广东省广州市实验中学高二数学上学期期中试卷 理（含解析）.docVIP

2015-2016学年广东省广州市实验中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12题，每题5分，共60分）1一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（）a球b三棱锥c正方体d圆柱2直线的倾斜角是（）a30b60c120d1503若d是平面外一点，则下列命题正确的是（）a过d只能作一条直线与平面相交b过d可作无数条直线与平面垂直c过d只能作一条直线与平面平行d过d可作无数条直线与平面平行4点（1，1）到直线xy+1=0的距离是（）abcd5已知两个不同的平面、和两条不重合的直线，m、n，有下列四个命题：若mn，m，则n若m，m，则；若m，mn，n，则；若m，=n，则mn，其中不正确的命题的个数是（）a0个b1个c2个d3个6设直线l1：2xmy1=0，l2：（m1）xy+1=0若l1l2，则m的值为（）a2b1c2或1d1或27已知正四棱柱abcda1b1c1d1中，aa1=2ab，e为aa1中点，则异面直线be与cd1所成角的余弦值为（）abcd8若变量x，y满足x+5y+13=0（3x2，且x1），则的取值范围是（）ak或k4b4kck4dk49如图，定点a和b都在平面内，定点p，pb，c是内异于a和b的动点，且pcac那么，动点c在平面内的轨迹是（）a一条线段，但要去掉两个点b一个圆，但要去掉两个点c一个椭圆，但要去掉两个点d半圆，但要去掉两个点10若直线l1：y=k（x4）与直线l2关于点（2，1）对称，则直线l2恒过定点（）a（0，4）b（0，2）c（2，4）d（4，2）11若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60的菱形，则该棱柱的体积等于（）abcd12如图，在体积为2的三棱锥abcd侧棱ab、ac、ad上分别取点e、f、g，使ae：eb=af：fc=ag：gd=2：1，记o为三平面bcg、cde、dbf的交点，则三棱锥obcd的体积等于（）abcd二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是14过点a（2，3）且垂直于直线2x+y5=0的直线方程为15如图四棱柱abcda1b1c1d1中，aa1面abcd，四边形abcd为梯形，adbc，且ad=3bc，过a1，c，d三点的平面记为，bb1与的交点为q，则以下四个结论：qca1db1q=2qb；直线a1b与直线cd相交；四棱柱被平面分成的上下两部分的体积相等其中正确的有16已知abc中，顶点a（2，1），点b在直线l：x+y3=0上，点c在x轴上，则abc周长的最小值三、解答题（共6大题，共计70分）17如图，在四面体abcd中，cb=cd，adbd，点e，f分别是ab，bd的中点求证：（1）直线ef面acd；（2）平面efc面bcd18根据所给条件求直线的方程：（1）直线过点（3，4），且在两坐标轴上的截距相等；（2）直线过点（5，10），且到原点的距离为519如题图，三棱锥pabc中，pc平面abc，pc=3，acb=d，e分别为线段ab，bc上的点，且cd=de=，ce=2eb=2（）证明：de平面pcd（）求二面角apdc的余弦值20如图，直三棱柱abca1b1c1中，acab，ab=2aa1，m是ab的中点，a1mc1是等腰三角形，d为cc1的中点，e为bc上一点（1）若de平面a1mc1，求；（2）求直线bc和平面a1mc1所成角的余弦值21已知函数f（x）=x+的定义域为（0，+），且f（2）=2+设点p是函数图象上的任意一点，过点p分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为m、n（1）求a的值（2）问：|pm|pn|是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由（3）设o为坐标原点，求四边形ompn面积的最小值22如图，在边长为4的菱形abcd中，dab=60点e、f分别在边cd、cb上，点e与点c、d不重合，efac，efac=o沿ef将cef翻折到pef的位置，使平面pef平面abfed（）求证：bd平面poa；（）当pb取得最小值时，请解答以下问题：（i）求四棱锥pbdef的体积；（ii）若点q满足=（0），试探究：直线oq与平面pbd所成角的大小是否一定大于？