广东省广州市高三数学综合测试（一模）试题 文（含解析）.doc

1 20162016 年广州市普通高中毕业班综合测试 一 年广州市普通高中毕业班综合测试 一 文科数学文科数学 注意事项 1 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 答卷前 考生务必将自 己的姓名和考生号 试室号 座位号填写在答题卡上 并用铅笔在答题卡上的相应位置填 涂考生号 2 回答第 卷时 选出每小题答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其它答案标号 写在本试卷上无效 3 回答第 卷时 将答案写在答题卡上 写在本试卷上无效 4 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 第 卷 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的 1 已知集合 则 11axx 2 20bx xx ab a b c d 12xx 10 xx 12xx 01xx 答案答案 d 解析解析 集合 a 集合 b 所以 11xx 2xx 0ab 01xx 2 已知复数 其中 为虚数单位 则复数所对应的点在 3i 1 i z iz a 第一象限 b 第二象限 c 第三象限 d 第四 象限 答案答案 d 解析解析 对应坐标为 2 1 在第四象限 3 1 2 2 ii zi 3 已知函数则的值为 2 1 1 1 1 xxx f x x x 2ff a b c d 1 2 1 5 1 5 1 2 答案答案 c 解析解析 4 2 6 选 c 2f 11 2 6 1 65 f ff 4 设是 所在平面内的一点 且 则 与 的面积之比pabc2cppa pabpbc 是 a b c d 1 3 1 2 2 3 3 4 答案答案 b 2 解析解析 依题意 得 cp 2pa 设点 p 到 ac 之间的距离为 h 则 与 的面积之比为 pabpbc 1 2 1 2 bpa bcp pa h s s pc h a a 1 2 5 如果函数的相邻两个零点之间的距离为 则的值 cos 4 f xx 0 6 为 a 3 b 6 c 12 d 24 答案答案 b 解析解析 依题意 得 周期 t 所以 6 3 2 3 6 执行如图所示的程序框图 如果输入 则输出的值为3x k a 6 b 8 c 10 d 12 答案答案 c 解析解析 第一步 x 9 k 2 第二步 x 21 k 4 第三步 x 45 k 6 第四步 x 93 k 8 第五步 x 189 k 10 退出循环 故 k 10 7 在平面区域内随机投入一点 则点的坐标满 01 12x yxy pp x y 足的概率为2yx a b c d 1 4 1 2 2 3 3 4 答案答案 a 解析解析 画出平面区域 如图 阴影部分符合 其面积为 正方形面积为 1 故2yx 1 4 所求概率为 1 4 3 8 已知 若 则 sin 6 f xx 3 sin 5 2 12 f a b c d 7 2 10 2 10 2 10 7 2 10 答案答案 b 解析解析 因为 所以 3 sin 5 2 4 cos 5 12 f sin sin 1264 22 sincos 22 2 10 9 如果 是抛物线 上的点 它们的横坐标依次为 1 p 2 p n pc 2 4yx 1 x 2 x n x 是抛物线的焦点 若 则fc 12 10 n xxx 12n pfp fp f a b c d 10n 20n 210n 220n 答案答案 a 解析解析 由抛物线的焦点为 1 0 准线为 1 由抛物线的定义 可知 x 11 1pfx 故 22 1p fx 12n pfp fp f 10n 10 一个六棱柱的底面是正六边形 侧棱垂直于底面 所有棱的长都为 顶点都在同1 一个球面上 则该球的体积为 a b c d 20 5 3 5 4 5 5 6 答案答案 d 解析解析 六棱柱的对角线长为 球的体积为 v 22 215 3 45 32 5 5 6 11 已知下列四个命题 若直线 和平面内的无数条直线垂直 则 1 pl l 若 则 2 p 22 xx f x x r fxf x 若 则 3 p 1 1 f xx x 0 0 x 0 1f x 在 中 若 则 4 pabcab sinsinab 其中真命题的个数是 a 1 b 2 c 3 d 4 答案答案 b 解析解析 p1错误 因为无数条直线不一定是相交直线 可能是平行直线 p2正确 p3错误 因为由 得 x 0 故错误 p4正确 注意前提条件是在 中 1 1 1 x x abc 12 如图 网格纸上小正方形的边长为 1 粗线画出的是 某个四面体的三视图 则该四面体的表面积为 a b 88 24 6 88 22 6 c d 22 26 126 224 答案答案 a 解析解析 该几何体为如图中的三棱锥 c a1c1e ec ea1 