浙江省五校联考高考数学二模试卷 文（含解析）.doc

2015年浙江省五校联考高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1在abc中，“”是“abc为直角三角形”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件2已知数列an满足：an=，且sn=，则n的值为（）a7b8c9d103要得到函数y=sin2x的图象，只需将函数的图象（）a向右平移个单位长度b向左平移个单位长度c向右平移个单位长度d向左平移个单位长度4若、是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为（）若直线m，则在平面内，一定不存在与直线m平行的直线若直线m，则在平面内，一定存在无数条直线与直线m垂直若直线m，则在平面内，不一定存在与直线m垂直的直线若直线m，则在平面内，一定存在与直线m垂直的直线abcd5已知菱形abcd的对角线ac长为1，则=（）a4b2c1d6设xr，对于使x2+2xm成立的所有常数m中，我们把m的最小值1叫做x2+2x的上确界若a，br+，且a+b=1，则的上确界为（）a5b4cd7如图，已知椭圆c1： +y2=1，双曲线c2：=1（a0，b0），若以c1的长轴为直径的圆与c2的一条渐近线交于a、b两点，且c1与该渐近线的两交点将线段ab三等分，则c2的离心率为（）ab5cd8如图，正abc的中心位于点g（0，1），a（0，2），动点p从a点出发沿abc的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度agp=x（0x2），向量在=（1，0）方向的射影为y（o为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）abcd二、填空题（本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每空4分，共36分）9设全集u=r，集合a=x|x23x40，b=x|log2（x1）2，则ab=，ab=，cra=10若变量x，y满足，则2x+y的最大值为，的取值范围11已知命题p：xr，x1lnx命题q：xr，0，则p：，命题p（q）是（填真命题或假命题）12若某多面体的三视图如图所示，则此多面体的体积为，外接球的表面积为13已知函数f（x）=是奇函数，则sin=14已知点 a（0，2）为圆m：x2+y22ax2ay=0外一点，圆m上存在点t使得mat=45，则实数a的取值范围是15已知o是abc内心，若=+，则cosbac=三、解答题（本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16已知函数f（x）=cos2x（xr）（1）求函数f（x）的最小值和最小正周期；（2）设abc的内角a、b、c的对边分别为a、b、c，且b=30，c=，f（c）=1，判断abc的形状，并求三角形abc的面积17已知数列an（nn*，1n46）满足a1=a，an+1an=其中d0，nn*（1）当a=1时，求a46关于d的表达式，并求a46的取值范围；（2）设集合m=b|b=ai+aj+ak，i，j，kn*，1ijk16若a=，d=，求证：2m18在四棱锥pabcd中，底面abcd为直角梯形，adbc，abbc侧面pab底面abcd，pa=ad=ab=2，bc=4（1）若pb中点为e求证：ae平面pcd；（2）若pab=60，求直线bd与平面pcd所成角的正弦值19已知抛物线y2=2x上有四点a（x1，y1）、b（x2，y2）、c（x3，y3）、d（x4，y4），点m（3，0），直线ab、cd都过点m，且都不垂直于x轴，直线pq过点m且垂直于x轴，交ac于点p，交bd于点q（1）求y1y2的值；（2）求证：mp=mq20已知函数f（x）=|x2a|+x2+kx，（a为常数且0a4）（1）若a=k=1，求不等式f（x）2的解集；（2）若函数f（x）在（0，2）上有两个零点x1，x2求+的取值范围2015年浙江省五校联考高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1在abc中，“”是“abc为直角三角形”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件【考点】充要条件【专题】简易逻辑【分析】“”a=90“abc为直角三角形”，反之不成立，可能为b或c=90即可判断出【解答】解：“”a=90“abc为直角三角形”，反之不成立，可能为b或c=90因此“”是“abc为直角三角形”的充分不必要条件故选：a【点评】本题考查了充要条件的判定方法，考查了推理能力，属于基础题2已知数列an满足：an=，且sn=，则n的值为（）a7b8c9d10【考点】数列的求和【专题】等差数列与等比数列【分析】对通项拆项，利用并项法相加即可【解答】解：an=，sn=1+=1，又sn=，1=，解得n=9，故选：c【点评】本题考查数列的前n项和，利用裂项相消法是解决本题的关键，属于中档题3要得到函数y=sin2x的图象，只需将函数的图象（）a向右平移个单位长度b向左平移个单位长度c向右平移个单位长度d向左平移个单位长度【考点】函数y=asin（x+）的图象变换【专题】三角函数的图像与性质【分析】利用诱导公式化简函数y=cos（2x）为正弦函数类型，然后通过平移原则，推出选项【解答】解：因为函数y=cos（2x）=sin（2x+），所以可将函数y=cos（2x）的图象，沿x轴向右平移，得到y=sin2（x）+=sin2x，得到函数y=sin2x的图象，故选：c【点评】本题考查三角函数的诱导公式的应用，函数的图象的平移，考查计算能力4若、是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为（）若直线m，则在平面内，一定不存在与直线m平行的直线若直线m，则在平面内，一定存在无数条直线与直线m垂直若直线m，则在平面内，不一定存在与直线m垂直的直线若直线m，则在平面内，一定存在与直线m垂直的直线abcd【考点】命题的真假判断与应用【专题】综合题；推理和证明【分析】利用线面垂直的性质定理对四个命题分别分析解答【解答】解：对于，若直线m，如果，互相垂直，则在平面内，存在与直线m平行的直线故错误；对于，若直线m，则直线m垂直于平面内的所有直线，则在平面内，一定存在无数条直线与直线m垂直故正确；对于，若直线m，则在平面内，一定存在与直线m垂直的直线故错误；对于，若直线m，则在平面内，一定存在与直线m垂直的直线故正确；故选：c【点评】本题考查了线面垂直的性质定理的运用判断直线的位置关系；关键是熟练运用定理，全面考虑5已知菱形abcd的对角线ac长为1，则=（）a4b2c1d【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】根据平面向量的数量积定义，写出，由零星的对角线互相垂直平分，利用三角中余弦函数的定义、以及|cosdac=|，即可得到答案【解答】解：菱形abcd的对角线ac、bd相交于o点，则acbd，且ao=ac=由平面向量的数量积定义可知： =|cosdac=|=1=，故选：d【点评】本题考查两平面向量的数量积的定义，借助菱形的对角线互相垂直平分，考查基本的三角函数的运算，是一道基础题6设xr，对于使x2+2xm成立的所有常数m中，我们把m的最小值1叫做x2+2x的上确界若a，br+，且a+b=1，则的上确界为（）a5b4cd【考点】二次函数的性质【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】由题意可知，求的是的最小值，并且a，b0，a+b=1，由此想到利用1的整体代换构造积为定值【解答】解： =+=+2=，（当且仅当a=b=时取到等号）（当且仅当a=b=时取到上确界）故选：d【点评】这是一个常见的利用基本不等式求最值的问题，主要是利用题设构造积为定值的技巧7如图，已知椭圆c1： +y2=1，双曲线c2：=1（a0，b0），若以c1的长轴为直径的圆与c2的一条渐近线交于a、b两点，且c1与该渐近线的两交点将线段ab三等分，则c2的离心率为（）ab5cd【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求出一条渐近线方程，联立直线方程和圆的方程、椭圆方程，求得交点，再由两点的距离公式，将|ab|=3|cd|，化简整理，即可得到b=2a，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到结论【解答】解：双曲线c2：=1（a0，b0）的一条渐近线方程为y=x，以c1的长轴为直径的圆的方程为x2+y2=11，联立渐近线方程和圆的方程，可得交点a（，），b（，），联立渐近线方程和椭圆c1： +y2=1，可得交点c（，），d（，），由于c1与该渐近线的两交点将线段ab三等分，则|ab|=3|cd|，即有=，化简可得，b=2a，则c=a，则离心率为e=故选a【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查直线与圆、椭圆的位置关系，考查离心率的求法，属于基础题8如图，正abc的中心位于点g（0，1），a（0，2），动点p从a点出发沿abc的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度agp=x（0x2），向量在=（1，0）方向的射影为y（o为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）abcd【考点】函数的图象【专题】综合题；函数的性质及应用【分析】由题意，可通过几个特殊点来确定正确选项，可先求出射影长最小时的点b时x的值及y的值，再研究点p从点b向点c运动时的图象变化规律，由此即可得出正确选项【解答】解：设bc边与y轴交点为m，已知可得gm=0.5，故am=