高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.6 双曲线课件.ppt

9 6双曲线 第九章平面解析几何 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 双曲线定义平面内与两个定点f1 f2的等于常数 小于 f1f2 的点的轨迹叫做双曲线 这两个定点叫做 两焦点间的距离叫做 集合p m mf1 mf2 2a f1f2 2c 其中a c为常数且a 0 c 0 1 当时 p点的轨迹是双曲线 2 当时 p点的轨迹是两条射线 3 当时 p点不存在 知识梳理 距离的差的绝对值 双曲线的焦点 双曲线的焦距 2a f1f2 2a f1f2 2a f1f2 2 双曲线的标准方程和几何性质 x a或x a y r x r y a或y a 坐标轴 原点 1 2a 2b a2 b2 巧设双曲线方程 1 与双曲线 1 a 0 b 0 有共同渐近线的方程可表示为 t t 0 2 过已知两个点的双曲线方程可设为 1 mn 0 知识拓展 题组一思考辨析1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 平面内到点f1 0 4 f2 0 4 距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线 2 方程 1 mn 0 表示焦点在x轴上的双曲线 3 双曲线方程 m 0 n 0 0 的渐近线方程是 0 即 0 基础自测 1 2 3 4 5 6 4 等轴双曲线的渐近线互相垂直 离心率等于 5 若双曲线 1 a 0 b 0 与 1 a 0 b 0 的离心率分别是e1 e2 则 1 此条件中两条双曲线称为共轭双曲线 1 2 3 4 5 6 解析由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长 双曲线的渐近线方程为 0 即bx ay 0 2a b 又a2 b2 c2 5a2 c2 e2 5 e 题组二教材改编 答案 解析 2 p61t1 若双曲线 1 a 0 b 0 的焦点到其渐近线的距离等于实轴长 则该双曲线的离心率为a b 5c d 2 1 2 3 4 5 6 3 p62a组t6 经过点a 3 1 且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为 解析 答案 解析设双曲线的方程为 1 a 0 把点a 3 1 代入 得a2 8 舍负 故所求方程为 1 1 2 3 4 5 6 4 2016 全国 已知方程 1表示双曲线 且该双曲线两焦点间的距离为4 则n的取值范围是a 1 3 b 1 c 0 3 d 0 答案 题组三易错自纠 解析 方程 1表示双曲线 m2 n 3m2 n 0 解得 m2 n 3m2 由双曲线性质 知c2 m2 n 3m2 n 4m2 其中c是半焦距 焦距2c 2 2 m 4 解得 m 1 1 n 3 故选a 解析 1 2 3 4 5 6 解析 答案 5 若双曲线 1 a 0 b 0 的一条渐近线经过点 3 4 则此双曲线的离心率为 即3b 4a 9b2 16a2 9c2 9a2 16a2 1 2 3 4 5 6 6 已知双曲线过点 4 且渐近线方程为y x 则该双曲线的标准方程为 解析 答案 1 2 3 4 5 6 题型分类深度剖析 命题点1利用定义求轨迹方程典例 2018 大连调研 已知圆c1 x 3 2 y2 1和圆c2 x 3 2 y2 9 动圆m同时与圆c1及圆c2相外切 则动圆圆心m的轨迹方程为 题型一双曲线的定义及标准方程 多维探究 解析 答案 几何画板展示 解析如图所示 设动圆m与圆c1及圆c2分别外切于a和b 根据两圆外切的条件 得 mc1 ac1 ma mc2 bc2 mb 因为 ma mb 所以 mc1 ac1 mc2 bc2 即 mc2 mc1 bc2 ac1 2 所以点m到两定点c2 c1的距离的差是常数且小于 c1c2 6 又根据双曲线的定义 得动点m的轨迹为双曲线的左支 点m与c2的距离大 与c1的距离小 其中a 1 c 3 则b2 8 故点m的轨迹方程为x2 1 x 1 命题点2利用待定系数法求双曲线方程典例根据下列条件 求双曲线的标准方程 1 虚轴长为12 离心率为 解答 2 焦距为26 且经过点m 0 12 解答 解 双曲线经过点m 0 12 m 0 12 为双曲线的一个顶点 故焦点在y轴上 且a 12 又2c 26 c 13 b2 c2 a2 25 双曲线的标准方程为 1 解答 命题点3利用定义解决焦点三角形问题 典例已知f1 f2为双曲线c x2 y2 2的左 右焦点 点p在c上 pf1 2 pf2 则cos f1pf2 解析 由双曲线的定义有 解析 答案 1 本例中 