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两人合作收益的整体最优分配摘要:传统合作博弈中对合作剩余的分配,没有纳入到生产和消费的系统循环中来考虑,只是在对公平与合理的个人主观理解上给出了对合作剩余的分配办法。在引入消费在一定期限内具有餍足性的假设条件下,把生产和消费纳入一个统一的分析框架之内,在最简单的两人合作中,用线性规划对具体数值给出一个唯一解,用代数方法得出两人合作中的一般整体最优分配解。实证结果证明,两人合作效率优于单人。 关键词:合作;餍足性假设;整体最优分配 中图分类号:F046.3文献标识码:A 文章编号:1003-3890(2010)08-0025-05 在生活中,劳动合作现象十分常见,合作之后的收益如何分配,通常所见的是在参与者之间平均分配。但是,也经常见到现实中参与者之间某一方因为平均分配而下次拒绝继续合作。本文因篇幅所限,从最简单模型入手,给出了两人平均分配的充要条件:新加入者的边际产出大于平均产出,也即凸条件,为研究多人合作最优分配作了一个基础性工作。 一、引言 生产中的合作是现代社会的一种普遍现象,小至夫妻作坊,大至富可敌国的大型现代企业,都可以称得上是一种合作,合作之所以普遍存在,一方面是因为合作能够节约交易成本(Coase 1968),另一方面是合作能够带来比自己单干更大的收益。亚当斯密(1776)考察的合作生产织针的例子中,单个的工人可能一天一枚针都造不出来,但是,几个人一起合作后在内部进行分工,却可以平均每人一天制造出上千枚针来。对这种社会普遍存在的合作生产该怎样在合作者之间进行分配,是理论经济学的一个重点内容。 传统的经济学理论是以竞争作为主要研究对象的理论,合作理论在某种程度上不如竞争理论一样被大家熟悉和了解。合作理论中对合作收益的分配,一直是研究合作理论的重点也是难点。斯密在国富论中虽然占用了大量的篇幅对合作(他称之为分工)进行了描述,但是并没有对合作生产织针例子给出如何分配的具体答案,只是在这篇文章中的另一个章节认为应该根据工作的难易或愉悦程度、学习的难易程度、工作的稳定程度、工作所担负的责任大小以及成功可能性程度来确定工资的多少。对合作如何分配的规范研究应该说起始于John von Neumann and Morgenstern(1944),两人合著的Theroy of Games and Economic Behavior,由于其过于抽象,以致被了解和应用的范围非常有限。后来John Nash(1953)的谈判博弈(Bargaining Game)和L.Shapley(1953)的夏普利值(Shapley value),在经济学研究合作产生了广泛且深刻的影响。随着对合作研究的进展,目前对合作中的分配解主要有核心(Gillies1953)、夏普利值(Shapley 1953),内核(Davis and Maschler 1965)、值(Value,Tijs S.H 1981),核仁(Nucleolus,Schmeidler 1969)、欧文值(owen 1977)等。在各种各样的分配方案中挑选出能被大家都能接受的唯一分配方案,在没有一个统一的解的概念之前,几乎是不可能的。对同一问题,依据这些不同的分配方法,经常出现不同的分配结果,各个经济主体追求自己最大化利益,会难以达成一个共同接受的分配方案,导致一些能够改善社会福利的经济合作不能得到进行。同时,上面的这些研究合作的数学方法,在应用到经济学研究中只是考虑了收益的分配或成本的分摊,没有考虑到国民经济运行中生产和消费的衔接问题。没有把合作经济放到生产消费的循环系统中来研究。 二、本文的假设以及社会最优评价标准 对合作生产中分配的研究之所以成为难点,一是多主体构成的合作方式数量庞大,在多人情况下出现的合作形式近乎天文数字(n人会有2n种生产方式)。二是合作除了人与人之间的合作外,还有资本参与的合作,在存在多种消费品种类时,还涉及到生产的分工和交换,分工和合作交织到一起,更是复杂化了对这方面的研究。三是对合作产出的分配标准上,什么是合理和公平的分配标准,很难达成一个被参与合作的多个主体得到统一承认。在经济学中应用本属于数学运筹学分支的研究方法,运用到经济学中的生产消费循环系统后,增添了对合作生产研究的复杂性。因此,在经济学中应用合作理论分析和研究问题在考虑到消费需求后首先必须在比较严格的假设下予以分析才具备可行性。 (一)本文的假设条件 1. 参与人具有单一的有限理性。在这里对有限理性的理解是:采用某种策略后收益不会减少就不拒绝这个经济策略的采用。