附件Mape程序样本中,将指令sqn:=seq(seq(stdV1*stdA+stdV2*stdB+stdV3*stdC)*du*dv,s=1.dus),t=1.dus):末尾的:替换为;即可获得) 数列的累加 (即抽象向量场(11) 与切平面法向量(10) 的空间点积在曲面S的所有50个分割单元的积分值求和),获得流形上曲面积分值(15) (由于该累加结果表达式极长,已省略;在附件Mape程序样本中,将指令add(k,k=sqn):xi:=evalf(%);中间的:替换为;即可获得)将累加结果表达式转化为浮点数值:41.18505570设定曲面S的参数分割单元数量为n (即不确定的自然数): (16)3.曲面S的第一分割单元的微观曲面积分过程:分割参数u的取值区间0,: du = 分割参数v的取值区间0,2: dv = (17)分割切平面法向量(18): 即将(17)带入(4) (18)分割具体向量场(19): 即将(1)带入(2)以后,再带入(17) (19)计算曲面S的第一分割单元的微观曲面积分值: (20)根据积分中值定理,向量场(19) 与切平面法向量(18) 的空间点积再乘以参数u,v的分割区间(17)即为第一分割单元的微观曲面积分值(20)4.曲面S的所有分割单元(即n个分割单元)的微观曲面积分过程:分割参数u的取值区间0,: du = 分割参数v的取值区间0,2: dv = (21)(其中s和t均为1n的自然数)分割切平面法向量(22): 即将(21)带入(4) (22)/(22)式不再是单一向量值,而是有限个(即n个)向量值的集合分割具体向量场(23): 即将(1)带入(2)以后,再带入(21) (23)计算曲面S的所有分割单元的微观曲面积分值(24):根据积分中值定理,具体向量场(23)与切平面法向量(22)的空间点积再乘以参数u,v的分割区间(21)即为所有分割单元的微观曲面积分值(24) (24) / 上述积分值不再是单一数值,而是有限个(即n个)数值的集合构造有限和式(25):(在参数分割单元数量n不确定的情况下, 向量场(23) 与切平面法向量(22) 的空间点积在所有分割单元的积分值求和) (25)有限和式的无限化,其极限运算值即为流形上的曲面积分值(26)(在参数分割单元数量n趋于无穷的情况下, 抽象向量场(23)与切平面法向量(22)的空间点积在所有分割单元的积分值求和表达式的极限值) = (26)第二部分,自由体积分(和式极限)实现:将目标曲面的参数表达式(1)各项通乘以向径r(设定r0),将x,y,z轴方向上的曲面坐标参数转化为空间有界闭区域坐标参数: (27)根据空间有界闭区域坐标参数(27), 定义并计算第二偏导数矩阵,获取空间有界闭区域微元系数的一般表达式(28): = / 在严格意义上,空间闭区域微元系数是”该蛇形曲面所包含空间闭区域坐标微元”和”直角坐标微元”之间的比值./ 不同几何拓扑形状的空间区域,有不同的空间区域微元系数; 如同球体空间闭区域微元系数是,而其它几何拓扑形状的空间闭区域微元系数则千差万别.计算向量场(2)的散度: (29)设定曲面S圈围的空间有界闭区域的参数分割单元数量为20(可取任意自然数值) (30)5.空间有界闭区域的第一分割单元的微观三重积分过程:分割参数r的取值区间0,1: dr = 分割参数u的取值区间0,: du = 分割参数v的取值区间0,2: dv = (31)分割体积微元系数J(32)： 即将(31)带入(28)(体积微元系数(28)在空间闭区域的第一分割单元的对应值) (32)分割散度(33)：即将(27)带入(29)以后，再带入(31):(具体散度(29)在空间有界闭区域的第一分割单元的对应值) （33）计算空间有界闭区域的第一分割单元的微观三重积分值(34):根据积分中值定理,具体散度(33)与体积微元系数(32)的乘积再乘以参数r,u,v的分割区间(31)即为第一分割单元的微观三重积分值(34)（34）6.