山西省大学附中高二数学3月月考试题 理（含解析）新人教A版.doc

2012-2013学年山西大学附中高二（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1（5分）（2012安庆二模）复数的共轭复数是a+bi（a，br），i是虚数单位，则ab的值是（）a7b6c7d6考点：复数代数形式的乘除运算专题：计算题分析：化简 复数=7i，根据它的共轭复数是a+bi，可得 a 和 b的值，从而求得ab的值解答：解：复数=7i，由于它的共轭复数是a+bi，故 a=7，b=1，故ab的值是7，故选c点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题2（5分）（2000天津）如图中阴影部分的面积是（）abcd考点：定积分在求面积中的应用专题：计算题分析：求阴影部分的面积，先要对阴影部分进行分割到三个象限内，分别对三部分进行积分求和即可解答：解：直线y=2x与抛物线y=3x2解得交点为（3，6）和（1，2）抛物线y=3x2与x轴负半轴交点（，0）设阴影部分面积为s，则=所以阴影部分的面积为，故选c点评：本题考查定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关键是要注意在x轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），属于基础题3（5分）如果f（x）为偶函数，且f（x）导数存在，则f（0）的值为（）a2b1c0d1考点：导数的概念；偶函数专题：阅读型分析：由函数为偶函数得到f（x）等于f（x），然后两边对x求导后，因为导函数在x=0有定义，所以令x等于0，得到关于f（0）的方程，求出方程的解即可得到f（0）的值解答：解：因为f（x）为偶函数，所以f（x）=f（x），此时两边对x求导得：f（x）=f（x），又因为f（0）存在，把x=0代入得：f（0）=f（0），解得f（0）=0故选c点评：此题考查了导数的运算，考查偶函数的性质，是一道综合题4（5分）已知点p在曲线y=上，为曲线在点p处的切线的倾斜角，则的取值范围是（）a0，）bcd考点：导数的几何意义专题：计算题分析：由导函数的几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函数值，结合函数的值域的求法利用基本不等式求出k的范围，再根据k=tan，结合正切函数的图象求出角的范围解答：解：根据题意得f（x）=，k=，则曲线y=f（x）上切点处的切线的斜率k，又k=tan，）故选d点评：2本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想5（5分）设a、b、c是互不相等的正数，现给出下列不等式 （1）|ab|ac|+|bc|；（2）；（3）；（4），则其中正确个数是（）a0b1c2d3考点：不等式比较大小专题：计算题分析：利用绝对值不等式的性质可判断（1），利用换元法与作差法、配方法可判断（2），利用基本不等式可判断（3），利用分析法可判断（4）解答：解：（1）|ab|=|（ac）+（cb）|ac|+|bc|，故（1）正确；（2）由于a0，令t=a+（t2），则a2+（a+）=t2t2=t（t1）2212=0，即则a2+a+，故（2）正确；（3）不妨令a=1，b=2，则|ab|+=11=02，故（3）错误；（4）要证，需证+，即证2a+3+22a+3+2，即证a2+3aa2+3a+2，即02，显然成立，故原式成立，故（4）正确；综上所述，正确个数是3故选d点评：本题考查不等式比较大小，考查绝对值不等式、基本不等式、配方法与分析法的应用，属于中档题6（5分）（2012鹰潭模拟）已知函数y=f（x）是定义在实数集r上的奇函数，且当x（，0）时，xf（x）f（x）成立（其中f（x）是f（x）的导函数），若，则a，b，c的大小关系是（）acabbcbacabcdacb考点：抽象函数及其应用；对数值大小的比较；导数的几何意义专题：计算题；压轴题；函数的性质及应用分析：设f（x）=xf（x），根据题意得f（x）是偶函数且在区间（0，+）上是增函数，由此比较、lg3和2的大小，结合函数的性质，不难得到本题的答案解答：解：设f（x）=xf（x），得f（x）=xf（x）+xf（x）=xf（x）+f（x），当x（，0）时，xf（x）f（x），且f（x）=f（x）当x（，0）时，xf（x）+f（x）0，即f（x）0由此可得f（x）=xf（x）在区间（，0）上是减函数，函数y=f（x）是定义在实数集r上的奇函数，f（x）=xf（x）是定义在实数集r上的偶函数，在区间（0，+）上f（x）=xf（x）是增函数0lg3lg10=1，（1，2）f（2）f（）f（lg3）=2，从而f（）=f（2）=f（2）f（）