a1c 4 2 5161616 3 三角形 ea1c 的底边 a1c 上的高为 2 2 表面积为 s 24 24 44 24 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 388 24 6 5 第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 题 第 21 题为必考题 每个试题考生都必须 做答 第 22 题 第 24 题为选考题 考生根据要求做答 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 13 函数的极小值为 3 3f xxx 答案答案 2 解析解析 求导 得 得 当 1 时 函数 f x 取得极小值 2 330fxx 1x x 2 14 设实数 满足约束条件 则的取值范围是 xy 230 230 3 xy xy x 23zxy 答案答案 6 15 解析解析 画出不等式表示的平面区域 在点 3 0 处 取得最小值 6 在23zxy 点 3 3 处取得最大值 15 15 已知双曲线 的左顶点为 右焦点为 点c 22 22 1 xy ab 0 0ab af 且 则双曲线的离心率为 0 bb0ba bf ac 答案答案 51 2 解析解析 设 f c 0 又 a 0 由 得 b c b a0ba bf aa 0 所以 有 即 化为 可得离心率 e 2 bac 22 caac 2 10 cc aa 51 2 6 16 在 中 点在边上 abcdab 则的长为 cdbc 5 3ac 5cd 2bdad ad 答案答案 5 解析解析 因为 bd 2ad 设 ad x 则 bd 2x 因为 所以 bc cdbc 2 425x 在三角形 acd 中 cosa 2 7525 10 3 x x 在三角形 abc 中 cosa 22 759 425 30 3 xx x 所以 解得 5 所以 ad 5 2 7525 10 3 x x 22 759 425 30 3 xx x x 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 已知数列是等比数列 是和的等差中项 n a 2 4a 3 2a 2 a 4 a 求数列的通项公式 n a 设 求数列的前项和 2 2log1 nn ba nn a bn n t 解析解析 解 解 设数列的公比为 n aq 因为 所以 1 分 2 4a 3 4aq 2 4 4aq 因为是和的等差中项 所以 2 分 3 2a 2 a 4 a 324 22aaa 即 化简得 2 2 4244qq 2 20qq 因为公比 所以 4 分0q 2q 7 所以 5 分 22 2 422 nnn n aa q n n 因为 所以 2n n a 2 2log121 nn ban 所以 7 分 21 2n nn a bn 则 231 1 23 25223 221 2 nn n tnn 9 分 2341 21 23 25223 221 2 nn n tnn 得 10 分 231 222222221 2 nn n tn 11 1 4 2221 2623 2 12 1 2 nn n nn 所以 12 分 1 623 2 n n tn 18 本小题满分 12 分 从某企业生产的某种产品中抽取 100 件 测量这些产品的质量指标值 由测量结果得 到如图所示的频率分布直方图 质量指标值落在区间 内 55 65 65 75 75 85 的频率之比为 4 2 1 求这些产品质量指标值落在区间 内的频率 75 85 用分层抽样的方法在区间内抽 45 75 取一个容量为 6 的样本 将该样本看成一 个总体 从中任意抽取 2 件产品 求这 2 质量指标值 0 012 0 004 0 019 0 030 15253545556575850 频率 组距 8 件产品都在区间内的概率 45 65 解析解析 解 解 设区间内的频率为 75 85x 则区间 内的频率分别为和 1 分 55 65 65 754x2x 依题意得 3 分 0 0040 0120 0190 03010421xxx 解得 0 05x 所以区间内的频率为 4 分 75 850 05 由 得 区间 内的频率依次为 45 55 55 65 65 750 3 0 20 1 用分层抽样的方法在区间内抽取一个容量为 6 的样本 45 75 则在区间内应抽取件 记为 45 55 0 3 63 0 30 20 1 1 a 2 a 3 a 在区间内应抽取件 记为 55 65 0 2 62 0 30 20 1 1 b 2 b 在区间内应抽取件 记为 6 分 65 75 0 1 61 0 30 20 1 c 设 从样本中任意抽取 2 件产品 这 2 件产品都在区间内 为事件m 45 65 则所有的基本事件有 12 a a 13 a a 11 a b 12 a b 1 a c 23 a a 21 a b 22 a b 2 a c 