常州数学小一模.doc

2015届高三模拟考试试卷(九)数学(满分160分，考试时间120分钟)20152一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1. 设集合A1，0，1，B0，1，2，3，则AB_.2. 函数f(x)log2(x26)的定义域为_3. 设复数z(m0，i为虚数单位)，若zz，则m的值为_4. 已知双曲线ax24y21的离心率为，则实数a的值为_(第6题)5. 函数f(x)cos的最小正周期为_6. 右图是一个算法流程图，则输出的a的值是_7. 现有5道试题，其中甲类试题2道，乙类试题3道，现从中随机取2道试题，则至少有1道试题是乙类试题的概率为_8. 若实数x，y满足约束条件则目标函数z2xy的最小值为_9. 曲线yxcosx在点处的切线方程为_10. 已知函数f(x)|2x2|(x(1，2)，则函数yf(x1)的值域为_11. 已知向量a(1，1)，b(1，1)，设向量c满足(2ac)(3bc)0，则|c|的最大值为_12. 设等比数列an的公比为q(0q1)，前n项和为Sn，若a14a3a4，且a6与a4的等差中项为a5，则S6_.13. 若不等式x22y2cx(yx)对任意满足xy0的实数x，y恒成立，则实数c的最大值为_14. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆O1，圆O2均与x轴相切且圆心O1，O2与原点O共线，O1，O2两点的横坐标之积为6，设圆O1与圆O2相交于P，Q两点，直线l：2xy80，则点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为_二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，A3C.(1) 求cosC的值；(2) 求sinB的值；(3) 若b3，求ABC的面积(本小题满分14分)如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，平面PBD平面ABCD，PBPD，PAPC，CDPC，O，M分别是BD，PC的中点，连结OM.求证：(1) OM平面PAD；(2) OM平面PCD.17. (本小题满分14分)某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m宽的通道，如图设矩形温室的室内长为x(m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(m2)(1) 求S关于x的函数关系式；(2) 求S的最大值18. (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率e，直线l：xmy10(mR)过椭圆C的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 已知点D，连结BD，过点A作垂直于y轴的直线l1，设直线l1与直线BD交于点P，试探索当m变化时，是否存在一条定直线l2，使得点P恒在直线l2上？若存在，请求出直线l2的方程；若不存在，请说明理由19. (本小题满分16分)已知数列an(nN*，1n46)满足a1a，an1an其中d0，nN*.(1) 当a1时，求a46关于d的表达式，并求a46的取值范围；(2) 设集合Mb|baiajak，i，j，kN*，1ijk16 若a，d，求证：2M； 是否存在实数a，d，使，1，都属于M？若存在，请求出实数a，d；若不存在，请说明理由20. (本小题满分16分)已知a，b为实数，函数f(x)b，函数g(x)lnx.(1) 当ab0时，令F(x)f(x)g(x)，求函数F(x)的极值；(2) 当a1时，令G(x)f(x)g(x)，是否存在实数b，使得对于函数yG(x)定义域中的任意实数x1，均存在实数x21，)，有G(x1)x20成立？若存在，求出实数b的取值集合；若不存在，请说明理由.2015届高三模拟考试试卷(九)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分若多做，则按作答的前两题计分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤A. (选修41：几何证明选讲)如图，已知AB是圆O的直径，P是上半圆上除直径AB端点A，B外的任意一点，PC是APB的平分线，E是下半圆的中点求证：直线PC经过点E.B. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵M满足：Miii，其中i(i1，2)是互不相等的实常数，ai(i1，2)是非零的平面列向量，11，2，求矩阵M.C. (选修44：坐标系与参数方程)已知两个动点P，Q分别在两条直线l1：yx和l2：yx上运动，且它们的横坐标分别为角的正弦，余弦，0，记，求动点M的轨迹的普通方程D. (选修45：不等式选讲)已知a0，b0，证明：(a2b2ab)(ab2a2b1)9a2b2.【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤22. 一位网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的A，B，C，D，E五种商品有购买意向已知该网民购买A，B两种商品的概率均为，购买C，D两种商品的概率均为，购买E种商品的概率为.假设该网民是否购买这五种商品中的任一种不受其他商品的影响(1) 求该网民至少购买4种商品的概率；(2) 用随机变量表示该网民购买商品的种数，求的概率分布和数学期望23. 