f（）f（lg3）即（lg3）f（lg3），得cab故答案为：a点评：本题给出抽象函数，比较几个函数值的大小着重考查了利用导数研究函数的单调性、不等式比较大小和函数单调性与奇偶性关系等知识，属于中档题7（5分）（2009湖北）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16这样的数成为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）a289b1024c1225d1378考点：数列的应用；归纳推理专题：计算题；压轴题；新定义分析：根据图形观察归纳猜想出两个数列的通项公式，再根据通项公式的特点排除，即可求得结果解答：解：由图形可得三角形数构成的数列通项，同理可得正方形数构成的数列通项bn=n2，则由bn=n2（nn+）可排除d，又由，与无正整数解，故选c点评：考查学生观察、分析和归纳能力，并能根据归纳的结果解决分析问题，注意对数的特性的分析，属中档题8（5分）如图是导函数y=f（x）的图象，则下列命题错误的是（）a导函数y=f（x）在x=x1处有极小值b导函数y=f（x）在x=x2处有极大值c函数y=f（x）在x=x3处有极小值d函数y=f（x）在x=x4处有极小值考点：函数的单调性与导数的关系专题：应用题分析：根据如图所示的导函数的图象可知函数f（x）在（，x3）单调递增，在（x3，x4）单调递减，（x4，+）单调递增函数在处x3有极大值，在x4处有极小值解答：解：根据如图所示的导函数的图象可知函数f（x）在（，x3）单调递增，在（x3，x4）单调递减，（x4，+）单调递增函数在处x3有极大值，在x4处有极小值故选c点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，考查了识别函数图形的能力，属基础题9（5分）（2011汕头模拟）已知函数f（x）（xr）满足f（1）=1，且f（x）的导函数，则的解集为（）ax|1x1bx|x1cx|x1或x1dx|x1考点：函数单调性的性质；导数的运算；其他不等式的解法专题：计算题；压轴题分析：先把不等式移项并设（x）=f（x），然后求出导函数（x）又因为函数，所以（x）0即（x）是减函数由f（1）=1求出（1）=0，根据函数是减函数得到的解集即可解答：解：，则，（x）在r上是减函数，的解集为x|x1故选d点评：此题考查了导数的运算，函数单调性的应用，以及利用导数研究函数的增减性10（5分）当x（2，1）时，不等式（x+1）2loga|x|恒成立，则实数a的取值范围是（）a2，+b（1，3）c（1，2d（0，1）考点：对数函数的单调性与特殊点；函数恒成立问题专题：计算题分析：根据二次函数的性质可知，不等式（x+1）2loga|x|在（2，1）上恒成立，则a1，且当x=2时的函数值大于1，从而可求a的范围解答：解：令f（x）=（x+1）2，g（x）=loga|x|当0a1时，loga|x|0，（x+1）20，不成立故a1，当x（2，1），f（x）=（x+1）2在（2，1）上单调递减0f（x）1若使得不等式（x+1）2loga|x|恒成立，则g（x）=loga|x|1loga211a2故答案为（1，2点评：本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点，其中根据二次函数和对数函数的图象和性质，结合已知条件构造关于a的不等式，是解答本题的关键11（5分）（2010天津）如图，用四种不同颜色给图中的a，b，c，d，e，f六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用（）a288种b264种c240种d168种考点：排列、组合及简单计数问题专题：压轴题；分类讨论分析：由题意知图中每条线段的两个端点涂不同颜色，可以根据所涂得颜色的种类来分类，当b，d，e，f用四种颜色，b，d，e，f用三种颜色，b，d，e，f用两种颜色，分别写出涂色的方法，根据分类计数原理得到结果解答：解：图中每条线段的两个端点涂不同颜色，可以根据所涂得颜色的种类来分类，b，d，e，f用四种颜色，则有a4411=24种涂色方法；b，d，e，f用三种颜色，则有a4322+a43212=192种涂色方法；b，d，e，f用两种颜色，则有a4222=48种涂色方法；根据分类计数原理知共有24+192+48=264种不同的涂色方法点评：本题主要考查排列组合的基础知识与分类讨论思想，属于难题近两年天津卷中的排列、组合问题均处理压轴题的位置，且均考查了分类讨论思想及排列、组合的基本方法，要加强分类讨论思想的训练12（5分）（2012湖南模拟）设函数y=f（x）在区间（a，b）的导函数f（x），f（x）在区间（a，b）的导函数f（x），若在区间（a，b）上的f（x）0恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