数学九年级下华东师大版第29章几何的回顾复习教案.doc

新课标第一网不用注册，免费下载！第29章 几何的回顾 复习教案一. 教学内容：第29章 几何的回顾复习二. 重点、难点：经历一些观察、操作活动，并对获得的数学猜想进行实验验证，体验合情推理的过程，并从数学的角度运用逻辑推理的知识和方法寻求证据、给出证明的过程.了解证明的基本步骤和书写格式，能从“同位角相等，两直线平行”、“两直线平行，同位角相等”等基本事实出发，证明一些简单图形的判定定理和性质定理以及推论，并能简单应用这些结论.会区分命题的条件和结论，通过实例，体会反证法的含义.掌握用综合法证明的格式，体会证明的过程要步步有据.三. 知识梳理：几何问题的处理方法逻辑推理的方法是研究数学的一个重要的基本方法逻辑推理需要依据，我们试图用最少的几条基本事实作为逻辑推理的最原始的依据，因此给出了如下的公理：一条直线截两条平行直线所得的同位角相等两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行如果两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边，或三边）分别对应相等，那么这两个三角形全等全等三角形的对应边、对应角分别相等用推理的方法研究三角形1. 利用公理，可证得三角形内角和定理及由此推出的多边形内角和定理与三角形外角定理2. 等腰三角形的识别：（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形；（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形等腰三角形的特征：（1）等腰三角形的两个底角相等；（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合3. 角平分线性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等识别：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上根据上述两条定理，我们很容易证明：三角形三条角平分线交于一点4. 线段的垂直平分线性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等识别：到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上根据上述两条定理，我们很容易证明： 三角形三边的垂直平分线交于一点用推理的方法研究四边形1. 几种特殊四边形的特征边角对角线对称性平行四边形对边平行且相等对角相等互相平分中心对称图形矩形对边平行且相等四个角都是直角互相平分且相等既是中心对称图形又是轴对称图形菱形对边平行，四条边相等对角相等互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角正方形对边平行，四条边相等四个角都是直角互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角等腰梯形两底平行，两腰相等同一底上的两个内角相等相等轴对称图形2. 几种特殊四边形的常用识别方法从边的角度从角的角度从对角线的角度平行四边形两组对边平行两组对边相等一组对边平行且相等两组对角相等两条对角线互相平分直接识别间接识别矩形四个角是直角有一个角是直角的平行四边形；对角线相等的平行四边形菱形四条边相等一组邻边相等的平行四边形对角线垂直的平行四边形正方形一组邻边相等的矩形有一个角是直角的菱形等腰梯形同一底边上的两个角相等的梯形对角线相等的梯形【典型例题】 例1. 如图所示，在ABC中，A=50， 如图ABC的两条高BD、CE交于O点，求BOC的度数 如图ABC的两条角平分线BM、CN交于P，求BPC的度数分析：题中，由高可知有直角，由直角三角形两锐角互余及三角形内角和定理可求得.题中，由角平分线定义及三角内角和定理可求得BPC. 解：方法一：BDC=90 1=90BCA 同理2=90ABC ABC+ACB=18050=130 BOC=180（1+2） =180（90ABC+90ACB） =180180+ABC+ACB=130 方法二：BD，CD为ABC的高 BDA=CEA=90 A=50 在四边形AEOD中DOE=360（90+90+50）=130 BOC=DOE=130 BM，CN分别为ABC的角平分线 1=ABC 2=ACB A=50 ABC+ACB=18050=130 BPC=180（1+2） =180（ABC+ACB） =180（ABC+ACB） =18030 =115题后反思：凡是求角度的题，一般都离不开三角形（多边形）内角和定理，设法利用这些去推出等式关系.题中因涉及到高线，别忘了两锐角互余，遇到角平分线要合理利用其倍分关系. 例2. 如图所示，四边形ABCD中，A=90，且AB2+AD2=BC2+CD2.求证：B与D互补. 分析：欲证B与D互补，只证A与C互补即可，且知A=90故只证C=90，根据题设中条件，可利用勾股定理及逆定理证明之，故连结BD，构造直角三角形. 证明：连结BD A=90 AB2+AD2=BD2 又AB2+AD2=BC2+CD2. BD2=BC2+CD2 C=90 在四边形ABCD中，A+ABC+C+ADC=360 ABC+ADC=360180即B与D互补 例3. 