初中数学竞赛讲座(第4讲)一元一次方程.pdf

第四讲第四讲 一元一次方程一元一次方程 方程是中学数学中最重要的内容 最简单的方程是一元一次方程 它是进一步学习代数方程 的基础 很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决 本讲主要介绍一些解一元一次 方程的基本方法和技巧 用等号连结两个代数式的式子叫等式 如果给等式中的文字代以任何数值 等式都成立 这种等式叫恒等式 一个等式是否是恒等式是要通过证明来确定的 如果给等式中的文字 未知数 代以某些值 等式成立 而代以其他的值 则等式不成立 这种等式叫作条件等式 条件等式也称为方程 使方程成立的未知数的值叫作方程的解 方 程的解的集合 叫作方程的解集 解方程就是求出方程的解集 只含有一个未知数 又称为一元 且其次数是 1 的方程叫作一元一次方程 任何一个一 元一次方程总可以化为 ax b a 0 的形式 这是一元一次方程的标准形式 最简形式 解一元一次方程的一般步骤 1 去分母 2 去括号 3 移项 4 合并同类项 化为最 简形式 ax b 5 方程两边同除以未知数的系数 得出方程的解 一元一次方程 ax b 的解由 a b 的取值来确定 2 若 a 0 且 b 0 方程变为 0 x 0 则方程有无数多个解 3 若 a 0 且 b 0 方程变为 0 x b 则方程无解 例例 1 1 1 1 解方程 解法解法 1 1 1 1 从里到外逐级去括号 去小括号得 去中括号得 去大括号得 解法解法 2 2 2 2 按照分配律由外及里去括号 去大括号得 化简为 去中括号得 去小括号得 例例 2 2 2 2 已知下面两个方程 3 x 2 5x 4x 3 a x 6x 7 a x 有相同的解 试求 a 的值 分析分析 本题解题思路是从方程 中求出 x 的值 代入方程 求出 a 的值 解解 由方程 可求得 3x 5x 6 所以 x 3 由已知 x 3 也是方程 的解 根据方程解 的定义 把 x 3 代入方程 时 应有 4 3 3 a 3 6 3 7 a 3 7 a 3 3 a 3 18 12 例例 3 3 3 3 已知方程 2 x 1 3 x 1 的解为 a 2 求方程 2 2 x 3 3 x a 3a 的解 解解 由方程 2 x 1 3 x 1 解得 x 5 由题设知 a 2 5 所以 a 3 于是有 2 2 x 3 3 x 3 3 3 2x 21 例例 4 4 4 4 解关于 x 的方程 mx n m n 0 分析分析 这个方程中未知数是 x m n 是可以取不同实数值的常数 因此需要讨论 m n 取不同值时 方程解的情况 解解 把原方程化为 m2x mnx mn n2 0 整理得 m m n x n m n 当 m n 0 且 m 0 时 方程无解 当 m n 0 时 方程的解为一切实数 说明说明 含有字母系数的方程 一定要注意字母的取值范围 解这类方程时 需要从方程 有唯一解 无解 无数多个解三种情况进行讨论 例例 5 5 5 5 解方程 a x b a b x a2 x b2 x a2b2 分析分析 本题将方程中的括号去掉后产生 x2项 但整理化简后 可以消去 x2 也就是说 原方程实际上仍是一个一元一次方程 解解 将原方程整理化简得 a b 2 x2 a2b2 a2x b2x x2 a2b2 即 a2 b2 x a b 2 1 当 a2 b2 0 时 即 a b 时 方程有唯一解 2 当 a2 b2 0 时 即 a b 或 a b 时 若 a b 0 即 a b 即 a b 时 方程无解 若 a b 0 即 a b 方程有无数多个解 例例 6 6 6 6 已知 m2 1 x2 m 1 x 8 0 是关于 x 的一元一次方程 求代数式 199 m x x 2m m 的值 解解 因为 m2 1 x2 m 1 x 8 0 是关于 x 的一元一次方程 所以 m2 1 0 即 m 1 1 当 m 1 时 方程变为 2x 8 0 因此 x 4 代数式的值为 199 1 4 4 2 1 1 1991 2 当 m 1 时 原方程无解 所以所求代数式的值为 1991 例例 7 7 7 7 已知关于 x 的方程 a 2x 1 3x 2 无解 试求 a 的值 解解 将原方程变形为 2ax a 3x 2 即 2a 3 x a 2 由已知该方程无解 所以 例例 8 8 8 8 k 为何正数时 方程 k2x k2 2kx 5k 的解是正数 来确定 1 若 b 0 时 方程的解是零 反之 若方程 ax b 的解是零 则 b 0 成立 2 若 ab 0 时 则方程的解是正数 反之 若方程 ax b 的解是正数 则 ab 0 成立 3 若 ab 0 时 则方程的解是负数 反之 若方程 ax b 的解是负数 则 ab 0 成立 解解 按未知数 x 整理方程得 k2 2k x k2 5k 要使方程的解为正数 需要 k2 2k k2 5k 0 看不等式的左端 k2 2k k2 5k k2 k 2 k 5 因为 k2 0 所以只要 k 5 或 k 2 时上式大于零 所以当 k 2 或 k 5 时 原方程的 解是正数 所以 k 5 或 0 k 2 即为所求 例例 9 9 9 9 若 abc 1 解方程 解解 因为 abc 1 所以原方程可变形为 化简整理为 化简整理为 说明说明 像这种带有附加条件的方程 求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大 大简化 例例 10101010 若 a b c 是正数 解方程 解法解法 1 1 1 1 原方程两边乘以 abc 得到方程 ab x a b bc x b c ac x c a 3abc 移项 合并同类项得 ab x a b c bc x a b c ac x a b c 0 因此有 x a b c ab bc ac 0 因为 a 0 b 0 c 0 所以 ab bc ac 0 所以 x a b c 0 即 x a b c 为原方程的解 解法解法 2 2 2 2 将原方程右边的 3 移到左边变为 3 再拆为三个 1 并注意到 其余两项做类似处理 设 m a b c 则原方程变形为 所以 即 x a b c 0 所以 x a b c 为原方程的解 说明说明 注意观察 巧妙变形 是产生简单优美解法所不可缺少的基本功之一 例例 11111111 设 n 为自然数 x 表示不超过 x 的最大整数 解方程 分析分析 要解此方程 必须先去掉 由于 n 是自然数 所以 n 与 n 1 n x 都是整数 所以 x 必是整数 解解 根据分析分析 x 必为整数 即 x x 所以原方程化为 合并同类项得 故有 所以 x n n 1 为原方程的解 例例 12121212 已知关于 x 的方程 且 a 为某些自然数时 方程的解为自然数 试求自然数 a 的最小值 解解 由原方程可