，已知，若当实数m满足|m|2时，函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，则ba的最大值为（）a1b2c3d4考点：函数恒成立问题；导数的运算专题：压轴题；新定义；函数的性质及应用分析：利用函数总为“凸函数”，即f（x）0恒成立，转化为不等式恒成立问题，讨论解不等式即可解答：解：当|m|2时，f（x）=x2mx30恒成立等价于当|m|2时，mxx23恒成立当x=0时，f（x）=30显然成立当x0，xmm的最小值是2，x2，从而解得0x1；当x0，xmm的最大值是2，x2，从而解得1x0综上可得1x1，从而（ba）max=1（1）=2故选b点评：本题考查函数的导数与不等式恒成立问题的解法，关键是要理解题目所给信息（新定义），考查知识迁移与转化能力，属于中档题二、填空题（每题5分，共20分）13（5分）n个连续自然数按规律排列如图所示，根据规律，从2009到2011的箭头方向依次为；考点：进行简单的合情推理；函数的周期性专题：规律型分析：这n个连续自然数的排列规律是：从0开始，以4为循环单位；所以，从2009到2011的箭头方向应与从1到3的箭头方向一致，故得答案解答：解：观察这n个连续自然数的排列规律，知：从0开始，依4为循环单位；2009=5024+1，2010=5024+2，2011=5024+3，根据规律，从2009到2011的箭头方向与从1到3的箭头方向一致，依次为“”；故答案为：点评：本题考查了数列的规律型应用问题，解题时要发现数列的排列规律，应用规律，从而解答题目14（5分）=frac4frac12考点：定积分专题：计算题分析：函数的图象是以（1，0）为圆心，以1为半径的上半圆，作出直线y=x，则图中阴影部分的面积为题目所要求的定积分解答：解：如图，=故答案为点评：本题考查了定积分，考查了微积分基本定理，解答此题的关键是正确画出图形，是中低档题型15（5分）已知函数f（x）=x3+3mx2+nx+m2在x=1时有极值0，则m=2，n=9考点：利用导数研究函数的极值专题：导数的概念及应用分析：对函数进行求导，根据函数f（x）在x=1有极值0，可以得到f（1）=0，f（1）=0，代入求解即可解答：解：f（x）=x3+3mx2+nx+m2f（x）=3x2+6mx+n依题意可得即解得或当m=1，n=3时函数f（x）=x3+3x2+3x+1，f（x）=3x2+6x+3=3（x+1）20函数在r上单调递增，函数无极值，舍故答案为：2 9点评：本题主要考查函数在某点取得极值的性质：若函数在取得极值f（x0）=0反之结论不成立，即函数有f（x0）=0，函数在该点不一定是极值点，（还得加上在两侧有单调性的改变），属基础题16（5分）对任意nn*，34n+2+a2n+1都能被14整除，则最小的自然数a=5考点：二项式定理的应用专题：计算题分析：34n+2+a2n+1 即 142n+150+142n5+142n152+1452n+14052n+1+a2n+1，除了最后两项外，其余的项都能被14整除，故最小的自然数a满足 14052n+1+a2n+1=0，由此求得a的值解答：解：34n+2+a2n+1=92n+1+a2n+1=（145）2n+1+a2n+1=142n+150+142n5+142n152+1452n+14052n+1+a2n+1，除了最后两项外，其余的项都能被14整除，故最小的自然数a满足 14052n+1+a2n+1=0，求得a=5，故答案为 5点评：本题主要考查二项式定理的应用，属于中档题三、解答题（共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知z、为复数，（1+3i）z为实数，=，且，求z，考点：复数代数形式的混合运算；复数求模专题：计算题分析：设z=x+yi（x，yr），利用（1+3i）z为实数，其虚部为0，|=5联立得出关于x，y的方程，求出x，y后，再求出z，解答：解：设z=x+yi（x，yr），（1+3i）z=（1+3i）（x+yi）=（x3y）+（3x+y）ir虚部3x+y=0，即y=3x （2分）又因且|=5，（4分），（6分）解之得x=5或5 （8分）z=515i或5+15i （10分）=1+7i或=17i （12分）点评：本题考查复数代数形式的混合运算，涉及到复数的分类、复数模的计算18（10分）有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？