南通市2014届高三数学学科基地密卷(5).doc

2014年高考模拟试卷(5)南通市数学学科基地命题 第卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 .1.设全集1，2，3，4，5，若1，2，4，则集合 2.已知复数满足(为虚数单位)，则复数的模是 YT1I5输出T（第4题图）开始结束NII-1I2TTI3.已知曲线的一条切线斜率为，则切点的横坐标为 4.右图是某算法的流程图，则输出的的值为 5.已知甲、乙、丙三人在3天中值班，每人值1天，那么甲在乙前面值班的概率为 6.为了检测某种产品的质量，抽取了一个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下表：分组频数122946112根据以上数表绘制相应的频率分布直方图时，落在范围内的矩形的高应为 7.已知，且，则的最大值为 8.要得到函数的图象，只需将函数的图象向右至少平移 个单位9.设定义在上的奇函数在区间上是单调减函数，且，则实数的取值范围是 （第12题图）10.在锐角三角形中，则的值为 11.在平面直角坐标系中，已知直线：与圆：切于点2，2，则的值构成的集合是 12.如图，正四棱柱的体积为27，点，分别为棱，上的点（异于端点），且，则四棱锥的体积为 13已知向量，满足，且与的夹角的正切为，与的夹角的正切为，则的值为 14已知数列满足设为均不等于2的且互不相等的常数，若数列为等比数列，则的值为 二、解答题：本大题共6小题，共90分.15.（本小题满分14分）已知为锐角三角形，角，所对的边分别为，且（1）求角的大小；（2）设关于角的函数，求的值域16.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，分别为棱，的中点，点在棱上，且（1）求证：；（2）试在线段上确定一点，使得平面，并给出证明（第16题图） 17.（本小题满分14分）如图，在半径为30 cm的半圆形铁皮上截取一块矩形材料（点，在直径上，点，在半圆周上），并将其卷成一个以为母线的圆柱体罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗）（第17题图）（1）若要求圆柱体罐子的侧面积最大，应如何截取？（2）若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？18. (本小题满分16分) 在平面直角坐标系，已知椭圆：过点，其左右焦点分别为，离心率为 （1）求椭圆的方程；（2）若，分别是椭圆的左右顶点，动点满足，且交椭圆于点 求证：为定值； 设与以为直径的圆的另一交点为，问直线是否过定点，并说明理由19.（本小题满分16分）已知函数，其中（1）设函数在点，处取得极值，且求证： ； 线段的中点在曲线上； （2）若，问：过原点且与曲线相切的两条直线是否垂直，并说明理由20.（本小题满分16分） 已知数列满足：，其前项和为 （1）求证：数列是等差数列； 对任意的正整数，都有； （2）设数列的前项和为，且满足：试确定的值，使得数列为等差数列第卷（附加题，共40分）21选做题本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答 A（选修：几何证明选讲）如图，C，D是直径为AB的半圆上的两点，与交于点，点在弦BD上，且ACDBCF，证明：ABCDFCCDAB（第21题A）EFF B（选修：矩阵与变换）已知矩阵的逆矩阵若，求矩阵C（选修：坐标系与参数方程）如图，在极坐标系中，求以点为圆心，为半径的圆的极坐标方程（第21C题） D（选修：不等式选讲） 设，其中a，b 均为正实数，证明：h【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得数字分别为x，y设为随机变量，若为整数，则；若为小于1的分数，则；若为大于1的分数，则 （1）求概率； （2）求的分布列，并求其数学期望 23设为虚数单位，为正整数（1）证明：；（2）结合等式“”证明： 2014年高考模拟试卷(5)参考答案南通市数学学科基地命题第卷（必做题，共160分）一、填空题1. 3，5； 2. ；3. 2；4. 120 ；5. ； 6. ； 7.1； 8.； 9.（1，2）； 10. 79.依题意，则 ； 11. ，9依题意，且，联立方程组解得或，即或，从而或 ； 12. 9.连接，易得，又，所以； 13. .易得；14. .，因为数列为等比数列，所以，且公比为，故为方程的两不等实根，从而二、解答题15. 解：（1）由得， ，因为为锐角三角形，所以，从而，又，故； （2） ，由得，从而，故，所以，所以的值域为 （第16题图）16证明：（1）在直三棱柱中， 平面， 又，平面， 所以，又， ，平面，所以平面，又平面，所以，而， 平面， 所以平面，又平面，所以； （2）当时，平面，下证之： 连结，在中，由，得，又在平面中，易得，所以， 又平面， 平面，所以平面 17.解：（1）如图，设圆心为O，连结，设，（第17题图） 法一 易得， 所以矩形的面积为 （）（当且仅当，（）时等号成立） 此时 ； 法二 设，； 则， 所以矩形的面积为， 当，即时，（）， 此时 ； （2）设圆柱的底面半径为，体积为， 由得， 所以，其中， 由得， 此时，在上单调递增，在上单调递减， 故当时，体积最大为 ， 答：（1）当截取的矩形铁皮的一边为为时，圆柱体罐子的侧面积最大 （2）当截取的矩形铁皮的一边为为时，圆柱体罐子的体积最大18. 解：（1）易得且，解得 所以椭圆的方程为； （2）设， 易得直线的方程为：， 代入椭圆得， 由得，从而， 所以， 直线过定点，理由如下： 依题意， 由得， 则的方程为：，即， 所以直线过定点 19. 解：（1）依题意，为方程的两个实根， 而， 故在区间和内各有一个实根， 所以； 由得， 因为， ， 所以， 即证线段的中点在曲线上； （2）过原点且与曲线相切的两条直线不垂直，理由如下： 设过曲线上一点的切线方程为： ， 因为切线过原点，所以， 又， 所以， 解得，或， 当时，切线的斜率为；当时，切线的斜率为； 因为，且， 所以两条切线斜率之积为： ， 所以过原点且与曲线相切的两条直线不垂直 20.证明：（1）因为， 所以， 故数列是首项为1，公差为4的等差数列； 由得， 又易得，故， 因为， 所以； （2）由得， 即， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列， 从而， 令，3得， 若为等差数列，则， 所以，解得， 此时，恰为等差数列， 所以，当时，数列为等差数列 第卷（附加题，共40分）21. A. 证明：因为ACDBCF，所以ACDBCF， 故ACDBCF，CDAB（第21题A）EFF即DCFBCE，又BDCBAC，所以ABCDFC CDAB（第21题A）EFF（第21C题）B解：因为，所以， 解得，由逆矩阵公式得， C. 解：如图，设圆上任意一点，连结， 在中，由余弦定理得， 整理得， 故所求圆的极坐标方程为 D. 证明：依题意， 由不等式的性质，两式相乘得， 因为， 所以（当且仅当时等号成立），即证 22.解：（1）依题意，数对（x，y）共有16种，其中使为整数的有以下8种： （1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（2，1），（3，1），（4，1），（4，2）， 所以； （2）随机变量的所有取值为， 有以下6种：（1，2），（1，3），（1，4），（