三阶行列式.doc

称为三阶行列式.事实上行列式是所有不同行不同列元素乘积的代数和，所以对于二阶行列式和三阶行列式计算公式可以用对角展开来记，如图2.8，其中实线连接的无素乘积前用负号.三阶行列式的计算也可以用降阶的方法来计算；利用三阶行列式，我们可以把向量积写成行列式形式，如果，则在上述行列式中，将，看成是一般的参数，按行列式计算方法计算即可.直接计算（或者通过4.2节的行列式性质4.2.1，性质4.2.2，可以得到向量积的如下性质：性质4.2.3 设，是空间的任意向量，是实数，则例2.2.11 设，求同时垂直于，的单位量.解 由向量积的定义知同时垂直于，所以(3,5,1)就是要求的单位向量.例2.2.12 已知ABC的顶点A（1，2，3），B（3，4，5，），C（2，4，7，），求ABC的面积和角A的正弦.解 SABC=例2.2.13 证明恒等式证明 设则所以注意：上面的公式通常称为二重向量积展开式，我们也可以不用向量的坐标，而直接用向量的积来证明（请看补充题2.2）.从这个公式可以看出，向量积不满足结合律，就是说，一般向量的混合积定义2.2.14 设为三个向量，定义混合积=.如果则可以得到（2）零向量0的公解式是唯一的；（3）把，任意公成两组，与（s+t=r）,则有（）（）=0；（4）设的一个基为（1ir）,则 是的一个基； （5）这个定理的证明与r=2的情形基本一样，这里就不再重复了.习题6.5习题6.5.1 设M（R）是全体实函数所成的实数域上的线性空间，W1是全体偶函数所成的子集，W2是全体厅函数所成的子集，证明：W1与W2是M（R）的子空间，且M（R）= W1 W2.习题6.5.2 设W1与W2分别是齐次线性方程组与的解空间.证明Rn= W1 W2,这里R是实数域.习题6.5.3 如果，而，证明：.习题6.5.4 试用几何空间的例子来说明：若U，V，Y是子空间，且满足条件UV=X，是否必有6.6 线性空间的同构定义6.6.1 数域F上两个线性空间V与称为同构，如果存在一个由V到的又射，它具有性质：（1）（2）.这样的映射称为线性空间V与的同构映射，记作.由定义可以看出同构映射有如下性质：3、V中向量，线性相关的充分必在条件是中的对应量线性相关；4、如果是线性空间V到线性空间的同构映射，则；5、同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积仍是同构映射.这5条很容易证明的，作为习题留给读者自己来做.定理6.6.2 数域F上的两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们的维数相同.证明 必要性上面已有，现证充分性。设是线性空间V的一个基，是线性空间的一个基，下面我们就来找一个V到的同映射.我们取V到的这们一个映射：使关于基B与有相同坐标的向量相对应，即，为双射是显然的.我们来证明具有定义6.6.1中所述性质.任取，且设则按的定义，同样可证，故是同构映射，即V到同构.在线性空间的抽象讨论中，同构的线性空间都有相同的代数性质，因而对于同构的线性空间没有必在再加以区别，我们可以把同构的线性空间看作是同一个空间.因此，定理6.6.2说明了，维数是有限维线性空间唯一的本质特征.特别，每一个数域F上n维线性空间都与Fn同构