如图所示，B=BCD=90，AD交BC于E且ED=2AC.求证：CAD=2DAB. 分析：由于ABCD，故欲证D=BAD，只需证出CAD=2D即可.联想构造出以D为底角的等腰三角形，且这个等腰三角形与顶角相邻的外角等于CAD，则问题就解决了.已知ED=2AC，而AC与ED没有直接联系，可在RtDCE中构造斜边DE上中的线. 证明：取DE中点F连结CF 在RtDCE中DE=2CF=2DF又已知DE=2AC 所以AC=CF CF=DF 因为1=D 2=CAD 所以2=1+D=2D 所以CAD=2D 因为B=BCD=90 所以ABCD 所以DAB=D 所以CAD=2DAB题后反思：本题还是体现了将分散条件集中：在直角三角形中通过斜边中线构造出线段关系. 例4. 已知：如图所示，在ABC中，AB=AC，A=120，AB边的垂直平分线交BC于D.求证：DC=2BD. 分析：由于DC，BD在同一直线上，欲证DC=2BD，表面看似不易，但题中给出AB的中垂线，则可以利用中垂线的性质，去转移等量线段.故连结AD，这样BD=AD，证明DC=2AD即可，而DC，AD在同一三角形中，且已知A=120可求B=C=30.将这些问题转化成含30角的直角三角形性质. 证明：连结AD 因为D在AB垂直平分线上. 所以BD=AD 所以B=1 因为BAC=120 AB=AC 所以B=C=30 所以DAC=90 在RtDAC中C=30则DC=2AD 所以DC=2BD题后反思：证明一条线段等于另一条线段的2倍，除了已经学的折平法和加倍法外，还可用含30角的直角三角形的性质;三角形中位线，直角三角形斜边中线等方法，见到线段的垂直平分线，就想到利用它转移等量线段.例5. 已知：如图所示，ABCD为菱形，通过它的对角线的交点O作AB，BC的垂线，与AB，BC，CD，AD分别相交于点E，F，G，H.求证：四边形EFGH为矩形.分析：证明四边形EFGH为矩形有几个方法.而已知EFGH的对角线都通过AC，BD的交点O，并且各垂直于菱形的两组对边，所以考虑通过EFGH的对角线的关系证明EFGH为矩形.由于OEAB，OHAD，所以立即看出OE=OH.这样EFGH明显是矩形了. 证明：如图所示，由于OA平分BAD，并且OEAB，OHAD，由角平分线的性质知道OE=OH.同理，OE=OF，OF=OG，OG=OH.所以EFGH的对角线EG，FH互相平分并且相等，所以EFGH为矩形.例6. 已知：如图所示，ABCD为矩形，CEBD于点E，BAD的平分线与直线CE相交于点F，求证：CA=CF. 分析一：如图所示，由于CA，CF是CAF的两边，因此要证明CA=CF，可试证CFA=CAF，由于CFBD.因此作AGBD于点G，则AGCF，从而CFA=FAG.于是问题转化为证明FAG=CAF.但已知AF是BAD的平分线，因此问题又转化为证明BAG=CAD.但证明这两个角相等不会有什么困难了. 证法一：如图所示，作AGBD于点G，BAG与ABD互余，CAD=ADB与ABD互余，所以CAD=BAG. 而AF平分BAD. 所以CAF=FAG. 由于AGCF， 所以CFA=FAG， 从而CFA=CAF. 所以CA=CF. 分析二：证明CFA=CAF 还可以考虑用计算的方法进行.设CAD=BDA=a，则ACE=90COD=902a. 而CAF=DAFCAD=45a. 所以CFA=45a. 从而CFA=CAF. 问题解决了.证明：（略）例7. 已知：如图所示，在四边形ABCD中，AC=BD，BAC=ABD，求证：四边形ABCD是等腰梯形. 分析：在四边形ABCD中，AC=BD，因此只需证明DCAB，从C，D分别向AB上引垂线段CH，DK，只需证明CH=DK.即可利用全等三角形证明.证明：如图，从C，D分别向AB引垂线段CH，DK.在ACH和BDK中，AC=BD，HAC=KBD，CHA=DKB=90，所以ACHBDK.从而CH=DK，并且CHDK，所以CDKH为矩形，从而DCAB，即ABCD为梯形.又对角线AC=BD，所以ABCD为等腰梯形.例8. 已知：如图所示，四边形ABCD中，AD=BC，M，N分别为AB，CD的中点，AD的延长线、BC的延长线分别与直线MN相交于点P，Q.求证：APM=BQM. 分析一：如图（a），已知M为AB的中点，N为CD的中点，要求证APM=BQM，因此可考虑用三角形中位线定理.但AB，CD并不是同一三角形的边，连结线段AC，则AB、CD分别为ACD和ABC的边，而AC是这两个三角形的公共边，若取AC的中点S，连结线段SN，MS，则SNAD，MSBC. 这时SNM=APM，SMN=BQM，因此只需证明SNM=SMN.SM=SN.但因AD=BC，所以SM=SN.问题得到证明. 分析二：如图（b）若将DN平移到AE，平移CN到BF，则得平行四边形ADNE和BCNF.于是ENM=APM，FNM=BQM，因此只需证明ENM=FNM.由于AEDN，BFCN，所以AEBF.从而AB与EF互相平分于M.在NEF中，NE=AD=BC=NF，而NM为EF上的中线，所以ENM=FNM.问题得到证明. 例9. 已知：如图所示，在正方形ABCD中，PAB=PBA=15.求证：PCD是等边三角形. 证明：因为PAB=PBA=15 所以APB=180152=150 所以3+4+DPC=210 又1=9015=2，AD=BC，AP=BP 所以APDBPC 所以PD=PC 5=6 故欲证PD=PC=CD，只须证PD=CD. 假设P