1.5，正三角形的边长为连接bg，可得tanbgm=，即bgm=，所以bga=，由图可得当x=时，射影为y取到最小值，其大小为（bc长为），由此可排除a，b两个选项；又当点p从点b向点m运动时，x变化相同的值，此时射影长的变化变小，即图象趋于平缓，由此可以排除d，c是适合的；故选：c【点评】由于本题的函数关系式不易获得，可采取特值法，找几个特殊点以排除法得出正确选项，这是条件不足或正面解答较难时常见的方法二、填空题（本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每空4分，共36分）9设全集u=r，集合a=x|x23x40，b=x|log2（x1）2，则ab=（1，4），ab=（1，5），cra=（，14，+）【考点】交、并、补集的混合运算【专题】集合【分析】求出a与b中不等式的解集确定出a与b，找出a与b的交集，并集，求出a的补集即可【解答】解：由a中不等式变形得：（x4）（x+1）0，解得：1x4，即a=（1，4），由b中不等式变形得：log2（x1）2=log24，得到0x14，解得：1x5，即b=（1，5），ab=（1，4），ab=（1，5），ra=（，14，+）故答案为：（1，4）；（1，5）；（，14，+）【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键10若变量x，y满足，则2x+y的最大值为8，的取值范围【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，设z=x+y，由z=x+y得y=x+z，平移直线y=x+z，由图象可知当直线y=x+z经过点a时，直线y=x+z的截距最大，此时z最大由，解得，即a（1，2），代入目标函数z=x+y=1+2=3此时2x+y的最大值为23=8设k=，则k的几何意义为区域内的点到定点d（2，1）的斜率，由图象知，ad的斜率最小为k=3，od的斜率最大为k=，故3，故答案为：8，【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法11已知命题p：xr，x1lnx命题q：xr，0，则p：xr，x1lnx，命题p（q）是真命题（填真命题或假命题）【考点】特称命题；复合命题的真假【专题】简易逻辑【分析】直接由特称命题的否定写出p，由全称命题的否定写出q，判断出真假后可得命题p（q）的真假【解答】解：命题p：xr，x1lnx是特称命题，则p：xr，x1lnx，命题q：xr，0，为全称命题，则q：xr，命题p为真命题，命题q为真命题，命题p（q）是真命题故答案为：xr，x1lnx；真命题【点评】本题考查了全称命题和特称命题的否定，考查了复合命题的真假判断，是基础题12若某多面体的三视图如图所示，则此多面体的体积为，外接球的表面积为3【考点】球内接多面体；球的体积和表面积【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】由三视图可知：该几何体是正方体的内接正四面体可得此多面体外接球的直径是次正方体的对角线即可得出【解答】解：由三视图可知：该几何体是正方体的内接正四面体（红颜色）多面体的体积为11=此多面体外接球的直径是此正方体的对角线因此其球的表面积是4=3故答案为：，3【点评】本题考查了正方体的三视图、球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题13已知函数f（x）=是奇函数，则sin=1【考点】余弦函数的奇偶性【专题】三角函数的图像与性质【分析】由条件利用奇函数的定义可得sin（x+）=cosx，故可取=，从而得到sin=1【解答】解：根据函数f（x）=是奇函数，可得sin（x+）=cosx，故可取=，故sin=1，故答案为：1【点评】本题主要考查奇函数的定义、诱导公式，属于基础题14已知点 a（0，2）为圆m：x2+y22ax2ay=0外一点，圆m上存在点t使得mat=45，则实数a的取值范围是a1或a【考点】圆的一般方程【专题】直线与圆【分析】化标准方程易得圆的圆心为m（a，a），半径r=a，由题意可得1sinmat，由距离公式可得a的不等式，解不等式可得【解答】解：化圆的方程为标准方程可得（xa）2+（ya）2=2a2，圆的圆心为m（a，a），半径r=|a|，am=，tm=|a|，am和tm长度固定，当t为切点时，mat最大，圆m上存在点t使得mat=45，若最大角度大于45，则圆m上存在点t使得mat=45，=sinmat=sin45=，整理可得a2+2a20，解得a或a，又=1，解得a1，又点 