广东省广州市高三数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

广东省广州市2015届高 三上学期期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知i为虚数单位，复数z=（1+2i）i对应的点位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限2（5分）已知集合m=x|1x1，n=x|y=，则mn=（）ax|0x1bx|0x1cx|x0dx|1x03（5分）设向量=（x，1），=（4，x），若，方向相反，则实数x的值是（）a0b2c2d24（5分）一算法的程序框图如图1，若输出的y=，则输入的x的值可能为（）a1b0c1d55（5分）将函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）ay=2cos2xby=2sin2xcdy=cos2x6（5分）用a，b，c表示空间中三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：若ab，bc，则ac； 若ab，ac，则bc；若a，b，则ab； 若a，b，则ab其中真命题的序号是（）abcd7（5分）已知曲线c：y2=1的左右焦点分别为f1f2，过点f2的直线与双曲线c的右支相交于p，q两点，且点p的横坐标为2，则pf1q的周长为（）ab5cd48（5分）已知映射设点a（1，3），b（2，2），点m是线段ab上一动点，f：mm当点m在线段ab上从点a开始运动到点b结束时，点m的对应点m所经过的路线长度为（）abcd二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分（一）必做题（913题）9（5分）不等式|2x1|x+2的解集是10（5分）已知数列an是等差数列，且a3+a4+a5=12，则a1+a2+a3+a7的值为11（5分）在平面直角坐标系xoy中，设不等式组，所表示的平面区域是w，从区域w中随机取点m（x，y），则|om|2的概率是12（5分）由0，1，2，9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，十位数字与千位数字之差的绝对值等于7的四位数的个数是13（5分）已知函数f（x）=x+sinx3，则f（）+f（）+f（）+f（）的值为（二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题）（几何证明选讲选做题）14（5分）（几何证明选讲）如图，圆o的直径ab=9，直线ce与圆o相切于点c，adce于d，若ad=1，设abc=，则sin=（坐标系与参数方程选讲选做题）15（坐标系与参数方程）在极坐标系中，设曲线c1：=2sin与c2：=2cos的交点分别为a、b，则线段ab的垂直平分线的极坐标方程为三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16（12分）已知函数f（x）=sinx+acosx（xr），是函数f（x）的一个零点（1）求a的值，并求函数f（x）的单调递增区间；（2）若，且，求sin（+）的值17（12分）广州某商场根据以往某种商品的销售记录，绘制了日销售量的频率分布表（如表）和频率分布直方图（如图） 分组频数频率0，50n10.15（50，100n20.25（100，150n30.30（150，200n40.20（200，250n50.10将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立（1）求a1，a3的值（2）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都高于100个且另1天的日销售量不高于50个的概率；（3）用x表示在未来3天里日销售量高于100个的天数，求随机变量x的分布列和数学期望18（14分）如图，四边形abcd是正方形，pab与pad均是以a为直角顶点的等腰直角三角形，点f是pb的中点，点e是边bc上的任意一点（1）求证：afef；（2）求二面角apcb的平面角的正弦值19（14分）已知数列an的前n项和sn满足：sn=，a为常数，且a0，a1（1）求数列an的通项公式；（2）若a=，设bn=，且数列bn的前n项和为tn，求证：tn20（14分）已知椭圆c：的离心率为，且经过点（0，1）圆c1：x2+y2=a2+b2（1）求椭圆c的方程；（2）若直线l：y=kx+m（k0）与椭圆c有且只有一个公共点m，且l与圆c1相交于a，b两点，问=0是否成立？