精选积分习题2.pdf

习 题 6 2 换元积分法和分部积分法 习 题 6 2 换元积分法和分部积分法 求下列不定积分 dx x43 dx x12 2 dx xx ee e3 2x dx 23 2xx dx 1 25 2 x dx sin5xdx xdxx 210 sectan sincos53xxd x cos25xdx 24 45 22 xdx xx sinx x dx x dx x 2 3 4 12 dx xsin1 1 sincos sincos xx xx dx 3 dx xx arcsin 2 2 1 dx xx 2 22 1 94 2 x x dx dx x x x 2 2 1 1tan sincos sin xx x dx 1 4 解解 1 dx x43 1 43 1 ln 43 4434 dx xC x 2 dx x12 2 2 1 2 1 arcsin 2 22 1 2 dx xC x 3 dx xx ee 2 e1e1 ln e12e1 xx xx d C 4 e3 2x dx 3232 11 e 32 e 33 xx dxC 172 5 23 2xx dx 2222 121 22 63 263 2ln2ln62ln3 xxxxxx dxC 6 1 25 2 x dx 2 1115 5 arctan 252510 dxx x C 7 sin5xdx xdxxxdxxcos coscos21 sin cos1 4222 35 21 coscoscos 35 xxx C 8 xdxx 210 sectan 1011 1 tantantan 11 xdxxC 9 sincos53xxdx 111 sin8sin2 cos8cos2 2164 xx dxxxC 10 cos25xdx 11 1cos10 sin10 2220 x x dxxC 11 24 45 22 xdx xx 2 222 45 1 45 45 d xx C xxxx 12 sinx x dx 2 sin2cosxdxxC 13 x dx x 2 3 4 12 33 3 4 34 1 12 2 12 69 12 dx xC x 14 dx xsin1 1 2 1 cot 2424 sin 24 xx dC x 15 sincos sincos xx xx dx 3 2 3 3 sincos 3 sincos 2sincos dxx xx xx C 16 dx xx arcsin 2 2 1 2 arcsin1 arcsin arcsin dx C xx 17 dx xx 2 22 2 1 arctan 1 1 1 d x xC x 18 1 94 2 x x dx 2 22 1 2 1 94 28 9494 dxdx xx 2 121 arcsin94 234 xxC 19 dx x x x 2 2 1 1tan 222 tan 11ln cos 1x dxxC 173 20 sincos sin xx x dx 1 4 2 2 4 1sin1 arctan sin 2 1 sin2 dx xC x 求下列不定积分 dx x 1 2 e dx xx1 2 dx xx x 1 tanarc 1 2 ln ln x xx dx xxd 12 20 x xxdx n2 1 dx xx 42 1 x x dx 2 9 dx x 1 23 dx xa 22 3 xa xa dx x x ax dx 2 dx x12 xx 2 3 1 dx dx x x21 x ax dx 2 22 ax x dx 22 4 dx x11 2 dx x x 34 15 1 dx xx n 1 1 解解 1 dx x 1 2 e 2 2 ln e1 e1 x xx x de eC 2 ln 11 x ex C 2 当时 0 x dx xx1 2 12 222 11 ln 11 dxdxx C x xxx 174 当时 也有相同结果 0 dx xx 42 1 2 22 25 1 11 2 1 1x dxx xx dx 3 22 2 3 1 1 1 3 xx C xx 当时 也有相同结果 0 x x dx 2 9 2 1 22 2 91 3 3 99 9 x xd x xdx dx xx x 2 3 93arcsinxC x 当时 也有相同结果 0 x 注 本题也可令化简后解得 txsec3 9 令 则 txsin 175 dx x 1 23 2 3 2 cos sectan cos 1 tdtx tdttcC t x 10 令taxtan 则 dx xa 22 3 22 222 cos1 sin tx dttcC aa axa 11 xa xa dx 2222 22 ln xa dxxaaxxaC xa 12 x x ax dx 2 dx xax ax dxxaxdx xax x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 xax dx a xax xaxd adxxax 222 3 2arcsin22 22 xaxa axxaaaxxC a 22 33 2arcsin 22 xaxa axxaC a 注 本题答案也可写成 2 3 2 2 xa axx 2 3arcsin 2 x aC a 13 令tdtdxtxxt 2 1 2 2 则 于是 dx x12 ln 12ln 12 1 tdt ttcxx t C 14 令dttdxtxxt 233 3 11 则 于是 xx d 2 3 1 x dttttdttt 2 3 1 3 963323 4710 333 363 1 1 1 4710 xxx C 15 dx x x21 1 222 1 arccos 11 dxdx C x xxx 16 令 则 taxsin x ax dx 2 22 dtt a tdta 2cos1 2 sin 2 22 176 222 22 1 sin2arcsin 2422 aaax ttcx ax a C ta 17 令 则 xcos ax x dx 22 4 xtd a dt t t a tantan 1 cos sin1 2 24 2 2 223 3 223 11 tan 33 ax tcC aax 18 dx x11 2 dx xx x xx dxx 22 2 2 2 1 11 11 22 22 1111 arcsin 2 11 dxdxx xC xx xx 注 本题也可令后 解得 txsin 2 1 arcsintan arcsin 2 11 dx xxC x 19 令 则 1 4 xt dx x x 34 15 1 dt t t dx x x 3 3 4 34 12 1 4 1 1 4 1 232 13311331 1 ln 4444 dtttC ttttt 8 44 442 1331 ln1 444 1 8 1 xxC xx 20 dx xx n 1 1 n n nn x dx n dx xx1 1 1 1 1 11 ln 1ln 1 n n n x xcC nn x 求下列不定积分 xd x e2 x xxdln 1x xx 2 3sin dx x x dx sin2 177 