采用的不是个人收益最大化策略,在合作中对合作剩余的分配采用最大化收益策略,会产生个体间最大化策略的冲突,容易使能产生社会帕累托改进的合作不能得以实现。有了这个假设之后,合作参与人的分配向量集只要位于核内,参与人都不会拒绝这样的分配,在这样的假设之下,使求出满足个人帕累托标准下的社会最优解具备了条件。 2. 参与人的消费具有餍足性。即一定周期内,参与人对消费品的消费满足边际效用递减规律,在边际效用递减到0时,即停止对该物品的消费。而不是新古典经济学中在消费价格曲线推导中所采用的效用对消费量具有无餍足性以及严格单调上升的假设。 3. 参与人在消费品和闲暇之间的选择顺序为优先满足消费品的需求,只有在满足消费品的饱和需求之后才会转而追求闲暇的需求。 4. 研究期内当期的生产等于当期的消费。在这里为简化研究,假设储备为过去就已经存在的常量,研究期内当期的生产始终等于当期的消费。 5. 生产和消费只有单一的物品。在这里由于篇幅所限,只考虑生产一种消费品的两人合作情形,因此不涉及劳动分工与产品交换。 根据假设条件(2)、(3),设饱和消费量为Qs,可定义如下偏好: 定义:ui(qi,ti)uj(qj,tj),(qi?燮QSi,qj?燮QSj,ti?燮C,tj?燮C)(1) 当满足以下条件: (1)如果qi?燮QS,qj?燮QS,qiqj,?坌ti,即物质消费没有达到饱和之前,物质消费量大的参与人效用优于消费量少的参与人,与闲暇时间的多少无关。 (2)如果qi=qj=QS,t1t2,即当物质消费都达到饱和消费之后,闲暇时间大的参与人效用要优于闲暇时间小的参与人。 其中u为效用,q是对x物品的消费量,t为闲暇,QS为x物品的饱和消费,C为固定常数。 (二)个人帕累托标准下的社会最优评价指标 #p#分页标题#e#由于本文研究内容为合作生产中个人帕累托标准下的社会最优分配,因此对社会最优必须给出一个定义和评价标准。在这里,个人帕累托标准是指参与人参加合作后的效用至少不比合作前变差。社会最优和个体效用最大化是统一的,社会最优就是参与人在满足个人帕累托标准下的各个参与人效用总和达到最大时定义为社会最优。个人的效用体现在两方面,一是对消费品的消费,二是对闲暇的消费。效用的大小比较满足上面的定义及条件。 三、两人合作生产的整体最优分配 现在假设生产消费周期为1天,生产活动为捕鱼,产出为劳动效率和劳动时间的函数。两个渔民单独捕鱼效率不同,设渔民甲的效率为1,渔民乙的效率为2,合作捕鱼的效率为,捕到的鱼只能当天消费不能储藏,两个渔民一天的饱和消费都为1单位,由于消费都得到满足,福利的衡量用闲暇指标来衡量,即生产1单位的食品所花的劳动时间越少闲暇福利越高。现在需要讨论的问题是:(1)何种情况下两者才会合作?(2)合作之后单位时间内的产出增加,这种合作剩余如何分配,用什么比例来分配从而使双方福利相对于不合作至少不变差并且整体福利最大? 在这里,可用一组具体数值来进行举例说明:假设渔民甲的效率为1.2,乙的效率为单位1,甲乙两人合作捕鱼效率为3。可以计算得到:对渔民乙来说只要分配比例高于合作产出的1/3,就会选择合作;对渔民甲来说,只要分配比例大于合作产出总量2/5,也会选择合作。当对乙的分配比例为+(为正无穷小量)时,渔民甲获得比例为-;当渔民甲的比例为+时,渔民乙得到的比例为-,所以当对甲的分配比例位于在斯密来看,应该按照前面所引述的5个标准来分配,按照后来的李嘉图、马克思等人的劳动价值论,应该按照社会必要劳动时间来进行分配,到了马歇尔直到后来的萨姆尔森的主流西方经济学主导的时代,必须按照劳动的边际产品数量或劳动的负效用来分配,如果按照边际产品的数量,在理性人假设下,渔民甲认为自己边际产量是,对方应该只得到总量的;乙会认为自己的边际产量是,对方应该得到总量的,会陷入谁也无法说服谁的争议之中。如果按照劳动的负效用来分配,在理性人前提下,谁也不会说自己喜欢打猎而带来了正效用不用鱼来补偿,也会各自夸大自己的负效用而陷入争论。但是马歇尔采取了一个新的观念来解释这个问题,在理性人假设以及在完全竞争市场的假设下,1个人单位时间的产出为1.2,增加1个人总产出上升为3,在边际产出大于工资,在理性人的假设下,劳动投入会一直增加下去,再增加1单位边际收益递减规律的假设前提下,一直增加一定会使边际产量等于工资,这时不存在合作剩余,此时,这样的问题不会出现,间接地解决了这个问题。 但是,马歇尔的论证同样存在着比较明显的漏洞:其一,工资是在完全竞争的劳动力市场中形成的,但这里没有形成均衡工资的市场。其二,现代经济特别是网络经济出现以来,边际收益递减规律不一定符合事实,在网络经济中,合作的圈子越大,边际产出越大早已是不争的事实。其三,在个人消费具有餍足性时,即使存在一个外生的工资水平,参与人满足最大个人效用的劳动投入量不一定使此时的边际产出与外生工资刚好相等。