请说明理由21（14分）已知函数f（x）=x2lnx，ar（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1x2，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，证明：f（x2）x21广东省广州市2015届高三上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知i为虚数单位，复数z=（1+2i）i对应的点位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：直接利用复数代数形式的乘法运算化简，求出z对应点的坐标得答案解答：解：z=（1+2i）i=2i2+i=2+i，复数z=（1+2i）i对应的点的坐标为（2，1），位于第二象限故选：b点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题2（5分）已知集合m=x|1x1，n=x|y=，则mn=（）ax|0x1bx|0x1cx|x0dx|1x0考点：交集及其运算 专题：集合分析：求出n中x的范围确定出n，找出m与n的交集即可解答：解：由n中y=，得到x0，即n=x|x0，m=x|1x1，mn=x|0x1故选：b点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键3（5分）设向量=（x，1），=（4，x），若，方向相反，则实数x的值是（）a0b2c2d2考点：平行向量与共线向量 专题：平面向量及应用分析：利用向量共线定理即可得出解答：解：，x24=0，解得x=2又，方向相反，x=2故选：d点评：本题考查了向量共线定理，属于基础题4（5分）一算法的程序框图如图1，若输出的y=，则输入的x的值可能为（）a1b0c1d5考点：程序框图 专题：函数的性质及应用；三角函数的图像与性质；算法和程序框图分析：模拟执行程序可得程序功能是求分段函数y=的值，根据已知即可求解解答：解：模拟执行程序可得程序功能是求分段函数y=的值，y=，sin（）=2k，kz，即可解得x=12k+1，kz当k=0时，有x=1故选：c点评：本题主要考查了程序框图和算法，正弦函数的图象和性质，属于基础题5（5分）将函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）ay=2cos2xby=2sin2xcdy=cos2x考点：正弦函数的图象 专题：三角函数的图像与性质分析：首先根据函数的图象变换求出关系式y=cos2x+1，进一步利用诱导公式求出结果解答：解：函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位，得到：y=sin（2（x+）+）=cos2x函数图象再向上平移1个单位，得到：y=cos2x+1=2cos2x故选：a点评：本题考查的知识要点：函数图象的变换问题，诱导公式的应用，属于基础题型6（5分）用a，b，c表示空间中三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：若ab，bc，则ac； 若ab，ac，则bc；若a，b，则ab； 若a，b，则ab其中真命题的序号是（）abcd考点：空间中直线与平面之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离分析：与立体几何有关的命题真假判断，要多结合空间图形，充分利用相关的公里、定理解答判断线与线、线与面、面与面之间的关系，可将线线、线面、面面平行（垂直）的性质互相转换，进行证明，也可将题目的中直线放在空间正方体内进行分析解答：解：因为空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，中正方体从同一点出发的三条线，满足已知但是ac，所以错误；若ab，bc，则ac，满足平行线公理，所以正确；平行于同一平面的两直线的位置关系可能是平行、相交或者异面，所以错误；垂直于同一平面的两直线平行，由线面垂直的性质定理判断正确；故选：d点评：本题考查空间两条直线的位置关系以及判定方法，线面平行的判定，解决时要紧紧抓住空间两条直线的位置关系的三种情况，牢固掌握线面平行、垂直的判定及性质定理7（5分）已知曲线c：y2=1的左右焦点分别为f1f2，过点f2的直线与双曲线c的右支相交于p，q两点，且点p的横坐标为2，则pf1q的周长为（）ab5cd4考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求出双曲线的a，b，c，求得焦点，判断三角形pf1q为等腰三角形，pqx轴，令x=2，求得|pq|，再由勾股定理，求得|pf1|，即可求得周长解答：解：双曲线c：y2=1的a=，b=1，c=2，则f1（2，0），f2（2，0），由于点p的横坐标为2，则pqx轴，令x=2则有y2=1=，即y=即|pf2|=，|pf1|=则三角形pf1q的周长为|pf1|+|qf1|+|pq|=+=故选：a点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查直线与双曲线的关系，考查运算能力，属于基础题8（5分）已知映射设点a（1，3），b（2，2），点m是线段ab上一动点，f：mm当点m在线段ab上从点a开始运动到点b结束时，点m的对应点m所经过的路线长度为（）abcd考点：映射 