并说明理由2015-2016学年广东省广州市实验中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12题，每题5分，共60分）1一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（）a球b三棱锥c正方体d圆柱【考点】由三视图还原实物图【专题】作图题【分析】利用简单几何体的结构特征以及三视图的定义，容易判断圆柱的三视图不可能形状相同，大小均等【解答】解：a、球的三视图均为圆，且大小均等；b、三条侧棱两两垂直且相等的适当高度的正三棱锥，其一个侧面放到平面上，其三视图均为三角形且形状都相同；c、正方体的三视图可以是三个大小均等的正方形；d、圆柱的三视图中必有一个为圆，其他两个为矩形故一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是圆柱故选d【点评】本题主要考查了简单几何体的结构特征，简单几何体的三视图的形状大小，空间想象能力，属基础题2直线的倾斜角是（）a30b60c120d150【考点】直线的倾斜角【专题】计算题【分析】由题意可知，直线x+y+1=0的斜率为k=，设其倾斜角为，由tan=，可得直线x+y+1=0的倾斜角【解答】解：设其倾斜角为，直线x+y+1=0的斜率为k=，tan=，又0，180），=120故选c【点评】本题考查直线的倾斜角，着重考查直线的倾斜角与斜率间的关系，属于基础题3若d是平面外一点，则下列命题正确的是（）a过d只能作一条直线与平面相交b过d可作无数条直线与平面垂直c过d只能作一条直线与平面平行d过d可作无数条直线与平面平行【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【专题】存在型【分析】将点和线放置在正方体中，视平面为正方体中的平面abcd，结合正方体中的线面关系对选支进行判定，取出反例说明不正确的，正确的证明一下即可【解答】解：观察正方体，a、过d可以能作不止一条直线与平面相交，故a错；b、过d只可作一数条直线与平面垂直，故b错；c、过d能作不止一条直线与平面平行，故c错；d、过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行，且这个平面内的任一条直线都与已知平面平行，故d对故选d【点评】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力，属于基础题4点（1，1）到直线xy+1=0的距离是（）abcd【考点】点到直线的距离公式【专题】计算题【分析】应用到直线的距离公式直接求解即可【解答】解：点（1，1）到直线xy+1=0的距离是： =故选d【点评】本题考查点到直线的距离公式，是基础题5已知两个不同的平面、和两条不重合的直线，m、n，有下列四个命题：若mn，m，则n若m，m，则；若m，mn，n，则；若m，=n，则mn，其中不正确的命题的个数是（）a0个b1个c2个d3个【考点】平面与平面平行的判定【专题】综合题【分析】从直线与平面平行和垂直的判定定理，以及性质定理，对四个选项逐一判断；判断时通过反例即可【解答】解：真命题有直线与平面垂直的判定定理之一；两个平面平行的判定之一；直线与平面垂直推出平面与平面垂直判定是假命题，m、n可以是异面直线故选b【点评】本题考查直线与平面平行与垂直，平面与平面垂直的判定，直线与直线平行的判定，是基础题6设直线l1：2xmy1=0，l2：（m1）xy+1=0若l1l2，则m的值为（）a2b1c2或1d1或2【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【专题】方程思想；综合法；直线与圆【分析】由直线的平行关系可得2（1）（m）（m1）=0，解方程排除重合可得【解答】解：直线l1：2xmy1=0，l2：（m1）xy+1=0，且l1l2，2（1）（m）（m1）=0，解得m=1或m=2，经验证当m=1时两直线重合，应舍去故选：a【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题7已知正四棱柱abcda1b1c1d1中，aa1=2ab，e为aa1中点，则异面直线be与cd1所成角的余弦值为（）abcd【考点】异面直线及其所成的角【分析】求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解本题采用几何法较为简单：连接a1b，则有a1bcd1，则a1be就是异面直线be与cd1所成角，由余弦定理可知cosa1be的大小【解答】解：如图连接a1b，则有a1bcd1，a1be就是异面直线be与cd1所成角，设ab=1，则a1e=ae=1，be=，a1b=由余弦定理可知：cosa1be=故选c【点评】本题主要考查了异面直线所成的角，考查空间想象能力和思维能力8若变量x，y满足x+5y+13=0（3x2，且x1），则的取值范围是（）ak或k4b4kck4dk4【考点】函数的值域【专题】数形结合；转化思想；函数的性质及应用【分析】如图所示，p（1，1），a（2，3），c（3，2），利用斜率计算公式及其斜率的意义即可得出【解答】解：如图