其四,马歇尔的边际方法对问题的处理必须要求以劳动量为自变量的生产函数为连续函数,但在上面这类普遍存在的合作现象中,却是以劳动者数量为变量的非连续函数,人不能分为1.2个或1.5个等,对人员数量这样的离散值用微分求导的办法来处理,缺乏说服力。 如果按照李嘉图、马克思等人的劳动价值论,同样存在着难题,劳动同劳动时间与劳动效率有关,在合作生产中,劳动时间一样,但各自的劳动效率不能得到确认。 合作博弈论是主要研究合作收益分配以及成本的分摊的理论,目前给出的集合解有核心、韦伯集、稳定集、讨价还价集;单值解有Shapley值、核仁、欧文值等。 从上面数据可以看出,甲乙两人合作时的效率要大于两人单干时的效率之和,即合作从总体来说要优于单干。按照合作博弈思想,此合作满足超可加条件,在两人博弈的情况下,核始终存在。 该合作的核心为:C(v)=x1,x2|x1+x2=3t,x1?叟1.2t,x2?叟1t(t为合作生产时间) Nucleolus(核仁):(1.6t,1.4t) Shapley值为:?准=()?浊(s)-?浊(s/i)得到?准(x)=(1.6t,1.4t)。 Average lexicograghic 值为:(1.6t,1.4t) ?子-Value为:(1.6t,1.4t) Weighted Shapley(加权夏普里值)为:(t,t) 根据本文的假设条件,不管是在合作生产中还是自己单干,参与人如果得到的消费品数量达到自己的饱和消费就会停止劳动享受闲暇,在生产效率满足超可加的条件下,理性的参与人会选择合作生产并且要保证合作中的分配必须位于核内,即2t?叟x1?叟1.2t,1.8t?叟x2?叟1t,如果在合作生产中某一方所得到的产出达到饱和消费数量,合作即告终止,没有达到饱和消费量的一方需自己单干来生产直至达到饱和消费量。这样,因为双方的消费都得到满足,整体福利最优只需合作参与人总的劳动时间最少,据此,合作生产中个人帕累托标准之上的整体最优分配的规划如下: min(2t+t1+t2)(2) s.tx1?叟1.2tx2?叟tx1+x2=3t x1+1.2t1=1x2+t2=1x1,x2,t,t1,t2?叟0 t,t1,t2分别为合作生产时间、甲单干时间、乙单干时间。 matlab运算结果为:t=0.67,t1=0,t2=0,x1=1,x2=1 结果显示整体最优的生产和分配过程为:双方合作生产,分配比例为两者之间平均分配合作产出,直至同时达到自己的饱和需求量。 通过计算,由核仁、Shapley值等其他的分配向量所达到的整体福利值都要低于上面的这个平均分配。然而,这是不是由于所选取数值的一个巧合,换成其他的数值是不是又是另外一种结果?所以必须用具有一般性的代数来进行证明。 按照前面的各项假设条件,渔民甲的效率为1,渔民乙的效率为2,假设1?燮2,合作捕鱼的效率为,另外假设渔民甲和乙之间甲的分配比例为(0?燮1),则乙的分配比例为1-。当1+2?燮时从社会角度来看,合作要比不合作的社会福利要高。 #p#分页标题#e#情形1:如甲的分配比例0,则当合作产量达到时,乙得到的份额优先达到饱和需求,乙会退出生产,合作花费的时间为。甲得到的份额为,甲为生产1-产量所需的时间为:。甲乙双方为满足需求总共需要的时间为: Ttotaltime=+(3) 因为在劳动者物质需求都得到满足后,是用闲暇时间来衡量社会福利的大小,在一个生产周期内,用来劳动和闲暇的时间之和为一个固定常数,设为Tfix,则社会福利即闲暇时间的表达式为: Welfare=Tfix-(4) (4)式为整体福利关于合作产出分配比例的函数表达式,从形式上看是一个非线性函数,要求整体福利最大,这就把问题转化为在帕累托标准不等式约束下的非线性规划: Max:Welfare=Tafix-+ st:0 (1)?燮?燮(1+2,10,2?叟0) (2) 求函数Welfare=Tfix-+关于变量的极大值。(非线性规划由于歧点的存在经常会使库恩塔克条件在边界的最优解失效,因此在此运用传统的函数单调性求解)求解过程如下: 因为分配比例可以在一定范围内连续取值,上面的福利函数在的取值范围内为连续函数,所以有: Welfare()=(5) 第一,当21时,福利函数为劳动者甲分配比例的增函数,值越大整体社会福利越大,此时,21?圳,保证甲的分配比例在不等式条件(1)、(2)约束下具有公共解。 结论1:当?叟,即?叟22,21时,甲的分配比例为,即二人平均分配,是在满足双方帕累托标准下的整体最优。 结论2:当,即2122,12时,甲的分配比例为,乙的分配比例为,即对单干效率较高者的按最低意愿分配,是双方帕累托标准下的整体最优分配。 