设n个正数a1，a2，an满足a1a2an(nN*且n3)(1) 当n3时，证明：a1a2a3；(2) 当n4时，不等式a1a2a3a4也成立，请你将其推广到n(nN*且n3)个正数a1，a2，an的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明2015届高三模拟考试试卷(一)(常州)数学参考答案及评分标准1. 0，12. (，)(，)3. 4. 85. 26. 1277. 8. 19. 2xy010. 0，2)11. 12. 13. 2414. 15. 解：(1) 因为ABC，A3C，所以B2C.(2分)又由正弦定理，得，化简，得cosC.(5分)(2) 因为C(0，)，所以sinC.所以sinBsin2C2sinCcosC2.(8分)(3) 因为B2C，所以cosBcos2C2cos2C121.(10分)因为ABC，所以sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC.(12分)因为，b3，所以c.所以ABC的面积SbcsinA3.(14分)16. 证明：(1) 连结AC，因为ABCD是平行四边形，所以O为AC的中点(2分)在PAC中，因为O，M分别是AC，PC的中点，所以OMPA.(4分)因为OM平面PAD，PA平面PAD，所以OM平面PAD.(6分)(2) 连结PO.因为O是BD的中点，PBPD，所以POBD.因为平面PBD平面ABCD，平面PBD平面ABCDBD，PO平面PBD，所以PO平面ABCD.从而POCD.(8分)因为CDPC，PCPOP，PC平面PAC，PO平面PAC，所以CD平面PAC.因为OM平面PAC，所以CDOM.(10分)因为PAPC，OMPA，所以OMPC.(12分)因为CD平面PCD，PC平面PCD，CDPCC，所以OM平面PCD.(14分)17. 解：(1) 由题设，得S(x8)2x916，x(8，450)(6分)(2) 因为8x0， y1y2，y1y2.(10分) kDBkDP，(13分) 式代入上式，得kDBkDP0， kDBkDP.(15分) 点P(4，y1)恒在直线BD上，从而直线l1、直线BD与直线l2：x4三线过同一点P， 存在一条定直线l2：x4使得点P恒在直线l2上(16分)19. (1) 解：当a1时，a16115d，a311615d，a461615.(2分)因为d0，d2，或d2，所以a46(，1446，)(4分)(2) 证明：由题意an，1n16，b1.(6分)令12，得ijk7.因为i，j，kN*，1ijk16，所以令i1，j2，k4，则2M.(8分) 不存在实数a，d，使，1，同时属于M.(9分)假设存在实数a，d，使，1，同时属于M.因为ana(n1)d，所以b3a(ijk3)d，从而Mb|b3amd，3m42，mZ(11分)因为，1，同时属于M，所以存在三个不同的整数x，y，z(x，y，z3，42)，使得从而则.(13分)因为35与48互质，且yx与zx为整数，所以|yx|35，|zx|48，但|zx|39，矛盾所以不存在实数a，d，使，1，都属于M.(16分)20. 解：(1) F(x)lnx，F(x)，令F(x)0，得x1.(1分)列表：x(0，1)1(1，)F(x)0F(x)极小值所以F(x)的极小值为F(1)1，无极大值(4分)(2) 当a1时，假设存在实数b满足条件，则G(x)lnx1在x(0，1)(1，)上恒成立(5分)1) 当x(0，1)时，G(x)lnx1可化为(bx1b)lnxx10，令H(x)(bx1b)lnxx1，x(0，1)，问题转化为：H(x)0对任意x(0，1)恒成立(*)；则H(1)0，H(x)blnxb1，H(1)0.令Q(x)blnxb1，则Q(x). b时，因为b(x1)1(x1)1210，故Q(x)Q(1)0，即H(x)0，从而函数yH(x)在x(0，1)时单调递增，故H(x)，所以10，故Q(x)0，所以函数yQ(x)在xI时单调递增，Q(x)Q(1)0，即H(x)H(1)0，此时(*)不成立；所以当x(0，1)，G(x)lnx1恒成立时，b；(9分)2) 当x(1，)时，G(x)lnx1可化为(bx1b)lnxx10，令H(x)(bx1b)lnxx1，x(1，)，问题转化为：H(x)0对任意的x(1，)恒成立(*)；则H(1)0，H(x)blnxb1，H(1)0.令Q(x)blnxb1，则Q(x). b时，b(x1)12b1210，故 Q(x)0，所以函数yQ(x)在x(1，)时单调递增，Q(x)Q(1)0，即H(x)0，从而函数yH(x)在x(1，)时单调递增，所以H(x)H(1)0，此时(*)成立；(11分) 当b时，) 若 b0，必有Q(x)0，故函数yQ(x)在x(1，)上单调递减，所以Q(x)Q(1)0，即H(x)0，从而函数yH(x)在x(1，)时单调递减，所以H(x)H(1)0，此时(*)不成立；(13分) 若0b1，所以当x时，Q(x)0，故函数yQ(x)在x上单调递减，Q(x)Q(1)0，即H(x)0，所以函数yH(x)在x时单调递减，所以H(x)0，b0，所以a2b2ab33ab0，(4分)ab2a2b133ab0，(8分)所以(a2b2ab)(ab2a2b1)9a2b2.(10分)22. 解：(1) 记“该网民购买i种商品”为事件Ai，i4，5，则P(A5)，P(A4)CC，(2分)所以该网民至少购买4种商品的概率为P(A5)P(A4).答：该网民至少购买4种商品的概率为.(3分)(2) 随机变量的可能取值为0，1，2，3，4，5，P(0)，P(1)CC，P(2)CCCC，P(3)1P(0，1，2，4，5)1，P(4)P(A4)，P(5)P(A5).(8分)所以，随机变量的概率分布为012345P故E012345.(10分)23. (1) 证明：因为an(nN*且n3)均为正实数，左右0，所