专题：函数的性质及应用分析：根据所给的两个点的坐标写出直线的方程，设出两个点的坐标，根据所给的映射的对应法则得到两个点坐标之间的关系，代入直线的方程求出一个圆的方程，得到轨迹是一个圆弧，求出弧长解答：解：设点m从a开始运动，直到点b结束，由题意知ab的方程为：x+y=4设m（x，y），则m（x2，y2），由点m在线段ab上可得 x2+y2=4按照映射f：p（m，n）p（，），可得 a（1，3）a（1，），b（3，1）b（，），故tanaox=，aox=tanbox=1，box=，故aob=aoxbox=，点m的对应点m所经过的路线长度为弧长为=aobr=2=；故选：b点评：本题考查弧长公式和轨迹方程，本题解题的关键是利用相关点法求出点的轨迹，题目不大，但是涉及到的知识点不少，属于基础题二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分（一）必做题（913题）9（5分）不等式|2x1|x+2的解集是（，）（3，+）考点：绝对值不等式的解法 专题：计算题；不等式的解法及应用分析：由绝对值的定义，讨论当2x10即x时，当2x10即x时，去绝对值，解不等式，最后求并集即可解答：解：当2x10即x时，不等式化为：2x1x+2，解得：x3，此情况下的解集为（3，+）；当2x10即x时，不等式化为12xx+2，解得，x，此情况下的解集为（，）综上，原不等式的解集为（，）（3，+）故答案为：（，）（3，+）点评：此题考查了其他不等式的解法，考查分类讨论的数学思想，是一道综合题10（5分）已知数列an是等差数列，且a3+a4+a5=12，则a1+a2+a3+a7的值为28考点：等差数列的前n项和 专题：等差数列与等比数列分析：由等差数列的性质结合已知求得a4=4然后由a1+a2+a3+a7=7a4得答案解答：解：数列an是等差数列，且a3+a4+a5=12，由等差数列的性质得：3a4=12，则a4=4a1+a2+a3+a7=7a4=74=28故答案为：28点评：本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题11（5分）在平面直角坐标系xoy中，设不等式组，所表示的平面区域是w，从区域w中随机取点m（x，y），则|om|2的概率是考点：几何概型 专题：计算题；概率与统计分析：若x，yr，则区域w的面积是22=4满足|om|2的点m构成的区域为（x，y）|1x1，0y2，x2+y24，求出面积，即可求出概率解答：解：这是一个几何概率模型若x，yr，则区域w的面积是22=4满足|om|2的点m构成的区域为（x，y）|1x1，0y2，x2+y24，面积为2（）=，故|om|2的概率为故答案为：点评：本题考查几何概率问题，确定满足|om|2的点m构成的区域为（x，y）|1x1，0y2，x2+y24，求出面积是关键12（5分）由0，1，2，9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，十位数字与千位数字之差的绝对值等于7的四位数的个数是280考点：计数原理的应用 专题：计算题；排列组合分析：由题意知本题是一个计数原理的应用，0到9十个数字中之差的绝对值等于7的情况有3种：0与7，1与8，2与9，分别表示出所有的情况，由加法原理计算可得答案解答：解：由题意知本题是一个计数原理的应用0到9十个数字中之差的绝对值等于7的情况有3种：0与7，1与8，2与9；分3种情况讨论：当十位数字与千位数字为0，7时，有a82；当十位数字与千位数字为1，8时，有a82a22；当十位数字与千位数字为2，9时，有a82a22共a82+a82a22+a82a22=280故答案为： 280点评：本题考查分类计数原理与分步计数原理，本题解题的关键是看出两个数字相差7时的所有情况，本题是一个易错题13（5分）已知函数f（x）=x+sinx3，则f（）+f（）+f（）+f（）的值为8058考点：函数的值 专题：函数的性质及应用分析：由已知得f（x）+f（2x）=4，从而f（）+f（）+f（）+f（）=42014+f（1），由此能求出结果解答：解：函数f（x）=x+sinx3，f（2x）=2x+sin（2x）3=2xsinx3，f（x）+f（2x）=4，f（）+f（）+f（）+f（）=42014+f（1）=8056+1+sin3=8058故答案为：8058点评：本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，解题的关键是推导出fx+（2x）=4（二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题）（几何证明选讲选做题）14（5分）（几何证明选讲）如图，圆o的直径ab=9，直线ce与圆o相切于点c，adce于d，若ad=1，设abc=，则sin=考点：与圆有关的比例线段 