高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列（一）课件 新人教A版必修5.ppt

第二章数列 2 4等比数列 一 1 通过实例 理解等比数列的概念并会简单应用 2 掌握等比中项的概念并会应用 3 掌握等比数列的通项公式 了解其推导过程 学习目标 栏目索引 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 知识梳理自主学习 答案 2 公比 q 思考1下列数列一定是等比数列的是 1 1 3 32 33 3n 1 2 1 1 2 4 8 3 a1 a2 a3 an 解析答案 解析 1 记数列为 an 显然a1 1 a2 3 an 3n 1 所以此数列为等比数列 且公比为3 2 记数列为 an 显然a1 1 a2 1 a3 2 所以此数列不是等比数列 3 当a 0时 数列为0 0 0 是常数列 不是等比数列 当a 0时 数列为a1 a2 a3 a4 an 显然此数列为等比数列 且公比为a 只有 1 一定是等比数列 答案 1 答案不一定 当a1 0时 按上述递推关系 该数列为常数列 且常数为0 故 an 不一定为等比数列 思考2若数列 an 满足an 1 2an n n 那么 an 是等比数列吗 答案 等比中项 知识点三等比数列的通项公式已知等比数列 an 的首项为a1 公比为q q 0 该等比数列的通项公式为 an a1qn 1 思考1已知等比数列 an 中 a1 1 a3 9 则a2 解析答案 解析 a3 a1 q2 9 q2 q 3 a2 a1q 3 3 思考2除了课本上采用的不完全归纳法 还能用什么方法求数列的通项公式 答案 答案还可以用累乘法 an a1qn 1 n 2 又当n 1时 a1 a1q1 1 符合上式 当n 2时 a2 a1 q2 1 符合上式 an a1qn 1 n n 返回 题型探究重点突破 题型一等比数列的通项公式及应用例1在等比数列 an 中 1 已知an 128 a1 4 q 2 求n 解析答案 解 an a1 qn 1 4 2n 1 128 2n 1 32 n 1 5 n 6 2 已知an 625 n 4 q 5 求a1 解析答案 反思与感悟 3 已知a1 2 a3 8 求公比q和通项公式 解a3 a1 q2 即8 2q2 q2 4 q 2 当q 2时 an a1qn 1 2 2n 1 2n 当q 2时 an a1qn 1 2 2 n 1 1 n 12n 数列 an 的公比为2或 2 对应的通项公式分别为an 2n或an 1 n 12n a1和q是等比数列的基本量 只要求出这两个基本量 其他量便可迎刃而解 此类问题求解的通法是根据条件 建立关于a1和q的方程组 求出a1和q 反思与感悟 跟踪训练1在等比数列 an 中 1 已知a3 2 a5 8 求a7 解析答案 2 已知a3 a1 5 a5 a1 15 求通项公式an 解析答案 解a3 a1 a1 q2 1 5 a5 a1 a1 q4 1 15 q2 1 3 q2 4 a1 1 a1 1 q 2 an a1qn 1 2 n 1 题型二等比数列的判定与证明例2已知f x logmx m 0且m 1 设f a1 f a2 f an 是首项为4 公差为2的等差数列 求证 数列 an 是等比数列 解析答案 反思与感悟 证明由题意知f an 4 2 n 1 2n 2 logman an m2n 2 m 0且m 1 m2为非零常数 数列 an 是等比数列 判断一个数列是不是等比数列的常用方法 反思与感悟 3 通项公式法 an a1qn 1 a1 0且q 0 an 为等比数列 解析答案 跟踪训练2已知各项都为正数的数列 an 满足a1 1 a 2an 1 1 an 2an 1 0 1 求a2 a3 2 求 an 的通项公式 题型三构造等比数列求数列的通项公式例3已知数列 an 的前n项和为sn 数列 bn 中 b1 a1 bn an an 1 n 2 且an sn n 1 设cn an 1 求证 cn 是等比数列 解析答案 证明 an sn n an 1 sn 1 n 1 得an 1 an an 1 1 2an 1 an 1 2 an 1 1 an 1 an 1 是等比数列 又cn an 1 2 求数列 bn 的通项公式 解析答案 反思与感悟 反思与感悟 解析答案 跟踪训练3数列 an 满足a1 2 an 1 an 6an 6 n n 设cn log5 an 3 1 求证 cn 是等比数列 log5 an 1 3 log5 an 3 2 2log5 an 3 即cn 1 2cn 又c1 log55 1 0 cn 是等比数列 2 解析答案 2 求数列 an 的通项公式 解由 1 知 数列 cn 是以1为首项 以2为公比的等比数列 cn 2n 1 即log5 an 3 2n 1 an 3 故an 3 解析答案 忽略等比数列中的项的符号致误 易错点 误区警示 返回 错因分析注意b2的符号已经确定 与 1同号 忽略这一隐含条件 就易产生上述错误 解析答案 误区警示 错解 1 a1 a2 4成等差数列 设公差为d 则a2 a1 d 4 1 1 又 1 b1 b2 b3 4成等比数列 正解 1 a1 a2 4成等差数列 设公差为d 1 b1 b2 b3 4成等比数列 若设公比为q 则b2 1 q2 b2 0 b2 2 误区警示 误区警示 等比数列中 奇数项或者偶数项的符号相同 求等比数列的某一项或者某些项时要注意符号的正负问题 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 1 在等比数列 an 中 a2015 8a2012 则公比q的值为 a 2b 3c 4d 8 解析a2015 8a2012 a2012 q3 q3 8 q 2 a 解析答案 1 2 3 4 5 c 解析答案 等比中项为 1 1 2 3 4 5 a 3b 4c 5d 6 b 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 4 若数列 an 是等比数列 则下列数列中一定成等比数列的有 解析 均为等比数列 共5个 b 1 2 3 4 5 解析答案 5 已知an 2n 3n 判断数列 an 是不是等比数列 解不是等比数列 a1 21 31 5 a2 22 32 13 数列 an 不是等比数列 课堂小结 2 判断一个数列是不是等比数列的常用方法 1 定义法 2 等比中项法 3 通项公式法 3 等比中项的理解 1 当a b同号时 a b的等比中项有两个 当a b异号时 没有等比中项 2 在一个等比数列中 从第2项起 每一项 有穷数列的末项除外 都是它的前一项与后一项的等比中项 返回