单元评估检测(八).doc

圆学子梦想 铸金字品牌温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。单元评估检测(八)第八章(120分钟160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在题中横线上)1.已知双曲线的标准方程为x22-y2=1，则它的焦点坐标为.【解析】因为a=2，b=1，所以c=a2+b2=3，且焦点在x轴上，所以它的焦点坐标是(3，0).答案：(3，0)2.(2015肇庆模拟)已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆C的方程是.【解析】根据题意直线x-y+1=0与x轴的交点为y=0x-y+1=0(-1，0)，因为圆与直线x+y+3=0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r=d=|-1+0+3|12+12=2，则圆的方程为(x+1)2+y2=2.答案：(x+1)2+y2=23.已知点F1，F2是双曲线C的两个焦点，过点F2的直线交双曲线C的一支于A，B两点，若ABF1为等边三角形，则双曲线C的离心率为.【解析】ABF1为等边三角形，所以F1F2AB.设ABF1的边长为x，所以2cx=sin60，所以x=4c3.由双曲线的定义知2a=x-12x=x2=2c3，即a=c3，所以双曲线C的离心率为e=ca=cc3=3.答案：34.命题p：4r0)上恰好有2个点到直线4x-3y=2的距离等于1，则p是q的条件.(填“充分必要”“充分不必要”“必要不充分”或“充要”)【解析】因为圆心(3，-5)到直线4x-3y=2的距离等于5，所以圆(x-3)2+(y+5)2=r2上恰好有2个点到直线4x-3y=2的距离等于1时，4r0，b0)的左支上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且PF1PF2，PF2与两条渐近线相交于M，N两点(如图)，点N恰好平分线段PF2，则双曲线的离心率是.【解析】在F1F2P中，点N恰好平分线段PF2，点O恰好平分线段F1F2，所以ONPF1，又ON的斜率为ba，所以tanPF1F2=ba，在F1F2P中，设PF2=bt，PF1=at，根据双曲线的定义可知PF2-PF1=2a，所以bt-at=2a，在RtF1F2P中，PF22+PF12=4c2，由消去t，得(a2+b2)4a2(b-a)2=4c2，又c2=a2+b2，所以a2=(b-a)2，即b=2a，双曲线的离心率是ca=a2+b2a=5.答案：57.已知抛物线y2=2px(p0)与双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的两条渐近线分别交于两点A，B(A，B异于原点)，抛物线的焦点为F.若双曲线的离心率为2，AF=7，则p=.【解题提示】由双曲线的离心率可求出双曲线的渐近线方程，从而可求出A，B两点的坐标，然后利用抛物线的定义可求p的值.【解析】因为双曲线的离心率为2，所以e2=c2a2=a2+b2a2=4，即b2=3a2，所以双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的两条渐近线方程为y=3x，代入y2=2px(p0)，得x=23p或x=0，故xA=xB=23p，又AF=xA+p2=23p+p2=7，所以p=6.答案：68.(2015衡水模拟)若双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)与椭圆x2m2+y2b2=1(mb0)的离心率之积等于1，则以a，b，m为边长的三角形一定是三角形.【解析】设双曲线离心率为e1，椭圆离心率为e2，所以e1=a2+b2a2，e2=m2-b2m2，故e1e2=(a2+b2)(m2-b2)a2m2=1(m2-a2-b2)b2=0，即a2+b2-m2=0，所以，以a，b，m为边长的三角形为直角三角形.答案：直角9.(2015兰州模拟)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)与抛物线y2=2px(p0)有一个共同的焦点F，点M是双曲线与抛物线的一个交点，若MF=54p，则此双曲线的离心率等于.【解析】因为抛物线y2=2px(p0)的焦点Fp2,0，所以由题意知双曲线x2a2-y2b2=1的一个焦点为F(c，0)，所以c=p2a，(1)即p2a.所以双曲线方程为x2a2-y2p24-a2=1，因为点M是双曲线与抛物线的一个交点，若MF=54p，则M点横坐标xM=5p4-p2=3p4，代入抛物线y2=2px得M3p4,6p2，把M3p4,6p2代入双曲线x2a2-y2p24-a2=1，得9p4-148p2a2+64a4=0，解得p=4a或p=23a，因为p2a，所以p=23a舍去，故p=4a.(2)联立(1)(2)两式得c=2a，即e=2.答案：210.