所示，p（1，1），a（2，3），c（3，2），kpa=4，kpc=则的取值范围是k或k4故选：a【点评】本题考查了斜率计算公式及其斜率的意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9如图，定点a和b都在平面内，定点p，pb，c是内异于a和b的动点，且pcac那么，动点c在平面内的轨迹是（）a一条线段，但要去掉两个点b一个圆，但要去掉两个点c一个椭圆，但要去掉两个点d半圆，但要去掉两个点【考点】轨迹方程【专题】计算题【分析】先由pb，得到pbac，再由pcac，得到ac面pbc，进而得到bcac，从而得到结论【解答】解：pbpbac又pcacac面pbcbcac动点c在平面内的轨迹是以ab为直径的一个圆，但要去掉a、b两个点故选b【点评】本题主要考查线线垂直与线面垂直间的转化为圆的周角的定义10若直线l1：y=k（x4）与直线l2关于点（2，1）对称，则直线l2恒过定点（）a（0，4）b（0，2）c（2，4）d（4，2）【考点】恒过定点的直线；与直线关于点、直线对称的直线方程【专题】常规题型【分析】先找出直线l1恒过定点（4，0），其关于点（2，1）对称点（0，2）在直线l2上，可得直线l2恒过定点【解答】解：由于直线l1：y=k（x4）恒过定点（4，0），其关于点（2，1）对称的点为（0，2），又由于直线l1：y=k（x4）与直线l2关于点（2，1）对称，直线l2恒过定点（0，2）故选b【点评】本题考查直线过定点问题，由于直线l1和直线l2关于点（2，1）对称，故有直线l1上的定点关于点（2，1）对称点一定在直线l2上11若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60的菱形，则该棱柱的体积等于（）abcd【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】计算题；压轴题【分析】先求侧棱与底面所成角的余弦，然后求出棱柱的高，再求棱柱的体积【解答】解：如图在三棱柱abca1b1c1中，设aa1b1=aa1c1=60，由条件有c1a1b1=60，作ao面a1b1c1于点o，则故选b【点评】此题重点考查立体几何中的最小角定理和柱体体积公式，同时考查空间想象能力；具有较强的空间想象能力，准确地画出图形是解决此题的前提，熟悉最小角定理并能准确应用是解决此题的关键12如图，在体积为2的三棱锥abcd侧棱ab、ac、ad上分别取点e、f、g，使ae：eb=af：fc=ag：gd=2：1，记o为三平面bcg、cde、dbf的交点，则三棱锥obcd的体积等于（）abcd【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】画出图形，三棱锥obcd的体积，转化为线段的长度比，充分利用直线的平行进行推到，求出比例即可【解答】解：aa为正三棱锥abcd的高；oo为正三棱锥obcd的高因为底面bcd相同，则它们的体积比为高之比已知三棱锥abcd的体积为2所以，三棱锥obcd的体积为：（1）由前面知，fgcd且=所以由平行得到， =所以， = 面bcg所在的平面图如左上角简图同理， =则=所以，pnbc那么， =亦即， =设gq=x那么，gt=x则，qt=gqgt=xx=x而=，所以： =则，to=qt=x=所以：go=gt+to=x+=所以，oq=gqgo=x=又=所以， =（2）且， =所以： =（3）由（2）*（3）得到： =代入到（1）得到：三棱锥obcd的体积就是=故选：d【点评】本题考查学生对三棱锥的认识，以及必要的辅助线的作法，是难题二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是【考点】由三视图求面积、体积【专题】转化思想；分析法；空间位置关系与距离【分析】利用三视图判断几何体的形状：上面为圆锥下面为圆柱且被轴截面分割出的一半的组合体，然后通过三视图的数据求解几何体的体积【解答】解：几何体为上面为圆锥下面为圆柱且被轴截面分割出的一半的组合体，底面是半径为2的半圆，圆锥的高为2，圆柱的高为1所以体积v=（222+221）=故答案为：【点评】本题考查几何体与三视图的对应关系，几何体体积的求法，考查空间想象能力与计算能力14过点a（2，3）且垂直于直线2x+y5=0的直线方程为x2y+4=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【专题】直线与圆【分析】由垂直关系可得直线的斜率，进而可得点斜式方程，化为一般式即可【解答】解：直线2x+y5=0的斜率为2，由垂直关系可得所求直线的斜率为，所求直线的方程为y3=（x2），化为一般式可得x2y+4=0故答案为：x2y+4=0【点评】本题考查直线的一般式方程与垂直关系，属基础题15如图四棱柱abcda1b1c1d1中