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学大教育广州技术有限公司佛山分公司高中数学必修5第一章 解三角形基础知识和经典例题详解1、正弦定理：在中，、分别为角、的对边，为的外接圆的半径，则有2、正弦定理的变形公式：，；，；3、三角形面积公式：4、余弦定理：在中，有，5、余弦定理的推论：，6、简单的判断三角形设、是的角、的对边，则：若，则；若，则；若，则7解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等主要类型：（1）两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2）两类余弦定理解三角形的问题：第1、已知三边求三角.第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.8三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。（1）角的变换因为在abc中，a+b+c=，所以sin(a+b)=sinc；cos(a+b)=cosc；tan(a+b)=tanc。；（2）判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.9.讨论三角形解的情况分析：先由可进一步求出b；则从而1当a为钝角或直角时，必须才能有且只有一解；否则无解。2当a为锐角时，如果，那么只有一解；如果，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若，则有两解；（2）若，则只有一解；（3）若，则无解。（以上解答过程详见课本第910页）评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当a为锐角且时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。随堂练习1（1）在abc中，已知，试判断此三角形的解的情况。（2）在abc中，若，则符合题意的b的值有_个。（3）在abc中，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。（答案：（1）有两解；（2）0；（3）二、典例解析题型1：正、余弦定理例1（1）在中，已知，cm，解三角形；解析：（1）根据三角形内角和定理，；根据正弦定理， ；根据正弦定理，（2）在中，已知cm，cm，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。根据正弦定理，因为，所以，或当时， ，当时， ，点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器例2（1）在abc中，已知，求b及a；解析：（1）=cos=求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：cos解法二：sin又，即（2）在abc中，已知，解三角形解析：由余弦定理的推论得：cos；cos；点评：应用正弦定理时解法二应注意确定a的取值范围。* 2010年高考题（2010上海文数）18.若的三个内角满足，则（a）一定是锐角三角形. （b）一定是直角三角形.（c）一定是钝角三角形. (d)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.解析：由及正弦定理得a:b:c=5:11:13 由余弦定理得，所以角c为钝角（2010湖南文数）7.在abc中，角a，b，c所对的边长分别为a，b，c，若c=120，c=a，则a.ab b.abc. ab d.a与b的大小关系不能确定【命题意图】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法,属中档题（2010天津理数）（7）在abc中，内角a,b,c的对边分别是a,b,c，若，则a=（a） （b） （c） （d）【答案】a【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题。由由正弦定理得，所以cosa=，所以a=300【温馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。（2010湖北理数）3.在中，a=15,b=10,a=60，则=a b c d 3【答案】d【解析】根据正弦定理可得解得，又因为，则，故b为锐角，所以，故d正确.（2010山东理数）（2010广东理数）11.已知a,b,c分别是abc的三个内角a,b,c所对的边，若a=1,b=, a+c=2b,则sinc= .解：由a+c=2b及a+ b+ c=180知，b =60由正弦定理知，即由知，则，题型2：三角形面积例3在中，求的值和的面积。解法一：先解三角方程，求出角a的值。 又, , 。 解法二：由计算它的对偶关系式的值。 , +得。 得。从而。以下解法略去。点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的基础试题。两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？例4（2009湖南卷文）在锐角中，则的值等于 ， 的取值范围为 . 解析 设由正弦定理得由锐角得，又，故，例5（2009全国卷理）在中，内角a、b、c的对边长分别为、，已知，且 求b 分析：:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.解法：在中则由正弦定理及余弦定理有:（角化边） 化简并整理得：.又由已知.解得. 题型3：三角形中的三角恒等变换问题例6在abc中，a、b、c分别是a、b、c的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2c2=acbc，求a的大小及的值。分析：因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求a，需找a与三边的关系，故可用余弦定理。由b2=ac可变形为=a，再用正弦定理可求的值。解法一：a、b、c成等比数列，b2=ac。又a2c2=acbc，b2+c2a2=bc。在abc中，由余弦定理得：cosa=，a=60。在abc中，由正弦定理得sinb=，b2=ac，a=60，=sin60=。解法二：在abc中，由面积公式得bcsina=acsinb。b2=ac，a=60，bcsina=b2sinb。=sina=。评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。例7在abc中，已知a、b、c成等差数列，求的值。解析：因为a、b、c成等差数列，又abc180，所以ac120，从而60，故tan.由两角和的正切公式，得。所以。点评：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解，同时结合三角变换公式的逆用。题型4：正、余弦定理判断三角形形状例8在abc中，若2cosbsinasinc，则abc的形状一定是（ ）a.等腰直角三角形b.直角三角形c.等腰三角形d.等边三角形答案：c解析：2sinacosbsinc =sin（ab）=sinacosb+cosasinbsin（ab）0，ab另解：角化边点评：本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅解题途径例9（2009四川卷文）在中，为锐角，角所对的边分别为，且（i）求的值；（ii）若，求的值。 解（i）为锐角， , （ii）由（i）知， 由得，即又 题型5：正余弦定理的实际应用例10（2009辽宁卷文，理）如图，a,b,c,d都在同一个与水平面垂直的平面内，b，d为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面a处测得b点和d点的仰角分别为，于水面c处测得b点和d点的仰角均为，ac=0.1km。试探究图中b，d间距离与另外哪两点间距离相等，然后求b，d的距离（计算结果精确到0.01km，1.414，2.449） 解:在abc中，dac=30, adc=60dac=30,所以cd=ac=0.1 又bcd=1806060=60，故cb是cad底边ad的中垂线，所以bd=ba， 在abc中，即ab=因此，bd=故b，d的距离约为0.33km。 点评：解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，但也不可太难，只要掌握基本知识、概念，深刻理解其中基本的数量关系即可过关。* 2010年高考题（2010陕西文数）17.（本小题满分12分）在abc中，已知b=45,d是bc边上的一点，ad=10,ac=14,dc=6，求ab的长.解在adc中，ad=10,ac=14,dc=6,由余弦定理得cos=,adc=120, adb=60在abd中，ad=10, b=45, adb=60，由正弦定理得,ab=.（2010辽宁文数）（17）（本小题满分12分）在中，分别为内角的对边，且（）求的大小；（）若，试判断的形状.解：（）由已知，根据正弦定理得即由余弦定理得故 （）由（）得又，得因为，故所以是等腰的钝角三角形。（2010辽宁理数）（17）（本小题满分12分） 在abc中，a, b, c分别为内角a, b, c的对边，且 （）求a的大小；（）求的最大值.解：（）由已知，根据正弦定理得即 由余弦定理得 故 ，a=120 6分（）由（）得： 故当b=30时，sinb+sinc取得最大值1。 三、思维总结1解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如a、b、c），由a+b+c = 求c，由正弦定理求a、b；（2）已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用a+b+c = ，求