39-课题：无穷等比数列各项的和.doc

课题：无穷等比数列各项的和上海南汇中学 严永芳教学目标： 1、理解无穷等比数列各项和的含义，掌握无穷等比数列各项和的公式，会求无穷等比数列各项的和； 2、会用无穷等比数列各项和解决相关问题；3、体会用极限的思想来解决无穷等比数列的求和问题，感悟用有限来刻画无限，深刻体会有限和无限的区别和联系；4、通过等比数列各项和的探究过程培养学生的合作能力和探究能力。教师说明：本节课通过解决循环小数的加乘运算引入课题，通过对化为分数展开课题。在探究无穷等比数列各项和的方法中，采用类比的思想，若用类似于推导等比数列的前项和公式的错项相减法，得到无穷等比数列的各项和的公式将引发出一个悖论。通过对悖论的思考，探究出用极限的办法来推导无穷等比数列的各项和公式。让学生体验等比数列有限求和与等比数列无限项求和的区别与联系，体验用有限来刻画无限。结合教学目标，作为无穷等比数列的一个的应用循环小数贯穿始终，通过解决将化为分数的问题达到教学目标1、2、3，并在学生问题引入-探索-质疑-再探索-解决-应用的过程中培养学生的合作能力和探究能力，特别是在解决化为分数中等比数列无限项的求和和等比数列的前n项和的联系过程中将教学难点、重点实现层层细化，真正达到学生体验、发现知识的全过程。教学重点、难点：无穷等比数列各项和公式的推导。教学过程：一、 引入新课1、由=？=？的计算与分数计算的类比得到如何将循环小数化为分数。2、由循环小数化为分数引入课题。以为例，由循环小数的定义这是无穷等比所有项的求和引出这节课学习的内容：无穷等比数列各项的和。教师说明：由自然数的运算引出有理数的运算，在分数运算的计算过程中学生对此都表示绝对没问题，紧跟其后的=？=？运算顿时使学生傻了眼，使学生产生已有知识水平和问题解决之间的冲突，由需求进而激发将循环小数化为分数的思考，由此引出课题。这样设置引入符合学生的认知规律，很能调动学生的求知欲望。二、概念形成（一）体会有限和无限的区别1、让学生讲出在小学阶段将化为分数的方法。令2、这是类似与等比数列前项求和中的错项相减法。问：此方法对一般的无穷等比数列求和适用吗？ 3、由这个数列引发悖论。让学生体会有限和无限的区别。引发学生寻找解决无穷等比数列各项和的新的办法。教师说明：引导学生回顾小学阶段将循环小数化为分数的方法，基础比较好的学生能够用已有的公式（类似与等比数列前项求和中的错项相减法）将化为分数，教师随即用一个悖论引发学生认知上的冲突。这不仅使学生体会有限和无限的本质区别，也让学生认识到已有的公式有其局限性，产生想找到一种更好的办法和方式解决上面问题的迫切想法。悖论的选取使学生自然而然地有一种更进一步的探求的欲望。过程实现解决-质疑-探求的学习链中。（二）体会有限和无限的联系1、化为分数中观察等比数列无限项的求和和等比数列的前n项和的联系，引导发现。教师说明：提示学生在解决等比数列所有项求和时，最容易想到什么？学生基本上回答：等比数列前n项和。进一步提问：这两者有什么联系呢？对于用等比数列有限项的和来刻画无限项的和，这是这节课的一大难点，教师在学生的探究碰到障碍时给予一点台阶：在学生有了一点方向但略有茫然时，教师通过将等比数列的前n项和由的计算使学生在合作学习中发现这和学习的数列极限有一定的联系，从而得到探究结果，从中培养了学生的合作学习能力和探究能力。2、由上面的方法可得用的极限刻画无穷等比数列各项的和得到并得到定义：定义：我们把的无穷等比数列前n项的和当时的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用S表示，即S=() 。 无穷等比数列前n项和与它的各项和S的区别与联系。 求和前提：3、分析前面的悖论产生的原因。教师说明：在学生自己探究过程中得到定义和公式，让学生体验了发现的全过程，在教师分析和指出两个注意点的基础上，回过头分析悖论产生的原因就能使学生完全接受了，也让学生更进一步体会有限和无限的区别和联系，实现学生问题的最终解决。三、举例应用 例1：（1） ；（2） ； （3） ； 练习：计算（1）= ；（2）= ； （3） ；（4） 。 教师说明：由于本节课的教学重点、难点在无穷等比数列各项和公式的推导上，所以这节课在公式推导上化了很大时间。本节课例习题的设置主要围绕无限循环小数展开，不拘泥于课本，对课本的例题做了很大的改动，对于等比数列各项和公式的灵活应用、实际应用和其他应用将放在第二节课上。练习的选取回归到引例，不仅使学生应用了公式，也让解决了学生的困惑和问题。 四、师生共同小结1、无穷等比数列各项的和公式：S=()；2、 利用无穷等比数列各项和的公式进行相关计算；3 体会用有限刻画无限，由已知认识未知的数学思想。 教师说明：由师生共同完成所学内容的小结，理清本节课的重点，以便使学生掌握系统的结构，锻炼学生的表达、归纳、概括能力，提高这节课的数学方法的认识。