高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线的标准方程课件 苏教版选修11.ppt

2 3 1双曲线的标准方程 第2章 2 3双曲线 1 了解双曲线的定义 几何图形和标准方程的推导过程 2 掌握双曲线的标准方程及其求法 3 会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一双曲线的定义 思考已知点p x y 的坐标满足下列条件 试判断下列各条件下点p的轨迹是什么图形 答案 答案 梳理 把平面内与两个定点f1 f2距离的等于常数 小于f1f2的正数 的点的轨迹叫做双曲线 两个定点f1 f2叫做 叫做双曲线的焦距 差的绝对值 双曲线的焦点 两焦点间的距离 思考1双曲线的标准形式有两种 如何区别焦点所在的坐标轴 知识点二双曲线的标准方程 在双曲线标准方程中 x2与y2的系数的符号决定了焦点所在的坐标轴 当x2的系数为正时 焦点在x轴上 当y2的系数为正时 焦点在y轴上 而与分母的大小无关 答案 思考2如图 类比椭圆中a b c的意义 你能在y轴上找一点b 使ob b吗 以双曲线与x轴的交点a为圆心 以线段of2为半径画圆交y轴于点b 此时ob b 答案 梳理 题型探究 例1求下列双曲线的标准方程 类型一求双曲线的标准方程 解答 2 焦距为26 且经过点m 0 12 解答 因为双曲线经过点m 0 12 所以m 0 12 为双曲线的一个顶点 故焦点在y轴上 且a 12 又2c 26 所以c 13 所以b2 c2 a2 25 设双曲线方程为mx2 ny2 1 mn 0 解答 待定系数法求方程的步骤 1 定型 即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴 2 设方程 根据焦点位置设出相应的标准方程的形式 若不知道焦点的位置 则进行讨论 或设双曲线的方程为ax2 by2 1 ab 0 反思与感悟 3 计算 利用题中条件列出方程组 求出相关值 4 结论 写出双曲线的标准方程 跟踪训练1根据条件求双曲线的标准方程 1 c 经过点a 5 2 焦点在x轴上 解得a2 5或a2 30 舍 b2 1 解答 2 经过点p 4 2 和点q 2 2 解答 设双曲线方程为mx2 ny2 1 mn 0 解答 例2已知0 180 当 变化时 方程x2cos y2sin 1表示的曲线怎样变化 类型二由方程判断曲线的形状 解答 2 当 90 时 方程为y2 1 方程表示两条平行直线y 1 反思与感悟 像椭圆的标准方程一样 双曲线的标准方程也有 定型 和 定量 两个方面的功能 定型 以x2和y2的系数的正负来确定 定量 以a b的大小来确定 解得m 0 即m的取值范围为 0 此时 椭圆的焦点在x轴上 焦点坐标为 4 0 解答 当曲线为双曲线时 依题意得 16 m m 0 解得0 m 16 即m的取值范围为 0 16 此时 双曲线的焦点在x轴上 焦点坐标为 4 0 2 当曲线为双曲线时 求m的取值范围 并写出焦点坐标 解答 命题角度1焦点三角形问题 类型三双曲线的定义及应用 答案 解析 4a 2m 由双曲线的定义 知af1 af2 2a bf1 bf2 2a 又af2 bf2 ab 所以 abf1的周长为af1 bf1 ab 4a 2ab 4a 2m 2 已知双曲线的左 右焦点分别是f1 f2 若双曲线上一点p使得 f1pf2 60 则 f1pf2的面积为 答案 解析 由定义和余弦定理 得pf1 pf2 6 所以102 pf1 pf2 2 pf1 pf2 所以pf1 pf2 64 引申探究在本例 2 中 若 f1pf2 90 其他条件不变 求 f1pf2的面积 解答 由双曲线方程知a 3 b 4 c 5 由双曲线的定义得 pf1 pf2 2a 6 将 代入 得pf1 pf2 32 反思与感悟 求双曲线中焦点三角形面积的方法 1 方法一 根据双曲线的定义求出 pf1 pf2 2a 利用余弦定理表示出pf1 pf2 f1f2之间满足的关系式 通过配方 利用整体的思想求出pf1 pf2的值 特别提醒利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题 一是要注意定义条件 pf1 pf2 2a的变形使用 特别是与 pf1 pf2间的关系 跟踪训练3已知f1 f2分别为双曲线c x2 y2 1的左 右焦点 点p在c上 f1pf2 60 则pf1 pf2 4 设pf1 m pf2 n 即m2 n2 mn 8 m n 2 mn 8 mn 4 即pf1 pf2 4 答案 解析 命题角度2由双曲线定义求轨迹方程 答案 解析 例4已知圆c1 x 3 2 y2 1和圆c2 x 3 2 y2 9 动圆m同时与圆c1及圆c2相外切 则动圆圆心m的轨迹方程为 如图 设动圆m与圆c1及圆c2分别外切于点a和b 根据两圆外切的条件 得mc1 ac1 ma mc2 bc2 mb 因为ma mb 所以mc1 ac1 mc2 bc2 即mc2 mc1 2 这表明动点m与两定点c2 c1距离的差是常数2且2 6 c1c2 根据双曲线的定义 动点m的轨迹为双曲线的左支 点m与c2的距离大 与c1的距离小 这里a 1 c 3 则b2 8 设点m的坐标为 x y 其轨迹方程为x2 1 x 1 反思与感悟 定义法求双曲线方程的注意点 1 注意条件中是到定点距离之差 还是差的绝对值 2 当差的绝对值为常数时 要注意常数与两定点间距离的大小问题 3 求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标是否都在所给的曲线上 由pf1 f1f2 2pf2 pf2 pf1 4 得pf1 6 pf2 10 又f1f2 14 答案 解析 f1pf2 120 120 当堂训练 1 2 3 4 5 1 已知双曲线中的a 5 c 7 则该双曲线的标准方程为 答案 1 2 3 4 5 1 由a 0 0 a2 4 且4 a2 a 2 可解得a 1 答案 解析 1 2 3 4 5 5 10 答案 解析 由题意得 10 k 5 k 0 解得5 k 10 4 设f1 f2分别是双曲线x2 1的左 右焦点 p是双曲线上的一点 且3pf1 4pf2 则 pf1f2的面积为 答案 解析 1 2 3 4 5 24 又由f1f2 10 可得 pf1f2是直角三角形 5 求适合下列条件的双曲线的标准方程 1 a 3 c 4 焦点在x轴上 1 2 3 4 5 解答 由题设知 a 3 c 4 由c2 a2 b2 得b2 c2 a2 42 32 7 因为双曲线的焦点在x轴上 2 焦点为 0 6 0 6 经过点a 5 6 1 2 3 4 5 解答 由已知得c 6 且焦点在y轴上 因为点a 5 6 在双曲线上 13 5 8 则a 4 b2 c2 a2 62 42 20 1 2 3 4 5 解得a2 3 b2 5 解答 1 在双曲线定义中 pf1 pf2 2a 2ab不一定成立 要注意与椭圆中a