空间有界闭区域的所有分割单元(即20个分割单元)的微观三重积分过程:分割参数u的取值区间0,: du = 分割参数v的取值区间0,2: dv = 分割参数r的取值区间0,1: dr = (35)(其中i,j,k均为120的自然数)分割体积微元系数(36): 即将(35)带入(28) (体积微元系数(28)在空间有界闭区域的所有(20个)分割单元的对应值) （36）/(36)式不再是单一数值,而是有限个(即20个)数值的集合分割具体散度(37): 即将(27)带入(29)以后,再带入(35)(具体散度(29)在空间有界闭区域的所有(20个)分割单元的对应值) （37）/(37)式不再是单一数值,而是有限个(即20个)数值的集合计算空间闭区域的所有分割单元的微观三重积分值(38):根据积分中值定理,具体散度(37)与体积微元系数(36)的乘积再乘以参数r,u,v的分割区间(35)即为所有(20个)分割单元的微观三重积分值(38)(38）/(38)式不再是单一数值,而是有限个(即20个)数值的集合构建有限个(即20个)微观三重积分值组成的数列(39):(由于该数列表达式极长,已省略;在附件Mape程序样本中,将指令sqn:=seq(seq(seq(ijkddiV*ijkdJ*dr*du*dv,i=1.dus),j=1.dus),k=1.dus):末尾的:替换为;即可获得) 数列的累加(即散度(37)与体积微元的乘积在所有(20个)分割单元上的积分值求和),获得流形上的三重积分值(40) (由于该累加结果表达式极长,已省略;在附件Mape程序样本中,将指令add(k,k=sqn):omega:=evalf(%):中间及末尾的:替换为;即可获得)将累加结果表达式转化为浮点数值: 设定曲面S圈围的空间有界闭区域的参数分割单元数量为n(即不确定的自然数值) (41)7.空间有界闭区域的第一分割单元的微观三重积分过程:分割参数r的取值区间0,1: dr = 分割参数u的取值区间0,: du = 分割参数v的取值区间0,2: dv = (42)分割体积微元系数J(43) 即将(42)带入(28):(体积微元系数(28)在空间有界闭区域的第一分割单元的对应值)分割具体散度函数(44): 即将(27)带入(29)以后,再带入(42)(具体散度(29)在空间有界闭区域的第一分割单元的对应值) （44）计算空间有界闭区域的第一分割单元的微观三重积分值(45):根据积分中值定理,具体散度(44)与体积微元系数(43)的乘积再乘以参数r,u,v的分割区间(42)即为第一分割单元的微观三重积分值(45) (45)8.空间有界闭区域的所有分割单元(即n个分割单元)的微观三重积分过程:分割参数u的取值区间0,: du = 分割参数v的取值区间0,2: dv = 分割参数r的取值区间0,1: dr = (46)(其中i,j,k均为1n的自然数)分割体积微元系数(47): 即将(46)带入(28) (体积微元系数(28)在空间有界闭区域的所有(n个)分割单元的对应值)（47）/(47)式不再是单一数值,而是有限个(即n个)数值的集合分割具体散度(48): 即将(27)带入(29)以后,再带入(46)(具体散度(29)在空间闭区域的所有(n个)分割单元的对应值) （48）/(48)式不再是单一数值,而是有限个(即n个)数值的集合计算空间有界闭区域的所有分割单元的微观三重积分值(49):根据积分中值定理,抽象散度(48)与体积微元系数(47)的乘积再乘以参数r,u,v的分割区间(46)即为所有(n个)分割单元的微观三重积分值(49): /上述(49)式不再是单一数值,而是有限个(即n个)数值的集合构造有限和式(50): (50) 有限和式的无限化,其极限运算值即为整个空间有界闭区域的三重积分值 (51) (在参数分割单元数量n的情况下, 散度(48) 与体积微元的乘积在所有分割单元的积分值求和表达式的极限值) = (51)积分向量场在目标曲面的积分(和式极限)精确值(26), 等于该向量场的散度在目标曲面包含的空间区域的体积分(和式极限)精确值(51),流形上的散度公式(和式极限)运算并验证完毕.参考书籍:1基础物理述评教程潘根 科学版 2002.1 (P360-361,P385,P401)2费恩曼物理学讲义(第2卷) The Feynman Lectures on Physics by Richard Feynman, Robert B. Leighton, Matthew L. SandsPearson Education 1989 上海世纪出版股份有限公司/上海科学技术版 2005.6 第1版 2009.10 第6次印刷 (P31-32,P48-54,P55-65,P159-165,P230-242,P259-289)3电磁学 高等教育版 2001.1 (P33-43)4电动力学及其计算机辅助教学科学版