五、作业书P49/1、2无穷等比数列各项的和教学设计说明一、 教材分析（一） 教材内容和作用无穷等比数列各项的和是等比数列前n项和公式、极限的定义和极限的四则运算后续的一个内容。它是以上知识的综合应用，是学生体验从有限刻画无限的好素材。本节课通过等比数列前n项和公式当时的极限，得到无穷等比数列各项和公式：并对公式作一些简单的应用。（二） 教学目标 本课作为新课的第一课时，通过这节课的教学应该达到如下目标： 1、理解无穷等比数列各项和的含义，掌握无穷等比数列各项和的公式，会求无穷等比数列各项的和； 2、会用无穷等比数列各项和解决相关问题；3、体会用极限的思想来解决无穷等比数列的求和问题，感悟用有限来刻画无限，深刻体会有限和无限的区别和联系；4、通过等比数列各项和的探究过程培养学生的合作能力和探究能力。教学重点、难点：无穷等比数列各项和公式的推导。二、 教法整堂课在教学中围绕问题引入-探索-质疑-再探索-解决-应用的思路展开，充分体现学生是学习的主体，关注学生主体意识的形成，通过提问、思考、探究、讨论、交流、类比等多种形式让学生直接参与课堂活动，充分体现师生互动，让教与学融为一体。三、 学法努力改变学生单一的接受式学习方式，让学生通过观察、思考、探索、体验、感悟、解决等多种方式自主参与知识的形成过程。培养善于思考，自我发现、自主探究的学习能力。四、 教学过程 1、提出问题、引入课题 在引入环节我通过循环小数运算的引入，使学生产生已有知识水平和问题解决之间的冲突，由需求进而激发将循环小数化为分数的思考，由此引出课题。 2、概念的生成 将表示成一个无穷等比数列的各项和后，由类似等比数列求和的常用方法错位相减法引发一个悖论的出现，使学生深刻的领会到有限和无限的本质区别；接下来通过等比数列的前项和，让的从小到大的变化，通过学生的合作探究从而得到：将等比数列前n项和时的极限来刻画无穷多项的和。从而得无穷等比数列各项和的定义，并得到无穷等比数列的各项和的公式及公式成立的条件，也让学生体会到有限与无限的区别和联系。引导学生通过无穷等比数列前n项和时的极限解决无限项求和问题，体验用有限刻画无限的数学方法；并由的推导和使用引发不同取值的讨论，使学生复习和巩固了分类讨论的思想。得出无穷等比数列各项和的定义，引导学生思考为什么？让学生讨论时无穷等比数列所有项和的结果，从而使学生深刻地认识到无穷等比数列求各项和的前提条件是指无穷递缩等比数列。教师强调：无穷等比数列前n项和与它的各项和S的区别与联系。 求和前提： 3、举例应用，完善结构例1：（1） ；（2） ； （3） ； 练习：计算（1）= ；（2）= ； （3） ；（4） 。由于本节课的教学重点、难点在无穷等比数列各项和公式的推导上，所以这节课在公式推导上化了很大时间。本节课例习题的设置主要围绕无限循环小数展开，不拘泥于课本，对课本的例题做了很大的改动，对于等比数列各项和公式的灵活应用、实际应用和其他应用将放在第二节课上。练习的选取回归到引例，不仅使学生应用了公式，也让解决了学生的困惑和问题。4、小结归纳，提高能力由师生共同完成所学内容的小结，理清本节课的重点，以便使学生掌握系统的结构，锻炼学生的表达、归纳、概括能力，提高这节课的数学方法的认识。5、作业布置 总结：在整个教学过程中，努力实践学生是教学的主体这一理念，创设机会让学生主动参与，最大限度地调动学生对数学学习的积极性。演讲稿尊敬的老师们，同学们下午好： 我是来自10级经济学（2）班的学习委，我叫张盼盼，很荣幸有这次机会和大家一起交流担任学习委员这一职务的经验。 转眼间大学生活已经过了一年多，在这一年多的时间里，我一直担任着学习委员这一职务。回望这一年多，自己走过的路，留下的或深或浅的足迹，不仅充满了欢愉，也充满了淡淡的苦涩。一年多的工作，让我学到了很多很多，下面将自己的工作经验和大家一起分享。 学习委员是班上的一个重要职位，在我当初当上它的时候，我就在想一定不要辜负老师及同学们我的信任和支持，一定要把工作做好。要认真负责，态度踏实，要有一定的组织，领导，执行能力，并且做事情要公平，公正，公开，积极落实学校学院的具体工作。作为一名合格的学习委员，要收集学生对老师的意见和老师的教学动态。在很多情况下，老师无法和那么多学生直接打交道，很多老师也无暇顾及那么多的学生，特别是大家刚进入大学，很多人一时还不适应老师的教学模式。学习委员是老师与学生之间沟通的一个桥梁，学习委员要及时地向老师提出同学们的建议和疑问，熟悉老师对学生的基本要求。再次，学习委员在学习上要做好模范带头作用，要有优异的成绩，当同学们向我提出问题时，基本上给同学一个正确的回复。 总之，在一学年的工作之中，我懂得如何落实各项工作，如何和班委有效地分工合作，如何和同学沟通交流并且提高大家的学习积极性。当然，我的工作还存在着很多不足之处。比