a（0，2）为圆m：x2+y22ax2ay=0外一点，02+224a0，解得a1综上可得a1或a故答案为：a1或a【点评】本题考查圆的一般式方程和圆的性质，涉及距离公式的应用，属中档题15已知o是abc内心，若=+，则cosbac=【考点】数量积表示两个向量的夹角【专题】平面向量及应用【分析】过o作odac，oeab，因为o是内心，得到四边形adoe是菱形，所以ad=ae=do，由平行四边形法则得到，设ab=5k，过o作ofbc交ab于f，通过数据线相似得到bf，of的长度，在三角形odf中，利用余弦定理求cosdfo【解答】解：如图，过o作odac，oeab，因为o是内心，所以四边形adoe是菱形，并且=+，所以，又ad=ae，所以，设ab=5k，则ac=10k，od=2k，过o作ofbc交ab于f，则4=5，又3=4，所以3=5，所以bf=of，又abcdfo，所以bf：ab=do：ac，则df=k，所以bf=abaddf=5k2kk=2k，所以of=2k，所以cosbac=cosfdo=；故答案为：【点评】本题考查了向量的平行四边形法则以及利用余弦定理求角；关键是适当作出辅助线，将问题转化为解三角形属于难题三、解答题（本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16已知函数f（x）=cos2x（xr）（1）求函数f（x）的最小值和最小正周期；（2）设abc的内角a、b、c的对边分别为a、b、c，且b=30，c=，f（c）=1，判断abc的形状，并求三角形abc的面积【考点】二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数【专题】三角函数的求值【分析】（1）利用两角和差的正弦公式、倍角公式、三角函数的单调性与周期性即可得出；（2）利用三角函数的单调性与周期性可得c，利用直角三角形的边角公式即可得出【解答】解：（1）=，xr，f（x）的最小值是1，故其最小正周期是（2）f（c）=1，又02c2，b=，a=，abc 是直角三角形=2，b=1，设三角形abc的面积为s，s=【点评】本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式、三角函数的单调性与周期性、直角三角形的边角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17已知数列an（nn*，1n46）满足a1=a，an+1an=其中d0，nn*（1）当a=1时，求a46关于d的表达式，并求a46的取值范围；（2）设集合m=b|b=ai+aj+ak，i，j，kn*，1ijk16若a=，d=，求证：2m【考点】数列递推式；元素与集合关系的判断【专题】点列、递归数列与数学归纳法【分析】（1）根据数列的递推关系，进行递推即可，求a46关于d的表达式，并求a46的取值范围；（2）根据数列的递推关系求出b的表达式，即可证明结论【解答】解：（1）当a=1时，a16=1+15d，a31=16+15d，因为d0，或，所以a46（，1446，+）（2）由题意，1n16，令，得i+j+k=7因为i，j，kn*，1ijk16，所以令i=1，j=2，k=4，则2m【点评】本题主要考查递推数列的应用，考查学生运算和推理能力，有一定的难度18在四棱锥pabcd中，底面abcd为直角梯形，adbc，abbc侧面pab底面abcd，pa=ad=ab=2，bc=4（1）若pb中点为e求证：ae平面pcd；（2）若pab=60，求直线bd与平面pcd所成角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定【专题】空间位置关系与距离；空间角【分析】（1）取pc中点f，并连接df，fe，根据已知条件容易说明四边形adfe为平行四边形，从而有aedf，根据线面平行的判定定理即得到ae平面pcd；（2）设b到平面pcd的距离为h，从而直线bd与平面pcd所成角的正弦值便可表示为，bd根据已知条件容易求出，而求h可通过vpbcd=vbpcd求出：取ab中点o，连接po，可以说明po平面abcd，而根据已知条件能够求出sbcd，spcd，从而求出h，从而求得答案【解答】解：（1）证明：如图，取pc的中点f，连结df，ef；efad，且ad=ef，所以adfe为平行四边形；aedf，且ae平面pcd，df平面pcd；ae平面pcd；（2）pab=60，pa=ab；pab为等边三角形，取ab中点o，连接po；则poab；又侧面pab底面abcd，平面pab平面abcd=ab；po平面abcd；根据已知条件可求得po=，sbcd=4，pd=cd=，pc=2，；设点b到平面pcd的距离为h；，；vpbcd=vbpcd；直线bd与平面pcd所成角的正弦值【点评】考查中位线的性质，平行四边形的定义，线面平行的判定定理，以及直角三角形边的关系，面面垂直的性质定理，棱锥的体积公式，线面角的定义19已知抛物线y2=2x上有四点a（x1，y1）、b（x2，y2）、c（x3，y3）、d（x4，y4），点m（3，0），直线ab、cd都过点m，且都不垂直于x轴，直线pq过点m且垂直于x轴，交ac于点p，交bd于点q（1）求y1y2的值；（2）求证：mp=mq【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）利用直线ab过点m（3，0）