高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明 7.4 直接证明与间接证明课件 文 新人教A版.ppt

7 4直接证明与间接证明 2 知识梳理 双基自测 2 1 自测点评 1 直接证明 成立 充分 3 知识梳理 双基自测 2 1 自测点评 4 知识梳理 双基自测 自测点评 2 1 2 间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法 反证法是一种常用的间接证明方法 1 反证法的定义 假设原命题 即在原命题的条件下 结论不成立 经过正确的推理 最后得出 因此说明假设错误 从而证明的证明方法 2 用反证法证明的一般步骤 反设 假设命题的结论不成立 归谬 根据假设进行推理 直到推出矛盾为止 结论 断言假设不成立 从而肯定原命题的结论成立 不成立 矛盾 原命题成立 2 5 知识梳理 双基自测 3 4 1 5 自测点评 1 下列结论正确的打 错误的打 1 综合法的思维过程是由因导果 逐步寻找已知的必要条件 2 分析法是从要证明的结论出发 逐步寻找使结论成立的充要条件 3 反证法是指将结论和条件同时否定 推出矛盾 4 用反证法证明时 推出的矛盾不能与假设矛盾 5 常常用分析法寻找解题的思路与方法 用综合法展现解决问题的过程 答案 6 知识梳理 双基自测 自测点评 2 3 4 1 5 2 命题 对于任意角 cos4 sin4 cos2 的证明 cos4 sin4 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 过程应用了 a 分析法b 综合法c 综合法 分析法综合使用d 间接证明法 答案 7 知识梳理 双基自测 自测点评 2 3 4 1 5 3 已知a lg2 lg5 b ex xbb a bc a bd a b 答案 8 知识梳理 双基自测 自测点评 2 3 4 1 5 4 用反证法证明命题 设a b为实数 则方程x3 ax b 0至少有一个实根 时 要做的假设是 a 方程x3 ax b 0没有实根b 方程x3 ax b 0至多有一个实根c 方程x3 ax b 0至多有两个实根d 方程x3 ax b 0恰好有两个实根 答案 9 知识梳理 双基自测 自测点评 2 3 4 1 5 5 教材习题改编p15t 2 用反证法证明 100个球放在90个盒子里 至少有一个盒子里不少于两个球 应假设 答案 解析 10 知识梳理 双基自测 自测点评 1 分析法是执果索因 实际上是寻找使结论成立的充分条件 综合法是由因导果 就是寻找已知的必要条件 2 综合法和分析法都是直接证明的方法 反证法是间接证明的方法 3 用反证法证题时 首先否定结论 否定结论就是找出结论的反面的情况 然后推出矛盾 矛盾可以与已知 公理 定理 事实或者假设等相矛盾 11 考点1 考点2 考点3 考向一数列中的证明例1设数列 an 的前n项和为sn 已知3an 2sn 2 1 证明 an 是等比数列并求出通项公式an 思考哪些问题的证明适合用综合法 12 考点1 考点2 考点3 13 考点1 考点2 考点3 考向二立体几何中的证明例2如图 在多面体abcdef中 底面abcd是边长为2的正方形 四边形bdef是矩形 且平面bdef 平面abcd bf 3 g和h分别是ce和cf的中点 求证 af 平面bdgh 思考在用综合法证明立体几何中的平行或垂直问题时还经常用到什么数学方法 14 考点1 考点2 考点3 证明连接ac 设ac bd o 连接oh 在 acf中 因为oa oc ch hf 所以oh af 又因为af 平面bdgh oh 平面bdgh 所以af 平面bdgh 15 考点1 考点2 考点3 考向三不等式中的证明思考综合法证明的特点是什么 证明由a2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ac得a2 b2 c2 ab bc ca 由题设得 a b c 2 1 即a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 1 16 考点1 考点2 考点3 解题心得1 综合法的适用范围 1 定义明确的问题 如证明函数的单调性 奇偶性等 求证没有限制条件的等式或不等式 2 已知条件明确 并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型 2 用综合法证明立体几何中的平行或垂直问题时还经常用到转化法 例如证明线面平行或垂直一般转化成证明线线平行或垂直 3 用综合法证明的特点是 由因导果 即从命题的条件出发 利用定义 公理 定理及运算法则 