已知P为椭圆x225+y29=1上任意一点，过椭圆的右顶点A和上顶点B分别作x轴和y轴的垂线，两垂线交于点C，过P作BC，AC的平行线交BC于点M，交AC于点N，交AB于点D，E，矩形PMCN的面积是S1，三角形PDE的面积是S2，则S1S2=.【解析】由题意知AB的方程为x5+y3=1，设P(x，y)在第一象限，所以D5-5y3,y，所以SADN=12y5y3=5y26，因为Ex,3-35x，所以S四边形ACME=1235x+3(5-x)=310(25-x2)，因为P(x，y)在椭圆上，所以x225+y29=1，所以y2=9-9x225，所以56y2=310(25-x2)，所以SADN=S四边形ACME，因为矩形PMCN的面积是S1，三角形PDE的面积是S2，所以S2+S四边形ANPE=S1+S四边形ANPE，故S1S2=1.答案：111.若A，B为椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)长轴的两个端点，垂直于x轴的直线与椭圆交于点M，N，且kAMkBN=14，则椭圆C的离心率为.【解析】设M(x，y)，则N(x，-y)，所以kAMkBN=-y2x2-a2=b2x2a2-b2x2-a2=b2a2=14，即a2-c2a2=1-e2=14，解得离心率e=32.答案：3212.(2015银川模拟)设双曲线x24-y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线的左支于A，B两点，则BF2+AF2的最小值为.【解析】由题意可得AF2-AF1=2a=4，BF2-BF1=2a=4，两式相加得AF2+BF2-AB=8，所以AF2+BF2=8+AB8+2b2a=8+62=11，当且仅当ABx轴时取等号，所以BF2+AF2的最小值为11.答案：1113.(2015嘉兴模拟)已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的离心率为2，A，B分别为左、右顶点，点P为双曲线C在第一象限的任意一点，点O为坐标原点，若PA，PB，PO的斜率分别为k1，k2，k3，m=k1k2k3，则m的取值范围为.【解析】由双曲线C：x2a2-y2b2=1的离心率为2，得b=3a，设P(x0，y0)，则x02a2-y02b2=1，k1k2=y0x0+ay0x0-a=y02x02-a2=b2a2=3，又双曲线的渐近线方程为y=3x，所以0k33，所以0m0)，因为双曲线x23-y26=1的右焦点坐标为(3，0)，所以p2=3，即p=6，所以抛物线的标准方程为y2=12x.过定点P(2，0)且斜率为1的直线l的方程为y=x-2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立y2=12x,y=x-2,消去y可得x2-16x+4=0，所以x1+x2=16，线段AB的中点到抛物线的准线的距离为x1+x22+p2=x1+x2+p2=16+62=11.答案：11二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(14分)(2015盐城模拟)已知半径为6的圆C与x轴相切，圆心C在直线3x+y=0上且在第二象限，直线l过点P(2，14).(1)求圆C的方程.(2)若直线l与圆C相交于A，B两点且AB=45，求直线l的方程.【解析】(1)由题意，设圆心C(m，-3m)(m0)，圆C的半径r为6，又圆C和x轴相切，则r=6=|-3m|，即m=2，又因为m0)，直线l过定点A(4，0)且与抛物线C交于P，Q两点，若以弦PQ为直径的圆E过原点O.(1)求抛物线C的方程.(2)当圆E的面积最小时，求E的方程.【解析】(1)设直线l的方程为x=my+4，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由题意知：OPOQ，所以OPOQ=x1x2+y1y2=0，由x=my+4,y2=2px,得y2-2mpy-8p=0，所以=4m2p2+32p0，y1+y2=2mp，y1y2=-8p，所以x1x2+y1y2=(my1+4)(my2+4)+y1y2=(m2+1)y1y2+4m(y1+y2)+16=-8p(m2+1)+8pm2+16=0，所以-8p+16=0，p=2，符合0，所以抛物线方程为y2=4x.(2)PQ=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(1+m2)(y1+y2)2-4y1y2=(m2+1)(4m2p2+32p)=4(m2+1)(m2+4)=4m2+522-948，m=0时取“=”，此时圆心为(4，0)，半径为4，所以圆E面积最小时，其方程为(x-4)2+y2=16.17.(14分)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12，右焦点为F，右顶点A在圆F：(x-1)2+y2=r2(r0)上.(1)求椭圆C和圆F的方程.(2)已知过点A的直线l与椭圆C交于另一点B，与圆F交于另一点P.