31 a b 32 a b 3 a c 12 b b 1 b c 共 15 种 8 分 2 b c 事件m包含的基本事件有 12 a a 13 a a 11 a b 12 a b 23 a a 共 10 种 10 分 21 a b 22 a b 31 a b 32 a b 12 b b 所以这 2 件产品都在区间内的概率为 12 分 45 65 102 153 19 本小题满分 12 分 如图 四棱柱的底面是菱形 底 1111 abcdabc d abcdacbdo 1 ao a b c d o 1 a 1 b 1 c 1 d 9 面 abcd2 1 aaab 证明 平面 bd 1 aco 若 求点到平面的距离 60bad c 1 obb 解析解析 证明 证明 因为平面 平面 1 ao abcdbd abcd 所以 1 分 1 ao bd 因为是菱形 所以 2 分 abcdco bd 因为 平面 1 aocoo 1 aoco 1 aco 所以平面 3 分bd 1 aco 解法一 解法一 因为底面是菱形 abcdacbdo 2 1 aaab 60bad 所以 4 分1obod 3oaoc 所以的面积为 5 分obc 13 13 22 1 2 obc sob oc 因为平面 平面 1 ao abcdao abcd 所以 6 分 1 aoao 22 11 1aoaaoa 因为平面 11 abaabcd 所以点到平面的距离等于点到平面abcd的距离 7 分 1 babcd 1 a 1 ao 由 得 平面 bd 1 a ac 因为平面 所以 1 a a 1 a acbd 1 a a 因为 所以 8 分 11 a ab babd 1 b b 10 所以 的面积为 9 分 1 obb 1 1 1 1 21 2 1 2 obb sobbb 设点到平面的距离为 c 1 obbd 因为 11 c obbbobc vv 所以 10 分 1 1 11 33 obbobc sdsao dd gg 所以 1 1 3 1 3 2 12 obc obb sao d s 所以点到平面的距离为 12 分c 1 obb 3 2 解法二 解法二 由 知平面 bd 1 aco 因为平面 bd 11 bb d d 所以平面 平面 4 分 1 aco 11 bb d d 连接与交于点 11 ac 11 b d 1 o 连接 1 co 1 oo 因为 所以为平行四边形 11 aacc 11 aacc 11 caac 又 分别是 的中点 所以为平行四边形 o 1 oac 11 ac 11 oaoc 所以 6 分 11 1ocoa 因为平面与平面交线为 11 oaoc 11 bb d d 1 oo 过点作于 则平面 8 分c 1 choo hch 11 bb d d 因为 平面 所以平面 11 ocaoa 1 ao abcd 1 o c abcd 因为平面 所以 即 为直角三角形 10 分oc abcd 1 o c oc 1 oco 所以 1 1 133 22 oc oc ch oo 所以点到平面的距离为 12 分c 1 obb 3 2 a b c d o 1 a 1 b 1 c 1 d h 1 o 11 20 本小题满分 12 分 已知椭圆的中心在坐标原点 焦点在轴上 左顶点为 左焦点为 cxa 1 2 0f 点在椭圆上 直线与椭圆交于 两点 直线 2b 2 c 0ykx k cefae 分别与轴交于点 afymn 求椭圆的方程 c 在轴上是否存在点 使得无论非零实数怎样变化 总有为直角 xpkmpn 若存在 求出点的坐标 若不存在 请说明理由 p 解析解析 解法一 解法一 设椭圆的方程为 c 22 22 1 0 xy ab ab 因为椭圆的左焦点为 所以 1 分 1 2 0f 22 4ab 设椭圆的右焦点为 已知点在椭圆上 2 2 0f 22b c 由椭圆的定义知 12 2bfbfa 所以 2 分23 224 2a 所以 从而 3 分2 2a 2b 所以椭圆的方程为 4 分c 22 1 84 xy 解法二 解法二 设椭圆的方程为 c 22 22 1 0 xy ab ab 因为椭圆的左焦点为 所以 1 分 1 2 0f 22 4ab 因为点在椭圆上 所以 2 分 22b c 22 42 1 ab 由 解得 3 分2 2a 2b 所以椭圆的方程为 4 分c 22 1 84 xy 解法一 解法一 因为椭圆的左顶点为 则点的坐标为 5 分caa 2 2 0 因为直线与椭圆交于两点 0 ykx k 22 1 84 xy ef 设点 不妨设 则点 00 exy 0 0 x 00 fxy 12 联立方程组消去得 22 1 84 ykx xy y 2 2 8 12 x k 所以 6 分 0 2 2 2 12 x k 0 2 2 2 12 k y k 所以直线的方程为 7 分ae 2 2 2 112 k yx k 因为直线与轴交于点 aeym 令得 即点 8 分0 x 2 2 2 112 k y k 2 2 2 0 112 k m k 