高中数学 第三章 函数的应用 3.2.1 几类不同增长的函数模型课件 新人教A版必修1.ppt

3 2函数模型及其应用3 2 1几类不同增长的函数模型 学习目标1 掌握常见增长函数的定义 图象 性质 并体会增长快慢 理解直线上升 对数增长 指数爆炸的含义 重点 2 会分析具体的实际问题 并进行数学建模解决实际问题 重点 增函数 增函数 增函数 y轴 x轴 越来越慢 ax xn logax 例1 1 下列函数中 增长速度最快的是 a y 2017xb y x2017c y log2017xd y 2017x 2 四个自变量y1 y2 y3 y4随变量x变化的数据如下表 则关于x呈指数型函数变化的变量是 题型一几类函数模型的增长差异 解析 1 比较幂函数 指数函数与对数函数可知 指数函数增长速度最快 故选a 2 以爆炸式增长的变量呈指数函数变化 从表格中可以看出 四个变量y1 y2 y3 y4均是从2开始变化 且都是越来越大 但是增长速度不同 其中变量y2的增长速度最快 画出它们的图象 图略 可知变量y2关于x呈指数型函数变化 答案 1 a 2 y2 规律方法常见的函数模型及增长特点 1 线性函数模型 线性函数模型y kx b k 0 的增长特点是直线上升 其增长速度不变 2 指数函数模型 能用指数型函数f x abx c a b c为常数 a 0 b 1 表达的函数模型 其增长特点是随着自变量x的增大 函数值增长的速度越来越快 常称之为 指数爆炸 3 对数函数模型 能用对数型函数f x mlogax n m n a为常数 m 0 x 0 a 1 表达的函数模型 其增长的特点是开始阶段增长得较快 但随着x的逐渐增大 其函数值变化得越来越慢 常称之为 蜗牛式增长 4 幂函数模型 能用幂型函数f x ax b a b 为常数 a 0 1 表达的函数模型 其增长情况由a和 的取值确定 解析指数函数y ax 在a 1时呈爆炸式增长 并且a值越大 增长速度越快 应选a 答案a 例2 函数f x 2x和g x x3的图象如图所示 设两函数的图象交于点a x1 y1 b x2 y2 且x1 x2 1 请指出图中曲线c1 c2分别对应的函数 2 结合函数图象 判断f 6 g 6 f 2011 g 2011 的大小 解 1 c1对应的函数为g x x3 c2对应的函数为f x 2x 2 因为f 1 g 1 f 2 g 10 所以1x2 从图象上可以看出 当x1x2时 f x g x 所以f 2011 g 2011 又因为g 2011 g 6 所以f 2011 g 2011 g 6 f 6 迁移1 变换条件 在例2中 若将 函数f x 2x 改为 f x 3x 又如何求解第 1 题呢 解由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知 c1对应的函数为g x x3 c2对应的函数为f x 3x 迁移2 变换所求 本例条件不变 例2 2 题中结论改为 试结合图象 判断f 8 g 8 f 2015 g 2015 的大小 解因为f 1 g 1 f 2 g 10 所以1x2 从图象上可以看出 当x1x2时 f x g x 所以f 2015 g 2015 又因为g 2015 g 8 所以f 2015 g 2015 g 8 f 8 规律方法由图象判断指数函数 对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数 对数函数和幂函数时 通常是观察函数图象上升得快慢 即随着自变量的增长 图象最 陡 的函数是指数函数 图象趋于平缓的函数是对数函数 例3 某化工厂开发研制了一种新产品 在前三个月的月生产量依次为100t 120t 130t 为了预测今后各个月的生产量 需要以这三个月的月产量为依据 用一个函数来模拟月产量y t 与月序数x之间的关系 对此模拟函数可选用二次函数y f x ax2 bx c a b c均为待定系数 x n 或函数y g x pqx r p q r均为待定系数 x n 现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137t 则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好 题型三函数模型的选择问题 再将x 4分别代入 与 式得f 4 5 42 35 4 70 130 t g 4 80 0 54 140 135 t 与f 4 相比 g 4 在数值上更为接近第四个月的实际月产量 所以 式作为模拟函数比 式更好 故选用函数y g x pqx r作为模拟函数较好 规律方法建立函数模型应遵循的三个原则 1 简化原则 建立函数模型 原型一定要简化 抓主要因素 主要变量 尽量建立较低阶 较简便的模型 2 可推演原则 建立模型 一定要有意义 既能作理论分析 又能计算 推理 且能得出正确结论 3 反映性原则 建立模型 应与原型具有 相似性 所得模型的解应具有说明问题的功能 能回到具体问题中解决问题 训练2 某债券市场发行三种债券 a种面值为100元 一年到期本息和为103元 b种面值为50元 半年到期本息和为51 4元 c种面值为100元 但买入价为97元 一年到期本息和为100元 作为购买者 分析这三种债券的收益 如果只能购买一种债券 你认为应购买哪种 1 如表是函数值y随自变量x变化的一组数据 由此判断它最可能的函数模型为 a 一次函数模型b 二次函数模型c 指数函数模型d 对数函数模型解析随着自变量每增加1函数值增加2 函数值的增量是均匀的 故为线性函数即一次函数模型 故选a 答案a 课堂达标 2 当x越来越大时 下列函数中 增长速度最快的应是 a y 3xb y log3xc y x3d y 3x解析几种函数模型中 指数函数增长最快 故选d 答案d 3 某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10 4 要增长到原来的x倍 需经过y年 则函数y f x 的图象大致是 解析设该林区的森林原有蓄积量为a 由题意 ax a 1 0 104 y 故y log1 104x x 1 y f x 的图象大致为d中图象 答案d 4 当2 x 4时 2x x2 log2x的大小关系是 a 2x x2 log2xb x2 2x log2xc 2x log2x x2d x2 log2x 2x解析法一在同一平面直角坐标系中分别画出函数y log2x y x2 y 2x在区间 2 4 上从上往下依次是y x2 y 2x y log2x的图象 所以x2 2x log2x 法二比较三个函数值的大小 作为选择题 可以采用特殊值代入法 可取x 3 经检验易知选b 答案b 三种