第二,当21时,此时21?圳,致使在不等式条件(1)、(2)约束下无公共解。 情形2:如甲的分配比例?燮?燮1,同理可得上面的两个结论。 为了进一步分析多人合作的方便,把上面的证明的结论总结为四个判定定理: 定理1:当1+2?燮时,从整体而言,合作生产至少不比单独生产差。此为合作产生的必要条件。 定理2:当?燮?燮合作是满足个人帕累托标准的选择,此为合作产生的充分条件。(为合作中甲的分配比例,相应地,乙的分配比例为1-) 定理3:当?叟max(1,2)时,平均分配满足个人帕累托标准的整体最优。 定理4:当?燮max(1,2)时,对单干效率低下者实行定理2中上限比例分配,是个人帕累托标准下的整体最优分配。 对上述结论及定理的解释和说明: 在生产和消费只有一种消费品的两人合生产中,平均分配(合作效率大于任意参与人效率的两倍时),或对单干效率较高者按帕累托标准下的最低意愿分配。是满足个人帕累托标准下的两人整体福利最优的分配。 两人合作是合作现象中的最少参与人形式,在生产消费统一系统中对复杂的多人合作求分配解时,最终会退化为超可加条件存在核心就始终存在的两人联盟形式,两人合作整体最优分配结论虽然简单,但是为分析三人或多人合作提供了进一步基础性的工作,为分析存在多种消费品、同时涉及分工和合作的社会化生产提供了一个基础性的结论。 注释: 亚当斯密:国富论,商务出版社1972年版,第43-62页。 同样在满足消费需求的情况下,核仁和夏普利值分配方案的总劳动时间为1.375单位,加权分配方案的总劳动时间为1.39单位,整体最优分配的劳动总时间为1.33单位。 参考文献 1【英】亚当斯密.国富论M.北京:商务印书馆,1972. 2Coase R. 1937.The Nature of the FirmJ. Economies. 3Von Neuman J,Morgenstern O,1944.Theory of Games and Economic BehaviorM. Princeton University Press. 4Nash J F. T wo-Person Cooperative Games. Economitrica,1953,(21). 5Shapley L SShubik. On Markets Games. J. Econ. Theroy,1969,(1). 6Gillies D B,1953.Some theorems n n-person gamesD.Princenton University. 7Davis M,Maschler M,1965,The Kernel of A Cooperative GameJ. Navel Research Logistics Quarterly,(12). 8Tijs S H 1981,Bounds for the core of game and the t-valueG.Moeschin O,Pallaschke D.Game Theory and Mathematical Economics.Amsteram:North Holland. 9Schmeidler D 1969.The Neuceolus of a characteristic function gameJ.Slam Journal of Applied Mathematics,(17). 10Owen G,1977.On the nuleolusJ.International of Game Theory,(3). 11Bezalel Peleg, Peter Sudh?lter,2007.Introduction to the Theory of Cooperative Games .Springer; 2nd ed. Edition. 12Rodica Branzei, Dinko Dimitrov, Stef Tijs, 2008. Models in Cooperative Game TheoryM, Springer; 2nd ed. edition. 责任编辑:焦世玲 责任校对:关 华 On the Overall Optimal Allocation of the Two-person Cooperation Benefits Lv Zongyao (Economics School, Huazhong University of Science and Technology, Wuhan 430074, China) Abstract: Distribution of co-operation rema