请判断是否存在斜率不为0的直线l，使点P恰好为线段AB的中点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.【解析】(1)由题意可得c=1，又由题意可得ca=12，所以a=2，所以b2=a2-c2=3，所以椭圆C的方程为x24+y23=1，所以椭圆C的右顶点为A(2，0)，代入圆F的方程，可得r2=1，所以圆F的方程为(x-1)2+y2=1.(2)假设存在直线l：y=k(x-2)(k0)满足条件，由y=k(x-2),x24+y23=1,得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.设B(x1，y1)，则2+x1=16k24k2+3，可得中点P8k24k2+3,-6k4k2+3，由点P在圆F上可得8k24k2+3-12+-6k4k2+32=1，化简整理得k2=0，又因为k0，所以不存在满足条件的直线l.【一题多解】解决本题(2)还有如下方法：假设存在直线l满足题意，由(1)可得OA是圆F的直径，所以OPAB.由点P是AB的中点，可得OB=OA=2.设点B(x1，y1)，则由题意可得x124+y123=1.又因为直线l的斜率不为0，所以x124，所以OB2=x12+y12=x12+31-x124=3+x1240).设抛物线W的焦点在直线AB的下方.(1)求k的取值范围.(2)设C为W上一点，且ABAC，过B，C两点分别作W的切线，记两切线的交点为D，判断四边形ABDC是否为梯形，并说明理由.【解析】(1)抛物线y=x2的焦点为0,14.由题意，得直线AB的方程为y-1=k(x-1)，令x=0，得y=1-k，即直线AB与y轴相交于点(0，1-k).因为抛物线W的焦点在直线AB的下方，所以1-k14，解得k0，所以0kb0)的离心率为32，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x+y+2=0相切，A，B是椭圆的左、右顶点，直线l过B点且与x轴垂直.(1)求椭圆C的标准方程.(2)设G是椭圆C上异于A，B的任意一点，作GHx轴于点H，延长HG到点Q使得HG=GQ，连结AQ并延长交直线l于点M，N为线段MB的中点，判定直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系，并证明你的结论.【解析】(1)由题意可得e=ca=32.因为以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x+y+2=0相切，所以|0+0+2|12+12=b，解得b=1.由a2=b2+c2，可得a=2.所以椭圆C的标准方程为x24+y2=1.(2)直线QN与以AB为直径的圆O相切，证明如下：由(1)可知A(-2，0)，B(2，0)，直线l的方程为x=2.设G(x0，y0)(y00)，于是H(x0，0)，Q(x0，2y0)，且有x024+y02=1，即4y02=4-x02.连结BQ，设直线AQ与直线BQ的斜率分别为kAQ，kBQ，因为kAQkBQ=2y0x0+22y0x0-2=4y02x02-4=4-x02x02-4=-1，即AQBQ，所以点Q在以AB为直径的圆上.因为直线AQ的方程为y=2y0x0+2(x+2).由y=2y0x0+2(x+2),x=2,解得x=2,y=8y0x0+2,即M2,8y0x0+2，所以N2,4y0x0+2.所以直线QN的斜率为kQN=4y0x0+2-2y02-x0=-2x0y04-x02=-2x0y04y02=-x02y0，所以kOQkQN=2y0x0-x02y0=-1，于是直线OQ与直线QN垂直，所以直线QN与以AB为直径的圆O相切.20.(16分)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F，离心率为22，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为2，O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程.(2)设经过点M(0，2)作直线AB交椭圆C于A，B两点，求AOB面积的最大值.(3)设椭圆的上顶点为N，是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，使点F为PQN的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.【解析】(1)设F(c，0)，则ca=22，知a=2c.过点F且与x轴垂直的直线方程为x=c，代入椭圆方程，有(-c)2a2+y2b2=1，解得y=22b.于是2b=2，解得b=1.又a2-c2=b2，从而a=2，c=1.所以椭圆C的方程为x22+y2=1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2).由题意可设直线AB的方程为y=kx+2.由y=kx+2,x22+y2=1,消去y并整理，得(2k2+1)x2+8kx+6=0，由=(8