专题：直线与圆分析：利用圆的性质、切线的性质、三角形相似的判定与性质、三角函数的定义即可得出解答：解：直线ce与圆o相切于点c，acd=abcab是o的直径，acb=90，adc=acb=90acdabc，ac2=abad=91=9，解得ac=3故答案为点评：熟练掌握圆的性质、切线的性质、三角形相似的判定与性质、三角函数的定义是解题的关键（坐标系与参数方程选讲选做题）15（坐标系与参数方程）在极坐标系中，设曲线c1：=2sin与c2：=2cos的交点分别为a、b，则线段ab的垂直平分线的极坐标方程为sin+cos=1考点：简单曲线的极坐标方程 专题：直线与圆分析：由=2sin得2=2sin，根据极坐标与直角坐标的互化公式求得曲线c1的直角坐标方程，同理求得曲线c2的直角坐标方程；线段ab的垂直平分线经过两圆的圆心，将圆的方程化为标准方程，求得圆心坐标，即可得到线段ab的垂直平分线方程，最后再化成极坐标方程即可解答：解：由=2sin得，2=2sin，即曲线c1的直角坐标方程为x2+y22y=0，由=2cos得曲线c2的直角坐标方程为x2+y22x=0线段ab的垂直平分线经过两圆的圆心圆x2+y22x=0可化为：（x1）2+y2=1，圆x2+y22y=0可化为：x2+（y1）2=1两圆的圆心分别为（1，0），（0，1）线段ab的垂直平分线方程为x+y=1，极坐标方程为sin+cos=1故答案为：sin+cos=1点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，考查两圆公共弦的垂直平分线的方程，属于基础题三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16（12分）已知函数f（x）=sinx+acosx（xr），是函数f（x）的一个零点（1）求a的值，并求函数f（x）的单调递增区间；（2）若，且，求sin（+）的值考点：函数零点的判定定理；两角和与差的正弦函数 专题：计算题；三角函数的求值分析：（1）由是函数f（x）的一个零点知；从而求a的值并求函数的单调区间；（2）由得；由得；从而根据角的范围求角的三角函数值，再由恒等变换求解解答：解：（1）是函数f（x）的一个零点，a=1；f（x）=sinxcosx=由，kz，得，kz，函数f（x）的单调递增区间是（kz）（2），sin（+）=sincos+cossin=点评：本题考查了三角函数的化简与变换，属于基础题17（12分）广州某商场根据以往某种商品的销售记录，绘制了日销售量的频率分布表（如表）和频率分布直方图（如图） 分组频数频率0，50n10.15（50，100n20.25（100，150n30.30（150，200n40.20（200，250n50.10将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立（1）求a1，a3的值（2）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都高于100个且另1天的日销售量不高于50个的概率；（3）用x表示在未来3天里日销售量高于100个的天数，求随机变量x的分布列和数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列 专题：概率与统计分析：（1）由频率分布直方图，能求出a1，a3的值（2）设a1表示事件“日销售量高于100个”，a2表示事件“日销售量不高于50个”，b表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量高于100个且另1天销售量不高于50个”，由此能求出结果（3）x的可能取值为0，1，2，3，且xb（3，0.6），由此能求出x的分布列和ex解答：（本小题满分12分）（1）解：由频率分布直方图，得：，（2分）（2）解：设a1表示事件“日销售量高于100个”，a2表示事件“日销售量不高于50个”，b表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量高于100个且另1天销售量不高于50个”p（a1）=0.30+0.20+0.10=0.6，p（a2）=0.15，故所求概率：p（b）=0.60.60.152=0.108（5分）（3）解：依题意，x的可能取值为0，1，2，3，且xb（3，0.6）（6分）p（x=0）=，p（x=1）=，p（x=2）=，p（x=3）=，（10分）x的分布列为x0123p0.0640.2880.4320.216（11分）ex=30.6=1.8（12分）点评：本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年2015届高考中都是必考题型之一