，aa1面abcd，四边形abcd为梯形，adbc，且ad=3bc，过a1，c，d三点的平面记为，bb1与的交点为q，则以下四个结论：qca1db1q=2qb；直线a1b与直线cd相交；四棱柱被平面分成的上下两部分的体积相等其中正确的有【考点】命题的真假判断与应用【专题】转化思想；空间位置关系与距离；简易逻辑【分析】由于平面bcb1c1平面add1a1，即可判断出正误；如图所示，设a1qdc=e点，则e点也在ab的延长线上，利用a1b1ab，bcad，可得=，即可判断出正误；直线a1b与直线cd是异面直线，即可判断出正误；如图所示，设s1=bcbb1可得：sbcq=s1， =s1分别计算出=，（h为平面bcc1b1与平面add1a1之间的距离），=，即可判断出正误【解答】解：平面bcb1c1平面add1a1，平面bcb1c1=cq，平面add1a1=a1d，qca1d，正确；如图所示，设a1qdc=e点，则e点也在ab的延长线上，a1b1ab，bcad， =，b1q=2qb，正确；直线a1b与直线cd是异面直线，不可能相交，因此不正确；如图所示，设s1=bcbb1sbcq=s1， =3qb=9=s1=h=，（h为平面bcc1b1与平面add1a1之间的距离）=h=，因此四棱柱被平面分成的上下两部分的体积不相等，不正确综上可得：只有正确故答案为：【点评】本题考查了空间位置关系及其判定、体积计算公式、平行线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16已知abc中，顶点a（2，1），点b在直线l：x+y3=0上，点c在x轴上，则abc周长的最小值2【考点】三角形中的几何计算【专题】方程思想；数形结合法；直线与圆【分析】作出a与直线l的对称点e，a关于x轴的对称点d，ba=be，ca=cd，于是abc周长的最小值为线段de的长【解答】解：设a关于直线l：x+y3=0的对称点为e（a，b），则，解得a=2，b=5，即e（2，5）设a关于x轴的对称点为d，则d（2，1）de=2故答案为2【点评】本题主要考查求已知点关于某直线的对称点的坐标的方法，体现了数形结合的数学思想三、解答题（共6大题，共计70分）17如图，在四面体abcd中，cb=cd，adbd，点e，f分别是ab，bd的中点求证：（1）直线ef面acd；（2）平面efc面bcd【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定【专题】证明题【分析】（1）根据线面平行关系的判定定理，在面acd内找一条直线和直线ef平行即可，根据中位线可知efad，ef面acd，ad面acd，满足定理条件；（2）需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直，由线面垂直推出面面垂直，根据线面垂直的判定定理可知bd面efc，而bd面bcd，满足定理所需条件【解答】证明：（1）e，f分别是ab，bd的中点ef是abd的中位线，efad，ef面acd，ad面acd，直线ef面acd；（2）adbd，efad，efbd，cb=cd，f是bd的中点，cfbd又efcf=f，bd面efc，bd面bcd，面efc面bcd【点评】本题主要考查线面平行的判定定理，以及面面 垂直的判定定理考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力18根据所给条件求直线的方程：（1）直线过点（3，4），且在两坐标轴上的截距相等；（2）直线过点（5，10），且到原点的距离为5【考点】直线的点斜式方程；直线的一般式方程【专题】计算题；分类讨论；综合法；直线与圆【分析】（1）由截距不为0和截距为0两种情况分别讨论，能求出直线方程（2）当直线的斜率不存在时直线方程为x5=0，成立；当直线斜率存在时，设其方程为kxy+（105k）=0，由点到直线的距离公式，求出k=，由此能求出直线方程【解答】（本题12分）解：（1）若截距不为0，设直线的方程为+=1，直线过点（3，4），+=1，解得a=1此时直线方程为x+y1=0若截距为0，设直线方程为y=kx，代入点（3，4），有4=3k，解得k=，此时直线方程为4x+3y=0综上，所求直线方程为x+y1=0或4x+3y=0（2）由题意知，当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线方程为x5=0当直线斜率存在时，设其方程为y10=k（x5），即kxy+（105k）=0由点到直线的距离公式，得=5，解得k=此时直线方程为3x4y+25=0综上知，所求直线方程为x5=0或3x4y+25=0【点评】本题考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意点到直线距离公式的合理运用，易错点是容易忽略直线的斜率不存在时的