高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的几何性质（二）课件 苏教版选修11.ppt

2 4 2抛物线的几何性质 二 第2章 2 4抛物线 1 掌握抛物线的几何特性 2 学会解决直线与抛物线相关的综合问题 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一直线与抛物线的位置关系 思考1若直线与抛物线只有一个交点 直线与抛物线一定相切吗 答案 不一定 当平行或重合于抛物线的对称轴的直线与抛物线相交时 也只有一个交点 思考2直线与抛物线的位置关系与公共点个数 答案 梳理直线y kx b与抛物线y2 2px p 0 的交点个数决定于关于x的方程k2x2 2 kb p x b2 0的解的个数 当k 0时 若 0 则直线与抛物线有个不同的公共点 当 0时 直线与抛物线有个公共点 当 0时 直线与抛物线公共点 当k 0时 直线与抛物线的对称轴 此时直线与抛物线有个公共点 两 一 没有 平行或重合 一 知识点二抛物线中的弦长与中点弦问题 2 已知ab是抛物线y2 2px p 0 的一条弦 其中点m的坐标为 x0 y0 运用平方差法可推导ab的斜率如下 由 得 y2 y1 y2 y1 2p x2 x1 y1 y2 2y0 p 纵 题型探究 例1已知直线l y kx 1 抛物线c y2 4x 当k为何值时 l和c只有一个公共点 有两个公共点 没有公共点 类型一直线与抛物线的位置关系 解答 可得k2x2 2k 4 x 1 0 此时直线l平行于x轴 当k 0时 方程 是一个一元二次方程 2k 4 2 4k2 4k2 16k 16 4k2 16k 16 当 0 即k1时 直线l与c没有公共点 所以 当k 0或1时 l和c只有一个公共点 当k1时 l和c没有公共点 跟踪训练1平面内一动点m x y 到定点f 0 1 和到定直线y 1的距离相等 设m的轨迹是曲线c 1 求曲线c的方程 解答 依题意知曲线c是抛物线 设其方程为x2 2py p 0 2 在曲线c上找一点p 使得点p到直线y x 2的距离最短 求出p点的坐标 解答 所以当x0 2 y0 1 即p的坐标为 2 1 时 点p到直线y x 2的距离最短 最短距离为 3 设直线l y x m 当实数m为何值时 直线l与曲线c有交点 解答 由题意 联立y x m和x2 4y 消去y并整理得x2 4x 4m 0 因为直线与曲线c有交点 所以 4 2 16m 0 解得m 1 例2已知a b为抛物线e上不同的两点 若抛物线e的焦点坐标为 1 0 线段ab恰被m 2 1 所平分 1 求抛物线e的方程 类型二与弦长 中点弦有关的问题 解答 由于抛物线的焦点坐标为 1 0 所以抛物线e的方程为y2 4x 2 求直线ab的方程 解答 设a x1 y1 b x2 y2 且x1 x2 4 y1 y2 2 由 得 y1 y2 y2 y1 4 x2 x1 所以直线ab的方程为y 1 2 x 2 即2x y 3 0 反思与感悟 中点弦问题解题策略方法 跟踪训练2已知抛物线y2 6x 过点p 4 1 引一条弦p1p2使它恰好被点p平分 求这条弦所在的直线方程及p1p2 解答 方法一由题意易知直线方程的斜率存在 设所求方程为y 1 k x 4 当k 0时 62 4k 24k 6 0 设弦的两端点为p1 x1 y1 p2 x2 y2 p1p2的中点为 4 1 所求直线方程为y 1 3 x 4 即3x y 11 0 y1 y2 2 y1y2 22 方法二设p1 x1 y1 p2 x2 y2 又y1 y2 2 y1 y2 2 y1y2 22 所求直线的斜率为k 3 所求直线方程为y 1 3 x 4 即3x y 11 0 类型三抛物线中的定点 定值 问题 例3已知点a b是抛物线y2 2px p 0 上的两点 且oa ob 1 求两点的横坐标之积和纵坐标之积 解答 设点a b的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 因为oa ob 所以koa kob 1 所以x1x2 y1y2 0 因为y1 0 y2 0 所以y1y2 4p2 所以x1x2 4p2 2 求证 直线ab过定点 证明 所以 y1 y2 y1 y2 2p x1 x2 即直线ab过定点 2p 0 反思与感悟 在直线和抛物线的综合题中 经常遇到求定值 过定点问题 解决这类问题的方法很多 如斜率法 方程法 向量法 参数法等 解决这类问题的关键是代换和转化 解答 由题意知 抛物线的焦点坐标为 1 0 设l x ty 1 代入抛物线方程y2 4x 消去x 得y2 4ty 4 0 设a x1 y1 b x2 y2 则y1 y2 4t y1y2 4 ty1 1 ty2 1 y1y2 t2y1y2 t y1 y2 1 y1y2 4t2 4t2 1 4 3 解答 设l x ty b 代入抛物线方程y2 4x 消去x 得y2 4ty 4b 0 设a x1 y1 b x2 y2 则y1 y2 4t y1y2 4b ty1 b ty2 b y1y2 t2y1y2 bt y1 y2 b2 y1y2 4bt2 4bt2 b2 4b b2 4b 令b2 4b 4 b2 4b 4 0 b 2 直线l过定点 2 0 当堂训练 1 2 3 4 5 1 抛物线y ax2 1与直线y x相切 则a 答案 解析 直线y x与抛物线y ax2 1相切 方程ax2 x 1 0有两相等实根 判别式 1 2 4a 0 1 2 3 4 5 y1 y2 4 x1 x2 y1 y2 2 6 中点坐标为 3 2 2 直线y x 1被抛物线y2 4x截得线段的中点坐标是 3 2 答案 解析 1 2 3 4 5 3 过抛物线y2 4x的顶点o作互相垂直的两弦om on 则m的横坐标x1与n的横坐标x2之积为 答案 解析 16 同理可得n的横坐标为x2 4k2 所以x1x2 16 1 2 3 4 5 4 若抛物线y2 4x的弦ab垂直于x轴 且ab 4 则抛物线的焦点到直线ab的距离为 答案 解析 1 由抛物线的对称性 a b两点在抛物线上 又y2 4x的焦点坐标为 1 0 焦点到直线ab的距离为1 1 2 3 4 5 5 已知顶点在原点 焦点在x轴上的抛物线截直线y 2x 4所得的弦长ab 3 求此抛物线的方程 解答 1 2 3 4 5 由 a 16 2 256 0 得a 0或a 32 设所求抛物线方程为y2 ax a 0 a x1 y1 b x2 y2 1 2 3 4 5 a 4或a