18（14分）如图，四边形abcd是正方形，pab与pad均是以a为直角顶点的等腰直角三角形，点f是pb的中点，点e是边bc上的任意一点（1）求证：afef；（2）求二面角apcb的平面角的正弦值考点：二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）由已知得paad，paab，abbc，从而pabc，进而bc面pab，又afpb，由此能证明afef（2）以a为原点，ad为x轴，ab为y轴，p为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角apcb的平面角的正弦值解答：（1）证明：四边形abcd是正方形，pab与pad均是以a为直角顶点的等腰直角三角形，paad，paab，又adab=a，abbc，pa平面abcd，又bc面abcd，pabc，abpa=a，bc面pab，bcaf，pab是以a为直角顶点的等腰直角三角形，f是pb中点，afpb，又pbbc=b，af平面pbc，ef平面pbc，afef（2）解：以a为原点，ad为x轴，ab为y轴，p为z轴，建立空间直角坐标系，设ab=1，则a（0，0，0），b（0，1，0），c（1，1，0），p（0，0，1），=（0，0，1），=（1，1，0），设平面apc的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，0），=（0，1，1），=（1，1，1），设平面pbc的法向量=（a，b，c），则，取b=1，得=（0，1，1），|cos|=|=，=60，又sin60=，二面角apcb的平面角的正弦值为点评：本题考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力19（14分）已知数列an的前n项和sn满足：sn=，a为常数，且a0，a1（1）求数列an的通项公式；（2）若a=，设bn=，且数列bn的前n项和为tn，求证：tn考点：数列与不等式的综合；数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：（1）利用递推式与等比数列的通项公式即可得出；（2）当时，可得bn=由，可得bn即可证明解答：（1）解：，（a0，a1）a1=a当n2时，得，数列an是首项为a，公比也为a的等比数列（2）证明：当时，=由，bn=，即点评：本题考查了递推式与等比数列的通项公式、“放缩法”、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于难题20（14分）已知椭圆c：的离心率为，且经过点（0，1）圆c1：x2+y2=a2+b2（1）求椭圆c的方程；（2）若直线l：y=kx+m（k0）与椭圆c有且只有一个公共点m，且l与圆c1相交于a，b两点，问=0是否成立？请说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）利用椭圆经过的点求出b，利用离心率求解a，然后求解椭圆c的方程（2）解法1：求出圆c1的圆心为原点o，利用直线l与椭圆c有且只有一个公共点m，联立方程组，通过韦达定理结合直线的斜率关系判断即可解法2：求出圆c1的圆心，联立直线l与椭圆c的方程组成方程组，有且只有一组解，求出m，设a（x1，y1），b（x2，y2），线段ab的中点为n（xn，yn），通过若xn=xm，推出矛盾，得到结论解答：（本小题满分14分）（1）解：椭圆过点（0，1），b2=1（1分），（2分）a2=4 （3分）椭圆c的方程为（4分）（2）解法1：由（1）知，圆c1的方程为x2+y2=5，其圆心为原点o（5分）直线l与椭圆c有且只有一个公共点m，方程组（*） 有且只有一组解由（*）得（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0（6分）从而=（8km）24（1+4k2）（4m24）=0，化简得m2=1+4k2（7分），（9分）点m的坐标为（10分）由于k0，结合式知m0，komk=（11分）om与ab不垂直（12分）点m不是线段ab的中点（13分）=0不成立（14分）解法2：由（1）知，圆c1的方程为x2+y2=5，其圆心为原点o（5分）直线l与椭圆c有且只有一个公共点m，方程组（*） 有且只有一组解由（*）得（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0 （6分）从而=（8km）24（1+4k2）（4m24）=0，化简得m2=1+4k2（7分），（8分）由于k0，结合式知m0，设a（x1，y1），b（x2，y2），线段ab的中点为n（xn，yn），由消去y，得（1+k2）x2+2kmx+m25=0（9分）（10分）若xn=xm，得，化简得3=0，矛盾（11分）点n与点m不重合（12分）点m不是线段ab的中点（13分）=0不成立（14分）点评：本题考查椭圆的标准