通过演绎推理 一步一步地接近要证明的结论 直到完成命题的证明 17 考点1 考点2 考点3 对点训练1 1 已知数列 an 的前n项和为sn 且sn an 1 n 2 n n a1 2 证明 数列 an 1 是等比数列 并求数列 an 的通项公式 2 如图 在四棱锥p abcd中 平面pab 平面abcd ab ad bad 60 e f分别是ap ab的中点 求证 直线ef 平面pbc 平面def 平面pab 18 考点1 考点2 考点3 1 解 因为sn an 1 n 2 所以当n 2时 sn 1 an n 1 2 an n 3 两式相减 得an an 1 an 1 即an 1 2an 1 设cn an 1 代入上式 得cn 1 1 2 cn 1 1 即cn 1 2cn n 2 又sn an 1 n 2 则an 1 sn n 2 故a2 s1 1 2 3 所以c1 a1 1 1 c2 a2 1 2 即c2 2c1 综上 对于正整数n cn 1 2cn都成立 即数列 an 1 是等比数列 其首项a1 1 1 公比q 2 19 考点1 考点2 考点3 证明 由sn an 1 n 2 得sn n 2 an 1 2n 1 20 考点1 考点2 考点3 2 证明 在 pab中 因为e f分别为pa ab的中点 所以ef pb 又因为ef 平面pbc pb 平面pbc 所以直线ef 平面pbc 如图 连接bd 因为ab ad bad 60 所以 abd为正三角形 因为f是ab的中点 所以df ab 因为平面pab 平面abcd df 平面abcd 平面pab 平面abcd ab 所以df 平面pab 又因为df 平面def 所以平面def 平面pab 21 考点1 考点2 考点3 22 考点1 考点2 考点3 例4已知 abc的三个内角a b c成等差数列 且a b c分别为角a b c的对边 思考哪些问题的证明适合用分析法 23 考点1 考点2 考点3 24 考点1 考点2 考点3 解题心得分析法证明问题的适用范围 当已知条件与结论之间的联系不够明显 直接 或证明过程中所需知识不太明确 具体时 往往采用分析法 特别是含有根号 绝对值的等式或不等式 从正面不易推导时 常考虑用分析法 25 考点1 考点2 考点3 2 已知a b 0 求证 2a3 b3 2ab2 a2b 证明 1 因为m 0 所以1 m 0 所以要证原不等式成立 只需证 a mb 2 1 m a2 mb2 即证m a2 2ab b2 0 即证 a b 2 0 而 a b 2 0显然成立 故原不等式得证 26 考点1 考点2 考点3 2 要证明2a3 b3 2ab2 a2b成立 只需证2a3 b3 2ab2 a2b 0 即2a a2 b2 b a2 b2 0 即 a b a b 2a b 0 a b 0 a b 0 a b 0 2a b 0 从而 a b a b 2a b 0成立 2a3 b3 2ab2 a2b 27 考点1 考点2 考点3 例5设数列 an 是公比为q的等比数列 sn是它的前n项和 1 求证 数列 sn 不是等比数列 2 数列 sn 是等差数列吗 为什么 思考反证法的适用范围及证题的关键是什么 1 证明假设数列 sn 是等比数列 因为a1 0 所以 1 q 2 1 q q2 即q 0 这与公比q 0矛盾 所以数列 sn 不是等比数列 28 考点1 考点2 考点3 2 解当q 1时 sn na1 故 sn 是等差数列 当q 1时 sn 不是等差数列 假设 sn 是等差数列 则2s2 s1 s3 即2a1 1 q a1 a1 1 q q2 得q 0 这与公比q 0矛盾 综上 当q 1时 数列 sn 是等差数列 当q 1时 sn 不是等差数列 29 考点1 考点2 考点3 解题心得反证法的适用范围及证题的关键 1 适用范围 当一个命题的结论是以 至多 至少 唯一 或以否定形式出现时 宜用反证法来证 2 证题的关键 在正确地推理下得出矛盾 矛盾可以是与已知条件矛盾 与假设矛盾 与定义 公理 定理矛盾 与事实矛盾等 推导出的矛盾必须是明显的 30 考点1 考点2 考点3 31 考点1 考点2 考点3 32 考点1 考点2 考点3 1 分析法是从结论出发 逆向思维 寻找使结论成立的充分条件 应用分析法要严格按分析法的语言表达 下一步是上一步的充分条件 2 证明问题的常用思路 在解题时 常常把分析法和综合法结合起来运用 先以分析法寻求解题思路 再用综合法表述解答或证明过程 3 用反证法证明问题要把握三点 1 必须先否定结论 即肯定结论的反面 2 必须从否定结论进行推理 即应把结论的反面作为条件 且必须依据这一条件进行推证 3 推导出的矛盾可能多种多样 有的与已知矛盾 有