高中数学 第二章 数列 2.3.2 等比数列的前n项和（一）课件 新人教B版必修5.ppt

2 3 2等比数列的前n项和 一 第二章 2 3等比数列 1 掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路 2 会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 知识点一等比数列的前n项和公式的推导 对于s64 1 2 4 8 262 263 用2乘以等式的两边可得2s64 2 4 8 262 263 264 对这两个式子作怎样的运算能解出s64 答案 比较两式易知 两式相减能消去同类项 解出s64 即s64 264 1 梳理 设等比数列 an 的首项是a1 公比是q 前n项和sn可用下面的 错位相减法 求得 sn a1 a1q a1q2 a1qn 1 则qsn a1q a1q2 a1qn 1 a1qn 由 得 1 q sn a1 a1qn 当q 1时 由于a1 a2 an 所以sn na1 结合通项公式可得等比数列前n项和公式 知识点二等比数列的前n项和公式的应用 思考 要求等比数列前8项的和 答案 答案 梳理一般地 使用等比数列求和公式时需注意 1 一定不要忽略q 1的情况 2 知道首项a1 公比q和项数n 可以用 知道首尾两项a1 an和q 可以用 3 在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量 a1 n q an sn 知道其中任意三个 可求其余两个 题型探究 类型一等比数列前n项和公式的应用 命题角度1前n项和公式的直接应用例1根据题干中的条件 求相应的等比数列 an 的前n项和sn 1 a1 3 q 2 n 6 解答 a1 3 q 2 n 6 解答 求等比数列前n项和 要确定首项 公比或首项 末项 公比 应特别注意q 1是否成立 反思与感悟 跟踪训练1若等比数列 an 满足a2 a4 20 a3 a5 40 则公比q 前n项和sn 设等比数列的公比为q a2 a4 20 a3 a5 40 20q 40 且a1q a1q3 20 解得q 2 且a1 2 2n 1 2 2 答案 解析 命题角度2通项公式与前n项和公式的综合应用例2在等比数列 an 中 s2 30 s3 155 求sn 解答 方法二若q 1 则s3 s2 3 2 而事实上 s3 s2 31 6 故q 1 1 应用等比数列的前n项和公式时 首先要对公比q 1或q 1进行判断 若两种情况都有可能 则要分类讨论 2 当q 1时 等比数列是常数列 所以sn na1 当q 1时 等比数列的前n项和sn有两个公式 当已知a1 q与n时 用sn 比较方便 当已知a1 q与an时 用sn 比较方便 反思与感悟 跟踪训练2在等比数列 an 中 a1 2 s3 6 求a3和q 解答 由题意 得若q 1 则s3 3a1 6 符合题意 此时 q 1 a3 a1 2 若q 1 则由等比数列的前n项和公式 解得q 2 此时 a3 a1q2 2 2 2 8 综上所述 q 1 a3 2或q 2 a3 8 类型二等比数列前n项和的实际应用 例3借贷10000元 月利率为1 每月以复利计息 王老师从借贷后第二个月开始等额还贷 分6个月付清 试问每月应支付多少元 1 016 1 061 1 015 1 051 解答 方法一设每个月还贷a元 第1个月后欠款为a0元 以后第n个月还贷a元后 还剩下欠款an元 1 n 6 则a0 10000 a1 1 01a0 a a2 1 01a1 a 1 012a0 1 1 01 a a6 1 01a5 a 1 016a0 1 1 01 1 015 a 由题意 可知a6 0 即1 016a0 1 1 01 1 015 a 0 因为1 016 1 061 故每月应支付1739元 方法二一方面 借款10000元 将此借款以相同的条件存储6个月 则它的本利和为s1 104 1 0 01 6 104 1 016 元 另一方面 设每个月还贷a元 分6个月还清 到贷款还清时 其本利和为s2 a 1 0 01 5 a 1 0 01 4 a 故每月应支付1739元 解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数 所谓复利计息 即把上期的本利和作为下一期本金 在计算时每一期本金的数额是不同的 复利的计算公式为s p 1 r n 其中p代表本金 n代表存期 r代表利率 s代表本利和 反思与感悟 跟踪训练3一个热气球在第一分钟上升了25m的高度 在以后的每一分钟里 它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80 这个热气球上升的高度能超过125m吗 解答 用an表示热气球在第n分钟上升的高度 由题意 得an 1 an 因此数列 an 是首项a1 25 公比q 的等比数列 热气球在前n分钟内上升的总高度为 故这个热气球上升的高度不可能超过125m 当堂训练 1 等比数列1 x x2 x3 的前n项和sn等于 答案 解析 1 2 3 4 2 设等比数列 an 的公比q 2 前n项和为sn 则等于 1 2 3 4 答案 解析 方法一由等比数列的定义 s4 a1 a2 a3 a4 a2 a2q a2q2 1 2 3 4 1 2 3 3 等比数列 an 的各项都是正数 若a1 81 a5 16 则它的前5项的和是a 179b 211c 243d 275 4 答案 解析 去年产值为a 今年起5年内各年的产值分别为1 1a 1 12a 1 13a 1 14a 1 15a 1 1a 1 12a 1 13a 1 14a 1 15a 11a 1 15 1 1 2 3 4 4 某厂去年产值为a 计划在5年内每年比上一年产值增长10 从今年起5年内 该厂的总产值为 11a 1 15 1 答案 解析 规律与方法 1 在等比数列的通项公式和前n项和公式中 共涉及五个量 a1 an n q sn 其中首项a1和公比q为基本量 且 知三求二