同理可得点 9 分 2 2 2 0 112 k n k 假设在轴上存在点 使得为直角 则 10 分x 0 p tmpn 0mp np 即 即 11 分 2 22 2 22 2 0 112112 kk t kk 2 40t 解得或 2t 2t 故存在点或 无论非零实数怎样变化 总有为直角 2 0p 2 0p kmpn 12 分 解法二 解法二 因为椭圆的左端点为 则点的坐标为 5 分caa 2 2 0 因为直线与椭圆交于两点 0 ykx k 22 1 84 xy ef 设点 则点 00 e xy 00 fxy 所以直线的方程为 6 分ae 0 0 2 2 2 2 y yx x 因为直线与轴交于点 aeym 令得 即点 7 分0 x 0 0 2 2 2 2 y y x 0 0 2 2 0 2 2 y m x 同理可得点 8 分 0 0 2 2 0 2 2 y n x 假设在轴上存在点 使得为直角 则 x 0p tmpn 0mp np 13 即 即 9 分 2 00 00 2 22 2 0 2 22 2 yy t xx 2 2 0 2 0 8 0 8 y t x 因为点在椭圆上 00 e xyc 所以 即 10 分 22 00 1 84 xy 2 2 0 0 8 2 x y 将代入 得 11 分 2 2 0 0 8 2 x y 2 40t 解得或 2t 2t 故存在点或 无论非零实数怎样变化 总有为直角 2 0p 2 0p kmpn 12 分 解法三 解法三 因为椭圆的左顶点为 则点的坐标为 5 分caa 2 2 0 因为直线与椭圆交于两点 0 ykx k 22 1 84 xy ef 设点 则点 6 分 2 2cos 2sine 0 2 2cos 2sinf 所以直线的方程为 7 分ae 2sin 2 2 2 2cos2 2 yx 因为直线与轴交于点 aeym 令得 即点 8 分0 x 2sin cos1 y 2sin 0 cos1 m 同理可得点 9 分 2sin 0 cos1 n 假设在轴上存在点 使得为直角 则 10 分x 0 p tmpn 0mp np 即 即 11 分 2 2sin2sin 0 cos1cos1 t 2 40t 解得或 2t 2t 故存在点或 无论非零实数怎样变化 总有为直角 2 0p 2 0p kmpn 12 分 21 本小题满分 12 分 已知函数 eln1 x f xmx 当时 求曲线在点处的切线方程 1m yf x 11f 14 当时 证明 1m 1f x 解析解析 解 解 当时 1m eln1 x f xx 所以 1 分 1 exfx x 所以 2 分 1 e 1f 1 e 1 f 所以曲线在点处的切线方程为 yf x 11f e 1 e 1 1 yx 即 3 分 e 1yx 证法一 证法一 当时 1m eln1eln1 xx f xmxx 要证明 只需证明 4 分 1f x eln20 x x 以下给出三种思路证明以下给出三种思路证明 eln20 x x 思路思路 1 1 设 则 eln2 x g xx 1 exg x x 设 则 1 exh x x 2 1 e0 x h x x 所以函数在上单调递增 6 分 h x 1 exg x x 0 因为 1 2 1 e20 2 g 1 e 10 g 所以函数在上有唯一零点 且 8 分 1 exg x x 0 0 x 0 1 1 2 x 因为时 所以 即 9 分 0 0g x 0 0 1 ex x 00 ln xx 当时 当时 0 0 xx 0g x 0 xx 0g x 所以当时 取得最小值 10 分 0 xx g x 0 g x 故 0 000 0 1 eln220 x g xg xxx x 综上可知 当时 12 分1m 1f x 思路思路 2 2 先证明 5 分e1 x x x r 15 设 则 e1 x h xx e1 x h x 因为当时 当时 0 x 0h x 0 x 0h x 所以当时 函数单调递减 当时 函数单调递增 0 x h x0 x h x 所以 00h xh 所以 当且仅当时取等号 7 分e1 x x 0 x 所以要证明 eln20 x x 只需证明 8 分 1ln20 xx 下面证明 ln10 xx 设 则 ln1p xxx 11 1 x px xx 当时 当时 01x 0px 1x 0px 所以当时 函数单调递减 当时 函数单调递增 01x p x1x p x 所以 10p xp 所以 当且仅当时取等号 10 分ln10 xx 1x 由于取等号的条件不同 所以 eln20 x x 综上可知 当时 12 分1m 1f x 若考生先放缩 若考生先放缩 或 或 同时放缩 请参考此思路给分 同时放缩 请参考此思路给分 ln xexln x 思路思路 3 3 先证明 eln2 x x 因为曲线与曲线的图像关于直线对称 exy lnyx yx 设直线与曲线 分别交于点 点 到直线xt 0t exy lnyx abab yx 的距离分别为 1 d 2 d 则 12 2abdd 其中 