高中数学 第三章 柯西不等式与排序不等式本讲整合课件 新人教A版选修45.ppt

本讲整合 答案 三维形式的柯西不等式 一般形式的柯西不等式 乱序和 顺序和 向量形式 三角不等式 专题一 专题二 专题一 柯西不等式的应用1 柯西不等式的一般形式为 a1b1 a2b2 anbn 2 其中ai bi r i 1 2 n 该不等式的形式简洁 美观 对称性强 灵活地运用柯西不等式 可以使一些较为困难的不等式的证明问题迎刃而解 也可以用来解决最值问题 2 利用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组数 并向着柯西不等式的形式进行转化 运用时要注意体会拼凑和变形技巧 3 利用柯西不等式证明不等式 特别是求最值时要注意等号是否成立 专题一 专题二 专题一 专题二 变式训练1已知实数a b c满足a 2b c 1 a2 b2 c2 1 求证 c 1 证明 因为a 2b c 1 a2 b2 c2 1 所以a 2b 1 c a2 b2 1 c2 由柯西不等式可得 12 22 a2 b2 a 2b 2 即5 1 c2 1 c 2 专题一 专题二 例2设a b c为正实数 且a 2b 3c 13 专题一 专题二 变式训练2求实数x y的值 使 y 1 2 x y 3 2 2x y 6 2达到最小值 解 由柯西不等式 得 12 22 12 y 1 2 3 x y 2 2x y 6 2 1 y 1 2 3 x y 1 2x y 6 2 1 专题一 专题二 专题二 排序不等式的应用1 在利用排序不等式证明相关不等式时 首先考虑构造出两个合适的有序数组 并能根据需要进行恰当地组合 这需要结合题目的已知条件及待证不等式的结构特点进行合理选择 2 根据排序不等式的特点 与多变量间的大小顺序有关的不等式问题 利用排序不等式解决往往有 化繁为简 的效果 3 利用排序不等式求最值时 也要关注等号成立的条件 不能忽略 专题一 专题二 例3设a b c r 利用排序不等式证明 分析 假定a b c的大小关系 构造数组a5 b5 c5 进行证明 专题一 专题二 例4设a1 a2 a3 a4 a5是互不相同的正整数 分析 构造数组b1 b2 b3 b4 b5和1 利用排序不等式求解 解 设b1 b2 b3 b4 b5是a1 a2 a3 a4 a5的一个排列 且b1 b2 b3 b4 b5 则b1 1 b2 2 b3 3 b4 4 b5 5 专题一 专题二 变式训练3设a1 a2 an为正数 且a1 a2 an 5 5 1 2 3 4 考点 柯西不等式的应用1 2014陕西高考 设a b m n r 且a2 b2 5 ma nb 5 则的最小值为 解析 由柯西不等式 得 a2 b2 m2 n2 am bn 2 即5 m2 n2 25 m2 n2 5 当且仅当an bm时 等号成立 1 2 3 4 2 2013湖南高考 已知a b c r a 2b 3c 6 则a2 4b2 9c2的最小值为 解析 由柯西不等式 得 12 12 12 a2 4b2 9c2 a 2b 3c 2 即a2 4b2 9c2 12 当a 2b 3c 2时 等号成立 所以a2 4b2 9c2的最小值为12 答案 12 1 2 3 4 3 2017江苏高考 已知a b c d为实数 且a2 b2 4 c2 d2 16 证明 ac bd 8 证明 由柯西不等式可得 ac bd 2 a2 b2 c2 d2 因为a2 b2 4 c2 d2 16 所以 ac b