解19如题图，三棱锥pabc中，pc平面abc，pc=3，acb=d，e分别为线段ab，bc上的点，且cd=de=，ce=2eb=2（）证明：de平面pcd（）求二面角apdc的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【专题】空间角【分析】（）由已知条件易得pcde，cdde，由线面垂直的判定定理可得；（）以c为原点，分别以，的方向为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，易得，的坐标，可求平面pad的法向量，平面pcd的法向量可取，由向量的夹角公式可得【解答】（）证明：pc平面abc，de平面abc，pcde，ce=2，cd=de=，cde为等腰直角三角形，cdde，pccd=c，de垂直于平面pcd内的两条相交直线，de平面pcd（）由（）知cde为等腰直角三角形，dce=，过点d作df垂直ce于f，易知df=fc=fe=1，又由已知eb=1，故fb=2，由acb=得dfac，故ac=df=，以c为原点，分别以，的方向为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，则c（0，0，0），p（0，0，3），a（，0，0），e（0，2，0），d（1，1，0），=（1，1，0），=（1，1，3），=（，1，0），设平面pad的法向量=（x，y，z），由，故可取=（2，1，1），由（）知de平面pcd，故平面pcd的法向量可取=（1，1，0），两法向量夹角的余弦值cos，=二面角apdc的余弦值为【点评】本题考查二面角，涉及直线与平面垂直的判定，建系化归为平面法向量的夹角是解决问题的关键，属难题20如图，直三棱柱abca1b1c1中，acab，ab=2aa1，m是ab的中点，a1mc1是等腰三角形，d为cc1的中点，e为bc上一点（1）若de平面a1mc1，求；（2）求直线bc和平面a1mc1所成角的余弦值【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的性质【专题】空间角【分析】（1）取bc中点n，连结mn，c1n，由已知得a1，m，n，c1四点共面，由已知条件推导出dec1n，从而求出（2）连结b1m，由已知条件得四边形abb1a1为矩形，b1c1与平面a1mc1所成的角为b1c1m，由此能求出直线bc和平面a1mc1所成的角的余弦值【解答】解：（1）取bc中点n，连结mn，c1n，m，n分别为ab，cb中点mnaca1c1，a1，m，n，c1四点共面，且平面bcc1b1平面a1mnc1=c1n，又de平面bcc1b1，且de平面a1mc1，dec1n，d为cc1的中点，e是cn的中点，（2）连结b1m，因为三棱柱abca1b1c1为直三棱柱，aa1平面abc，aa1ab，即四边形abb1a1为矩形，且ab=2aa1，m是ab的中点，b1ma1m，又a1c1平面abb1a1，a1c1b1m，从而b1m平面a1mc1，mc1是b1c1在平面a1mc1内的射影，b1c1与平面a1mc1所成的角为b1c1m，又b1c1bc，直线bc和平面a1mc1所成的角即b1c1与平面a1mc1所成的角设ab=2aa1=2，且三角形a1mc1是等腰三角形，则mc1=2，cos=，直线bc和平面a1mc1所成的角的余弦值为【点评】本题考查两条线段的比值的求法，考查角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养21已知函数f（x）=x+的定义域为（0，+），且f（2）=2+设点p是函数图象上的任意一点，过点p分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为m、n（1）求a的值（2）问：|pm|pn|是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由（3）设o为坐标原点，求四边形ompn面积的最小值【考点】函数与方程的综合运用【专题】综合题；压轴题；数形结合；转化思想【分析】（1）由f（2）=2+=2+求解a（2）先设点p的坐标为（x0，y0），则有y0=x0+，x00，再由点到直线的距离公式求得|pm|，|pn|计算即可（3）由（2）可将s四边形ompn转化为sopm+sopn之和，分别用直角三角形面积公式求解，再构造s四边形ompn面积模型求最值【解答】解：（1）f（2）=2+=2+，a=（2）设点p的坐标为（x0，y0），则有y0=x0+，x00，由点到直线的距离公式可知，|pm|=，|pn|=x0，有|pm|pn|=1，即|pm|pn|为定值，这个值为1（3）由题意可设m（t，t），可知n（0，y0）pm与直线y=x垂直，kpm1=1，即=1解得t=（x0+y0）又y0=x0+，t=x0+s