高考数学三轮冲刺押题 基础技能闯关夺分必备 平面的性质与直线的位置关系（含解析）.doc

平面的性质与直线的位置关系【考点导读】1掌握平面的基本性质，能够画出空间两条直线的各种位置关系，能够根据图形想象它们之间的位置关系。2掌握两条直线之间的平行与垂直的有关问题，并能进行解决和证明相关问题。3理解反证法证明的思路，会用反证法进行相关问题的证明。【基础练习】1 下面是一些命题的叙述语,其中命题和叙述方法都正确的是 （3） 。（1）， （2），（3）， （4），2下列推断中，错误的是 （4） 。（1） （2），a,b,c不共线重合（3） （4）3判断下列命题的真假，真的打“”，假的打“”（1）空间三点可以确定一个平面 （ ）（2）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合（ ）（3）两条直线可以确定一个平面（ ）（4）若四点不共面，那么每三个点一定不共线（ ）（5）两条相交直线可以确定一个平面（ ）（6）三条平行直线可以确定三个平面（ ）（7）一条直线和一个点可以确定一个平面（ ）（8）两两相交的三条直线确定一个平面（ ）4如右图，点e是正方体的棱的中点，则过点e与直线和都相交的直线的条数是： 1 条eafbcmnd5右图是正方体平面展开图，在这个正方体中bm与ed平行；cn与be是异面直线；cn与bm成60角；dm与bn垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是 。6完成下列证明，已知直线a、b、c不共面，它们相交于点p，aa，da，bb，ec求证：bd和ae是异面直线证明：假设_ 共面于g，则点a、e、b、d都在平面_ _内 qaa，da，_. qpa，p_.qpb，bb，pc，ec _ _g， _g，这与_矛盾 bd、ae_答案：假设bd、ae共面于g，则点a、e、b、d都在平面 g 内。aa，da， a g. pa，p g .pb，bb，pc，ec. b g，c g，这与a、b、c不共面矛盾bd、ae是异面直线翰林【范例导析】例1已知，从平面外一点引向量，（1）求证：四点共面；（2）平面平面分析 ：证明四点共面可以采用平面向量中的平面向量基本定理证明，也可以转化为直线共面的条件即几何证法。解：法一：（1）四边形是平行四边形，共面；（2），又，所以，平面平面法二：（1） 同理 又 共面；（2）由（1）知：，从而可证同理可证，所以，平面平面点评：熟练掌握定理是证明的关键，要学会灵活运用。例2已知空间四边形abcd.(1)求证：对角线ac与bd是异面直线;(2)若acbd,e,f,g,h分别这四条边ab,bc,cd,da的中点,试判断四边形efgh的形状;(3)若abbccdda,作出异面直线ac与bd的公垂线段.翰林汇分析：证明两条直线异面通常采用反证法。证明：(1)（反证法）假设ac与bd不是异面直线，则ac与bd共面，所以a、b、c、d四点共面这与空间四边形abcd的定义矛盾所以对角线ac与bd是异面直线 (2)解：e,f分别为ab,bc的中点,ef/ac,且ef=ac.同理hg/ac,且hg=ac.ef平行且相等hg,efgh是平行四边形.又f,g分别为bc,cd的中点,fg/bd,efg是异面直线ac与bd所成的角.acbd,efg=90o.efgh是矩形.(3)作法取bd中点e,ac中点f,连ef,则ef即为所求.点评：在空间四边形中我们通常会遇到上述类似的问题，取中点往往是很有效的方法，特别是遇到等腰三角形的时候。例3如图，已知e，f分别是正方体的棱和棱上的点，且，求证：四边形是平行四边形简证：由可以证得所以 又可以由正方体的性质证明所以四边形是平行四边形变式题：如图，已知、分别是正方体的棱和棱的中点（）试判断四边形的形状；（）求证：平面平面解（）如图，取的中点，连结、分别是和的中点，在正方体中，有，四边形是平行四边形，又、分别是、的中点，四边形为平行四边形，故四边形是平行四边形又，故四边形为菱形（）连结、四边形为菱形，在正方体中，有，平面又平面，又，平面又平面，故平面平面例4：如图，已知平面，且是垂足，试判断直线与的位置关系？