（1）甲不在中间也不在两端；（2）甲、乙两人必须排在两端；（3）男、女生分别排在一起；（4）男女相间；（5）甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定考点：排列、组合的实际应用专题：计算题分析：（1）这是一个排列问题，一般情况下，我们会从受到限制的特殊元素开始考虑，先排甲有6种，剩下的8个元素全排列有a88种，根据分步计数原理得到结果（2）先排甲、乙，再排其余7人，再根据分步计数原理得到结果（3）把男生和女生分别看成一个元素，两个元素进行排列，男生和女生内部还有一个全排列，（4）先排4名男生有a44种方法，再将5名女生插在男生形成的5个空上有a55种方法，根据分步计数原理得到结果（5）9人共有a99种排法，其中甲、乙、丙三人有a33种排法，因而在a99种排法中每a33种对应一种符合条件的排法，类似于平均分组解答：解：（1）先排甲有6种，其余有a88种，共有6a88=241920种排法（2）先排甲、乙，再排其余7人，共有a22a77=10080种排法（3）把男生和女生分别看成一个元素，男生和女生内部还有一个全排列，a22a44a55=5760种（4）先排4名男生有a44种方法，再将5名女生插在男生形成的5个空上有a55种方法，故共有a44a55=2880种排法（5）9人共有a99种排法，其中甲、乙、丙三人有a33种排法，因而在a99种排法中每a33种对应一种符合条件的排法，故共有=60480种排法点评：本题集排列多种类型于一题，充分体现了元素分析法（优先考虑特殊元素）、位置分析法（优先考虑特殊位置）、直接法、间接法（排除法）、捆绑法、等机会法、插空法等常见的解题思路19（12分）已知：a0，b0，a+b=1，（1）求证：； （2）求：的最小值考点：基本不等式；分析法的思考过程、特点及应用专题：计算题；证明题分析：（1）由基本不等式可得ab，故有 1，从而有 2+2 4，即（ + ）24，可得不等式成立（2）根据基本不等式可得ab，而=，从而求出所求解答：解：（1）证明：因为1=a+b2 ，所以ab，所以 （a+b）+ab+1，所以 1，从而有 2+2 4，即：（a+ ）+（b+ ）+2 4，即：（ + ）24，所以原不等式成立（2）=，a0，b0，a+b=1，=，即ab当且仅当a=b=是等号成立=8，即当a=b=时，的最小值为8点评：本题考查用综合法证明不等式，得到：（a+ ）+（b+ ）+2 4，是解题的关键20（12分）（2009广州一模）某车间有50名工人，要完成150件产品的生产任务，每件产品由3个a 型零件和1个b 型零件配套组成每个工人每小时能加工5个a 型零件或者3个b 型零件，现在把这些工人分成两组同时工作（分组后人数不再进行调整），每组加工同一中型号的零件设加工a 型零件的工人人数为x名（xn*）（1）设完成a 型零件加工所需时间为f（x）小时，写出f（x）的解析式；（2）为了在最短时间内完成全部生产任务，x应取何值？考点：函数模型的选择与应用；导数在最大值、最小值问题中的应用专题：综合题分析：（1）生产150件产品，需加工a型零件450个，则完成a型零件加工所需时间f（x）=，代入数据整理即可；（2）生产150件产品，需加工b型零件150个，同理可得完成b型零件加工所需时间g（x）；完成全部生产任务所需时间h（x），是f（x）与 g（x）的较大者；故令f（x）g（x），得；所以，当1x32时，f（x）g（x）；当33x49时，f（x）g（x）即；求得函数h（x）的最小值即可解答：解：（1）生产150件产品，需加工a型零件450个，则完成a型零件加工所需时间（其中xn*，且1x49）；（2）生产150件产品，需加工b型零件150个，则完成b型零件加工所需时间（其中xn*，且1x49）；设完成全部生产任务所需时间h（x）小时，则h（x）为f（x）与 g（x）的较大者，令f（x）g（x），则，解得，所以，当1x32时，f（x）g（x）；当33x49时，f（x）g（x）故；当1x32时，故h（x）在1，32上单调递减，则h（x）在1，32上的最小值为（小时）；当33x49时，故h（x）在33，49上单调递增，则h（x）在33，49上的最小值为（小时）； h（33）h（32），h（x）在1，49上的最小值为h（32），x=32为所求所以，为了在最短时间内完成全部生产任务，x应取32点评：本题主要考查了函数的最值、不等式、导数及其应用等基础知识，也考查了分段函数的应用，以及运算求解和应用意识，属于中档题21（12分）（2012汕头二模）在数列an中，a1=1、，且（） 求a3、a4，猜想an的表达式，并加以证明；（） 设，求证：对任意的自然数nn*，都有考点：数列递推式；数列的求和专题：综合题；等差数列与等比数列分析：（） 利用数列递推式，代入计算可得a3、a4，由此猜想an的表达式，再利用数学归纳法进行证明，证明n=k+1时，由题设与归纳假设，可得结论；（）先对通项化简，再用裂项法求和，进而利用分析法进行证明即可解答：（） 解：（1）a1=1、，且，a3=，=故可以猜想，下面利用数学归纳法加以证明：（i） 显然当n=1，2，3，