若将条件 pf1 2 pf2 改为 f1pf2 60 则 f1pf2的面积是多少 解答 解不妨设点p在双曲线的右支上 在 f1pf2中 由余弦定理 得 2 本例中 若将条件 改为 0 则 f1pf2的面积是多少 解答 解不妨设点p在双曲线的右支上 在 f1pf2中 有 pf1 2 pf2 2 f1f2 2 即 pf1 2 pf2 2 16 pf1 pf2 4 1 利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线 进而根据要求可求出双曲线方程 2 在 焦点三角形 中 常利用正弦定理 余弦定理 经常结合 pf1 pf2 2a 运用平方的方法 建立与 pf1 pf2 的联系 3 利用待定系数法求双曲线方程要先定形 再定量 如果已知双曲线的渐近线方程 可设有公共渐近线的双曲线方程为 0 再由条件求出 的值即可 跟踪训练 1 2018 沈阳调研 设椭圆c1的离心率为 焦点在x轴上且长轴长为26 若曲线c2上的点到椭圆c1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8 则曲线c2的标准方程为 解析 答案 解析由题意知椭圆c1的焦点坐标为f1 5 0 f2 5 0 设曲线c2上的一点p 则 pf1 pf2 8 由双曲线的定义知 a 4 b 3 2 2016 天津 已知双曲线 1 b 0 以原点为圆心 双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于a b c d四点 四边形abcd的面积为2b 则双曲线的方程为 解析 答案 典例 1 已知f1 f2是双曲线c 1 a 0 b 0 的两个焦点 p是c上一点 若 pf1 pf2 6a 且 pf1f2最小内角的大小为30 则双曲线c的渐近线方程是 解析 题型二双曲线的几何性质 师生共研 答案 解析由题意 不妨设 pf1 pf2 则根据双曲线的定义得 pf1 pf2 2a 又 pf1 pf2 6a 解得 pf1 4a pf2 2a 在 pf1f2中 f1f2 2c 而c a 所以有 pf2 f1f2 所以 pf1f2 30 所以 2a 2 2c 2 4a 2 2 2c 4acos30 得c a 所以b 所以双曲线的渐近线方程为 2 2016 山东 已知双曲线e 1 a 0 b 0 若矩形abcd的四个顶点在e上 ab cd的中点为e的两个焦点 且2 ab 3 bc 则e的离心率是 答案 解析 2 双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率 在双曲线 1 a 0 b 0 中 离心率e与双曲线的渐近线的斜率k 满足关系式e2 1 k2 跟踪训练 2016 全国 已知f1 f2是双曲线e 1的左 右焦点 点m在e上 mf1与x轴垂直 sin mf2f1 则e的离心率为 解析 答案 典例 2018 福州模拟 已知直线y kx 1和双曲线x2 y2 1的右支交于不同两点 则k的取值范围是 解析 题型三直线与双曲线的综合问题 师生共研 答案 解析由直线y kx 1和双曲线x2 y2 1联立方程组 消y得 1 k2 x2 2kx 2 0 因为该方程有两个不等且都大于1的根 1 研究直线与双曲线位置关系问题的通法 将直线方程代入双曲线方程 消元 得关于x或y的一元二次方程 当二次项系数等于0时 直线与双曲线相交于某支上一点 这时直线平行于一条渐近线 当二次项系数不等于0时 用判别式 来判定 2 用 点差法 可以解决弦中点和弦斜率的关系问题 但需要检验 跟踪训练 2017 贵州贵阳第一中学月考 已知双曲线 1上存在两点p q关于直线y x b对称 且pq的中点m在抛物线y2 9x上 则实数b的值为 解析 答案 a 0或 10b 0或 2c 2d 10 解析因为点p q关于直线y x b对称 所以pq的垂直平分线为y x b 所以直线pq的斜率为 1 设直线pq的方程为y x m 所以xp xq 4m 所以xm 2m 所以m 2m 3m 因为pq的中点m在抛物线y2 9x上 所以9m2 9 2m 解得m 0或m 2 又pq的中点m也在直线y x b上 得b 5m b 0或 10 故选a 典例若直线y kx 2与曲线x 交于不同的两点 那么k的取值范围是 直线与圆锥曲线的交点 现场纠错 纠错心得 现场纠错 错解展示 错解展示 由直线y kx 2与曲线x2 y2 6相切 得x2 kx 2 2 6 16k2 4 1 k2 10 0 解得k 所以k的取值范围是 错误答案a 现场纠错 解析曲线x 表示焦点在x轴上的双曲线的右支 由直线y kx 2与双曲线方程联立得消去y 得 1 k2 x2 4kx 10 0 由直线与双曲线右支交于不同两点 故选d 答案d 纠错心得 1 判别式 0 