1 e 2 t t d 2 ln 2 tt d 0t 16 设 则 eth tt 0t e1 t h t 因为 所以 0t e10 t h t 所以在上单调递增 则 h t 0 01h th 所以 1 e2 22 t t d 设 则 lng ttt 0t 11 1 t g t tt 因为当时 当时 01t 0g t 1t 0g t 所以当时 单调递减 当时 单调递增 01t lng ttt 1t lng ttt 所以 11g tg 所以 2 ln2 22 tt d 所以 12 22 222 22 abdd 综上可知 当时 12 分1m 1f x 证法二 证法二 因为 eln1 x f xmx 要证明 只需证明 4 分 1f x eln20 x mx 以下给出两种思路证明以下给出两种思路证明 eln20 x mx 思路思路 1 1 设 则 eln2 x g xmx 1 exg xm x 设 则 1 exh xm x 2 1 e0 x h xm x 所以函数在上单调递增 6 分 h x 1 exgxm x 0 因为 11 22 1 e2e20 2 mm gmmm m 1e 10gm 所以函数在上有唯一零点 且 8 分 1 exg xm x 0 0 x 0 1 1 2 x m 因为 所以 即 9 分 0 0gx 0 0 1 exm x 00 lnlnxxm 17 当时 当时 0 0 xx 0gx 0 xx 0gx 所以当时 取得最小值 10 分 0 xx g x 0 g x 故 0 000 0 1 eln2ln20 x g xg xmxxm x 综上可知 当时 12 分1m 1f x 思路思路 2 2 先证明 且 5 分e1 x xx rln1 0 xxx 设 则 e1 x f xx e1 x f x 因为当时 当时 0 x 0f x 0 x 0f x 所以在上单调递减 在上单调递增 f x 0 0 所以当时 取得最小值 0 x f x 0 0f 所以 即 当且仅当时取等号 7 分 0 0f xf e1 x x 0 x 由 得 当且仅当时取等号 8 分e1 x xx r 1 exx 1x 所以 当且仅当时取等号 9 分ln1 0 xxx 1x 再证明 eln20 x mx 因为 且与不同时取等号 0 x 1m e1 x x ln1xx 所以 eln2112 x mxm xx 11mx 0 综上可知 当时 12 分1m 1f x 请考生在第 22 23 24 题中任选一题做答 如果多做 则按所做的第一题计分 做答 时请写清题号 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图所示 内接于 直线与 相切于点 交的延长线于点abcoadoabc 过点作交的延长线于点 dddecaabae f c d o a b e 18 求证 2 deae be a 若直线与 相切于点 且 efof4ef 2ea 求线段的长 ac 解析解析 证明 证明 因为是 的切线 ado 所以 弦切角定理 1 分dacb 因为 decaa 所以 2 分 daceda 所以 edab 因为 公共角 aeddeb 所以 3 分aeddeb 所以 deae bede 即 4 分 2 deae be a 解 解 因为是 的切线 是 的割线 efoeabo 所以 切割线定理 5 分 2 efea eb a 因为 所以 7 分4ef 2ea 8eb 6abebea 由 知 所以 8 分 2 deae be a4de 因为 所以 9 分decaabacbed 所以 baac beed 所以 10 分 64 3 8 ba ed ac be 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中 以坐标原点为极点 轴正半轴为极轴建立极坐标系 xoyox f c d o a b e 19 曲线的极坐标方程为 c sin2 0 2 求曲线的直角坐标方程 c 在曲线上求一点 使它到直线 为参数 的cdl 33 32 xt yt tt r 距离最短 并求出点的直角坐标 d 解析解析 解 解 由 sin2 0 2 可得 1 分 2 2 sin 因为 2 分 222 xy siny 所以曲线的普通方程为 或 4 分c 22 20 xyy 2 2 11xy 解法一 解法一 因为直线的参数方程为 为参数 33 32 xt yt tt r 消去 得直线 的普通方程为 5 分tl35yx 因为曲线 是以为圆心 1 为半径的圆 c 2 2 11xy g 1 0 设点 且点到直线 的距离最短 00 d xydl35yx 所以曲线在点处的切线与直线 平行 cdl35yx 即直线与 的斜率的乘积等于 即 7 分gdl1 0 0 1 31 y x 因为 2 2 00 11xy 解得或 0 3 2 x 0 3 2 x 所以点的坐标为或 9 分d 3 1 22 3 3 22 由于点到直线的距离最短 d35yx 所以点的坐标为 10 分d 3 3 22