并证明你的结论解：与是异面直线。可采用反证法进行证明。变式题1：如图，已知平面，且是垂足（）求证：平面；（）若，试判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论解：（）因为，所以同理又，故平面（）平面平面。证明如下：设与平面的交点为，连结、因为平面，所以，所以是二面角的平面角又，所以，即在平面四边形中，所以故平面平面备用题：（1）已知异面直线a,b所成的角为70，则过空间一定点o，与两条异面直线a,b都成60角的直线有 条（2）异面直线a,b所成的角为,空间中有一定点o，过点o有3条直线与a,b所成角都是60，则的取值可能是 。a30 b50 c60 d90解析：（1）过空间一点o分别作a,b。将两对对顶角的平分线绕o点分别在竖直平面内转动，总能得到与 都成60角的直线。故过点 o与a,b都成60角的直线有4条。（2）过点o分别作a、b，则过点o有三条直线与a,b所成角都为60，等价于过点o有三条直线与所成角都为60，其中一条正是角的平分线。从而可知为60。点评：该题以学生对异面直线所成的角会适当转化，较好的考察了空间想象能力。【反馈演练】1判断题（对的打“”，错的打“”） （1）垂直于两条异面直线的直线有且只有一条（ ） （2）两线段ab、cd不在同一平面内，如果ac=bd，ad=bc，则abcd（ ） （3）在正方体中，相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为60（ ） （4）四边形的一边不可能既和它的邻边垂直，又和它的对边垂直（ ）答案：（1） （2） （3） （4） 2定点p不在abc所在平面内，过p作平面，使abc的三个顶点到的距离相等，这样的平面共有 4 个。3p为矩形abcd所在平面外一点，且pa平面abcd，p到b，c，d三点的距离分别是，则p到a点的距离是 1 。4直角三角形abc的斜边ab在平面内，直角顶点c在平面外，c在平面内的射影为c1，且c1ab，则c1ab为钝角三角形。5已知四点，无三点共线，则可以确定 1个或4个 平面。6某刺猬有2009根刺，当它蜷缩成球时滚到平面上，任意相邻的三根刺都可支撑住身体，且任意四根刺的刺尖不共面，问该刺猬蜷缩成球时，共有 4014 种不同的支撑身体的方式。【答案】4014当有n根刺时有种支撑法，n = 4，5， 6， ，则或n = 4，5，6， 为等差数列， ， 。7在正方体中，写出过顶点a的一个平面，使该平面与正方体的12条棱所在的直线所成的角均相等(注：填上你认为正确的一个平面即可，不必考虑所有可能的情况)。8p为所在平面外一点，pa、pb、pc与平面abc所的角均相等，又pa与bc垂直，那么的形状可以是 。正三角形等腰三角形非等腰三角形等腰直角三角形【答案】由题意可知的外心在bc边的高线上，故一定有ab=ac选（1）（2）（4）。9给出以下四个命题：（1）若空间四点不共面，则其中无三点共线；（2）若直线上有一点在平面外，则该直线在平面外；（3）若直线a,b,c中，a与b共面且b与c共面，则a与c共面；（4）两两相交的三条直线共面。其中所有正确命题的序号是 (1)(2) 。10三个平面，两两相交，a，b，c是三条交线。（1）若，求证：a，b，c三线共点;(2)若,用反证法证明直线a，b，c互相平行。证明：（1）设则 a，b，c三线共点于。（2）假设不平行，共面 可设dbca由（1）可知：a，b，c三线共点于，与已知条件矛盾。 a，b，c互相平行。11如图，已知（a,b不重合）过a在平面内作直线ac，过b在平面内作直线bd。求证：ac和bd是异面直线。证明：（反证法）若ac和bd不是异面直线，设确定平面，则由题意可知：平面和都过ac和ac外一点b，所以两平面重合。同理可证平面和也重合，所以平面和也重合。这与已知条件平面和相交矛盾。所以ac和bd是异面直线。aknmrqpdcb12如