是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的通用方法 2 直线与圆锥曲线的交点问题往往需考虑圆锥曲线的几何性质 数形结合求解 课时作业 1 2018 新余摸底 双曲线 1 a 0 的渐近线方程为 基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析根据双曲线的渐近线方程知 y x 2x 故选a 解析 答案 2 2017 山西省四校联考 已知双曲线c 1 a 0 b 0 右焦点f到渐近线的距离为2 点f到原点的距离为3 则双曲线c的离心率e为 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 右焦点f到渐近线的距离为2 3 2017 河南新乡二模 已知双曲线c 1 a 0 b 0 的右焦点为f 点b是虚轴的一个端点 线段bf与双曲线c的右支交于点a 若且 4 则双曲线c的方程为 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由 可得 a2 4 b2 6 a 32b 16c 84d 4 4 2017 福建龙岩二模 已知离心率为的双曲线c 1 a 0 b 0 的左 右焦点分别为f1 f2 m是双曲线c的一条渐近线上的点 且om mf2 o为坐标原点 若 16 则双曲线的实轴长是 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 2018 开封模拟 已知l是双曲线c 1的一条渐近线 p是l上的一点 f1 f2是c的两个焦点 若 0 则p到x轴的距离为 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 2018 武汉调研 过双曲线 1 a 0 b 0 的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于a b两点 若 oab的面积为 则双曲线的离心率为 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 过双曲线c 1 a 0 b 0 的右顶点作x轴的垂线 与c的一条渐近线相交于点a 若以c的右焦点为圆心 4为半径的圆经过a o两点 o为坐标原点 则双曲线c的方程为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知右焦点到原点的距离为c 4 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 若双曲线 1 a 0 b 0 上存在一点p满足以 op 为边长的正方形的面积等于2ab 其中o为坐标原点 则双曲线的离心率的取值范围是 解析 解析由条件 得 op 2 2ab 又p为双曲线上一点 从而 op a 解析 9 2016 北京 已知双曲线 1 a 0 b 0 的一条渐近线为2x y 0 一个焦点为 0 则a b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 10 设动圆c与两圆c1 x 2 y2 4 c2 x 2 y2 4中的一个内切 另一个外切 则动圆圆心c的轨迹方程为 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析设圆c的圆心c的坐标为 x y 半径为r 由题设知r 2 11 2018 南昌调研 设直线x 3y m 0 m 0 与双曲线 1 a 0 b 0 的两条渐近线分别交于点a b 若点p m 0 满足 pa pb 则该双曲线的离心率是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设直线l x 3y m 0 m 0 因为 pa pb 所以pc l 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以kpc 3 化简得a2 4b2 12 设双曲线x2 1的左 右焦点分别为f1 f2 若点p在双曲线上 且 f1pf2为锐角三角形 则 pf1 pf2 的取值范围是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 解析如图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设 pf2 m 则 pf1 m 2a m 2 由于 pf1f2为锐角三角形 技能提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 pf1 2 pf2 由双曲线的定义知 pf1 pf2 2 pf1 4 pf2 2