河北省唐山市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷（含答案）

河北省唐山市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．已知圆，则下列各点在圆上的是（

）A． B． C． D．2．在等比数列中，，则的公比为（

）A．4 B．2 C． D．3．在双曲线的两支上各取一点，则的最小值为（

）A．6 B．9 C．14 D．184．已知圆与，则两圆公切线的条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．45．设椭圆的左，右焦点分别为，过作垂直于轴的直线交于两点，若，则的离心率为（

）A． B． C． D．6．若三棱锥的所有棱长都相等，则与所成的角为（

）A． B． C． D．7．唐山市科技馆以“探索、创新、梦想、共享”为主题向社会大众免费开放，其中有一个“声聚焦装置”，通过两个大的抛物镜，演示声音的反射和聚焦过程.如图（1）所示：这两个抛物镜与轴截面的交线为抛物线，两个抛物镜相距.小红站在其中一个金属圆环处说话，小明在另一个金属圆环处就会听到相应的声音.如图（2），已知抛物镜的口径（直径）为，深度为，则金属圆环（抛物线焦点）到抛物镜底部（抛物线顶点）的距离大致为（

）A． B．0 C． D．8．数列满足，对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知直线的方程为，则下列选项正确的有（

）A．的斜率为B．的一个方向向量为C．在轴上的截距为5D．在轴上的截距为510．记等差数列和等比数列的前项和分别是和，已知，，则下列选项正确的有（

）A． B．C． D．11．已知椭圆的左，右焦点分别为为上一点，则（

）A．B．存在点使得C．内切圆半径的最大值为D．的取值范围为三、填空题12．直线与圆交于两点，则.13．若等比数列的前2项和为96，前4项和为120，则其前6项和为.14．已知为抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于两点，若，则.四、解答题15．已知圆经过点，圆心在直线上.(1)求的标准方程；(2)过点作的切线，求的方程.16．如图，已知棱长为1的正方体.(1)证明：平面；(2)证明：平面平面；(3)求平面与平面的距离.17．已知数列的前项和为.(1)求的通项公式；(2)令，求数列的前项和.18．如图，在平行六面体中，所有棱长均为2，且.(1)证明：；(2)求二面角的余弦值；(3)求直线与平面所成角的正弦值.19．已知双曲线的焦距为4，焦点到渐近线的距离为1.(1)求的标准方程；(2)过的右焦点作两条互相垂直的直线与的右支交于点，弦的中点为与的右支交于点，弦的中点为.（i）设，求的取值范围；（ii）判断：直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.

参考答案1．C【详解】将选项中的各点代入方程，显然ABD均不满足该方程，只有C选项满足该方程.故选：C2．B【详解】因为数列为等比数列，所以，因为，所以，因为，所以，即，所以的公比为.故选：B3．A【详解】由得，即，所以.故选：A.4．C【详解】由题可得，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径，且，所以两圆外切，所以两圆的公切线为3条.故选：C.5．C【详解】若，则，所以，可得，所以椭圆的离心率为.故选：C.6．D【详解】如图所示，取中点，连接，，因为三棱锥各条棱长均相等，所以，，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，即与所成的角是.故选：D.7．A【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系：则设抛物线方程为：，因为在抛物线上，所以，解得，则，即金属圆环（抛物线焦点）到抛物镜底部（抛物线顶点）的距离大致为，故选：A8．B【详解】因为，所以，所以，所以是以为首项，公比为的等比数列，所以，所以，由恒成立，得恒成立，令，由于，显然关于单调递增，所以当时，，所以.故选：B.9．ABC【详解】对于A，直线的方程为，即，所以直线的斜率为，A正确；对于B，根据直线的斜率，可以确定为直线的一个方向向量，B正确；对于C，根据直线的斜截式方程，可知在轴上的截距为5，C正确；对于D，令，解得，所以在轴上的截距为，D错误.故选：ABC10．BC【详解】设等差数列的公差为d，等比数列的首项为q，由，得，，，由，得方程组，解得，所以，，所以，故A错误；B正确；，故C正确；由得或，当时，；当时，；故D错误.故选：BC11．ACD【详解】，，，对于A，设，则，，且，所以，故A正确；对于B，假设存在点使得，由题意可得，整理可得，因为，方程无解，故不存在点使得，故B错误；对于C，设内切圆半径为，由，即，若能构成三角形，则，显然当取得最大值时，取得最大值为，故C正确；对于D，设，则，，且，，所以，因为，所以，故D正确.故选：ACD.12．【详解】易知圆的圆心为，半径；显然圆心在直线上，因此即为直径，所以.故答案为：413．【详解】由于，故.从而，即，故.所以.故答案为：.14．【详解】设直线，点，由消去得，所以，所以，解得，方程，解得，于是，由余弦定理得.故答案为：15．(1)(2)或.【详解】（1）设点为线段的中点，直线为线段的垂直平分线，则点坐标为.因为，所以，则直线的方程为，即.由得，所以圆心的坐标为；圆的半径，所以圆的标准方程为；（2）当切线的斜率不存在时，圆心到直线的距离为，等于半径，与圆相切.当的斜率存在时，设的方程为，即.则，解得，所以的方程为.综上，的方程为或.16．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【详解】（1）如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系，则，所以.设平面的一个法向量为，则即取.所以，即.又因为平面，所以平面.（2）由（1）得平面的一个法向量为.设平面的一个法向量为，则即取.故，而点平面,所以平面平面.（3）由（2）得平面平面，所以平面与平面的距离即为到平面的距离.又，平面的一个法向量为.所以到平面的距离为，即平面与平面的距离为.17．(1)(2)【详解】（1）当时，，当时，，当时，也符合，所以.（2）由（1）可得，18．(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）证明：如图连接，与相交于点，则，且点为的中点.由题设得，连接，则，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，即.（2）由（1）知为二面角的平面角因为，且，得，则，则.（3）由，，得，则，由（1）知平面.则平面.如图，设与相交于点，连接，则即为所求线面角.易知为正的外心，亦为其重心，则，又，则.【另解】（3）如图所示，以为原点，建立空间直角坐标系，则，由（2）知，且，则）.设为平面的法向量，则得取.，则.设直线与平面所成角为，则.19．(1)(2)（i）；