高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例（一）课件 新人教B版必修5.ppt

第一章解三角形 1 2应用举例 一 1 会用正弦 余弦定理解决生产实践中有关不可到达点距离的测量问题 2 培养提出问题 正确分析问题 独立解决问题的能力 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 知识点一常用角 试画出 北偏东60 和 南偏西45 的示意图 答案 梳理 在解决实际问题时常会遇到一些有关角的术语 请查阅资料后填空 1 方向角指北或指南方向线与目标方向所成的小于 度的角 2 仰角与俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角 目标视线在水平线 时叫仰角 目标视线在水平线 时叫俯角 如下图所示 90 上方 下方 3 张角由c点看ab的张角指的是角 acb 知识点二测量方案 思考1 如图是北京故宫的角楼 设线段ab表示角楼的高度 在宫墙外护城河畔的马路边 选位置c 设cc 为测量仪器的高 过点c 的水平面与ab相交于点b 由测点c 对角楼进行测量 你认为通过测量的数据能求出角楼的高度吗 答案 可测得点a的仰角 的大小 在 ab c 中 三条边的长度都无法测出 因而ab 无法求得 思考2 如图 如果移动测量仪cc 到dd 测量仪高度不变 想想看 我们能测得哪些数据 使问题得以解决 答案 如图所示 在点b c d 构成的三角形中 可以测得 和 的大小 又可测得c d 的长 这样 我们就可以根据正弦定理求出边b c 的长 从而在rt ab c 中 求出ab 的长 使问题得到解决 梳理测量某个量的方法有很多 但是在实际背景下 有些方法可能没法实施 比如直接测量某楼高 这个时候就需要设计方案绕开障碍间接地达到目的 设计测量方案的基本任务是把目标量转化为可测量的量 并尽可能提高精确度 一般来说 基线越长 精确度越高 题型探究 例1如图 为测量河对岸a b两点的距离 在河的这边测出cd的长为km adb cdb 30 acd 60 acb 45 求a b两点间的距离 解答 类型一测量两个不能到达点之间的距离问题 在 bcd中 cbd 180 30 105 45 在 acd中 cad 180 60 60 60 acd为正三角形 ac cd km 在 abc中 由余弦定理得ab2 ac2 bc2 2ac bccos45 测量两个不可到达的点之间的距离 一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题 然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题 运用正弦定理解决 反思与感悟 跟踪训练1要测量河对岸两地a b之间的距离 在岸边选取相距100米的c d两点 并测得 acb 75 bcd 45 adc 30 adb 45 a b c d在同一平面内 求a b两地的距离 解答 如图在 acd中 cad 180 120 30 30 ac cd 100 米 在 bcd中 cbd 180 45 75 60 在 abc中 由余弦定理 得ab2 100 2 200sin75 2 2 100 200sin75 cos75 类型二求高度 命题角度1测量仰角 俯角 求高度例2如图所示 d c b在地平面同一直线上 dc 10m 从d c两地测得a点的仰角分别为30 和45 则a点离地面的高ab等于 答案 解析 方法一设ab xm 则bc xm bd 10 x m acb 45 acd 135 cad 180 135 30 15 由正弦定理 方法二 反思与感悟 利用正弦 余弦定理来解决实际问题时 要从所给的实际背景中 进行加工 提炼 抓住本质 抽象出数学模型 使之转化为解三角形问题 跟踪训练2江岸边有一炮台c高30m 江中有两条船b a 船与炮台底部d在同一直线上 由炮台顶部测得俯角分别为45 和30 则两条船相距 m 在 abc中 30 答案 解析 命题角度2测量方位角求高度例3如图 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶 到a处时测得公路北侧一山顶d在西偏北30 的方向上 行驶600m后到达b处 测得此山顶在西偏北75 的方向上 仰角为30 则此山的高度cd m 答案 解析 依题意 cab 30 ab 600m cba 180 75 105 cbd 30 acb 180 30 105 45 由正弦定理 得 反思与感悟 此类问题特点 底部不可到达 且涉及与地面垂直的平面 观测者两次观测点所在直线不经过 目标物 解决办法是把目标高度转化为地平面内某量 从而把空间问题转化为平面内解三角形问题 跟踪训练3如图 为测得河对岸塔ab的高 先在河岸上选一点c 使c在塔底b的正东方向上 测得点a的仰角为60 再由点c沿北偏东15 方向走10m到位置d 测得 bdc 45 则塔ab的高是 答案 解析 在 bcd中 cd 10m bdc 45 bcd 15 90 105 dbc 30 由正弦定理 在rt abc中 tan60 ab bc tan60 10 m 当堂训练 由 可求出 由 b 可利用正弦定理求出bc 故选d 1 如图 在河岸ac上测量河的宽度bc 测量下列四组数据 较适宜的是a a c b b c c c a d b 答案 解析 1 2 3 4 由余弦定理得x2 9 3x 13 整理得x2 3x 4 0 解得x 4 1 2 3 4 2 如图 某人向正东方向走了x千米 然后向右转120 再朝新方向走了3千米 结果他离出发点恰好千米 那么x的值是 答案 解析 4 3 甲 乙两楼相距20m 从乙楼底望甲楼顶的仰角为60 从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30 则甲 乙两楼的高分别是 m m 1 2 3 4 答案 解析 1 2 3 4 4 如图所示 设a b两点在河的两岸 一测量者在a的同侧 在a所在的河岸边选定一点c 测出ac的距离为50m acb 45 cab 105 则a b两点的距离为 m 答案 解析 由题意知 abc 30 由正弦定理 规律与方法 1 运用正弦定理就能测量 一个可到达点与一个不可到达点间的距离 而测量 两个不可到达点间的距离 要综合运用正弦定理和余弦定理 测量 一个可到达点与一个不可到达点间的距离 是测量 两个不可到达点间的距离 的基础 这两类测量距离的题型间既有联系又有区别 2 正弦 余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤 1 分析 理解题意 分清