xxdcos2 x arcsin x dx dxxtanarc xdxxtanarc 2 xdxx 2 tan arcsin x x dx 1 ln2x dx xx d 2 ln x esin x xdx5 e sin x x dx 2 ln3 2 x x dx cos ln x dx arcsin xdx 2 xd x e x e x dx 1 ln xx 1 2 dx x 解解 1 xd x e2 x xe2 2 1 22 11 e 21 24 xx dxexC 2 xxdln 1x 2 22 11111 ln 1 1 ln 1 221242 x 2 xxdxxxxx x C d 2 3sin 3 xx x xdxxxx3cos 3 2 3cos 3 1 2 xdxxxxx3sin 9 2 3cos33sin2 9 1 2 2 212 sin3 cos3 9327 xxxx C 4 x x dx sin2 cotcotcotln sinxxxdxxxx C cos2 5 xxdx xdxxxxdxxx2sin 4 1 2sin 4 1 2cos1 2 1 2 2 11 sin2 cos2 48 xxxx C 6 arcsin x dx 2 2 arcsinarcsin1 1 xdx xxxxx x C 7 dxxtanarc 2 2 1 arctanarctanln 1 12 xdx xxxxxC x 8 xdxxtanarc 2 2 23 2 3 3 13 1 6 1 arctan 3 1 13 1 arctan 3 1 x xdx xxxdx x x xx 32 111 arctanln 1 366 2 xxxx C 178 9 xdxx 2 tan xdxxxxdxxxtan 2 1 tan 1 sec 22 2 1 tanln cos 2 xxxx C 10 arcsin x x dx 1 x dx xxxxd 1 2arcsin121arcsin2 2 1arcsin4 1xxx C 11 ln2x dx xdxxxln2ln 22 ln2 ln2xxxxxC 2 ln 12 xx dx 3233 1111 lnln 3339 xxx dxxxx C dx 13 esin x xdx5sin55cos5 xx exex sin55cos5 25sin5 xx exxex dx 所以 esin x xdx5 1 sin55cos5 26 x exx C 14 e sin x x dx 2 xdxedxe xx 2cos 2 1 2 1 xdxee xx 2cos 2 1 2 1 xdxexxexdxexexdxe xxxxx 2cos4 2sin22 cos2sin22cos2cos 从而 xdxe x 2cos 1 cos22sin2 5 x exx C 所以 e sin x x dx 2 x e 2 11 cos22sin2 10 x exxC 15 ln3 2 x x dx dx x x x xx dx x x x x 2 23 2 23 ln 6 ln3lnln 3 ln dx xx xxx 2 23 1 6 ln6ln3ln 32 ln3ln6ln6xxx C x 16 cos ln x dx dx x xxxx 1 sin ln cos ln dxxxxx cos ln sin ln cos ln 所以 179 cos ln x dx 1 cos ln sin ln 2 xxx C 注 若令 则可看出本题与第 13 题本质上是同一种类型题 xtln 17 arcsin xdx 2 xdx x x xxarcsin 1 2 arcsin 2 2 22 1arcsin2 arcsinxxdxx 22 arcsin 2 1arcsin2xxxxx C 18 令xt 则 于是 2 tx xd x e x tdttet 2dttete tt 42 2 dtette tt 4 2 2 2 2 2 22 2 22 tx e ttcexxC 19 令1 xt 则 于是 1 2 tx e x dx 1 1 2 e222 1 2 1 1 ttttx tdttee dte tcexC 20 dxxx 1ln 2 dx x x xxx 2 2 1 1ln 22 ln 1 1xxxx C 4 已知的一个原函数为 xf xx x sin1 sin 求 dxxfxf 解解 由题意 xf 2 2 sin1 sincos sin1 sin xx xx xx x 于是 dxxfxf 22 2 4 1 cossin 22 1sin xx f x df xfxCC xx 5 设 求 xxxf 22 tan2cos sin xf 解解 设 则 xt 2 sin t tt t t x x xtf2 1 1 1 21 sin1 sin sin21 2 2 2 180 从而 xf 2 1 2 ln 1 1 fx dxx dxxxC x 6 设 x x xf 1ln ln 求 dxxf 解解 令 则 xtln t t t e e tfex 1ln 于是 dxxf xx x x deedx e e 1ln 1ln dx e e e e e x x x x x 1 1ln ln 1 1ln 1 ln 1 1 xx xx xxx ee deeC eee 1 ln 1 xx ee xC 7 求不定积分 dx xx x cossin cos 与 dx xx x cossin sin 解解 记 1 I dx xx x cossin cos 2 I dx xx x cossin sin 则 1 I 2 I 1 dxxC 1 I 2 I 2 sincos ln sincos sincos dxx xxC xx 于是 1 I 1 ln sincos 2 xxx C 2 I 1 ln sincos 2 xxxC 8 求下列不定积分的递推表达式 为非负整数 n In xdx n sin In xdx n tan In dx x n cos In xx d nsin x In e sin xn x dx In dxxx n ln In x x dx n 1 2 In dx xx n 1 解解 1 In xdx n sin xdxxnxxxxd nnn2211 cossin 1 cossincossin dxxxnxx nn sin1 sin 1 cossin 221 1 2 sincos 1 II n n xxn n 于是 181 1 2 11 IsincosI 2 3 4 n nn n xxn nn 其中 01 I IcosxCx C 2 In xdx n tan 2 222 Itantan 1 sectan n nn xxddxxx 4 3 2 Itan 1 1 2 1 nx n n n 其中 01 ln cosIxC IxC 3 In dx x n cos xdx x x n x x x xd nnn sin cos tan 2 cos tan cos tan 122 II 2 cos tan cos cos1 2 cos tan 2n 2 2 2 n nnn n x x dx x x n x x 于是 In 4 3 2 I 1 2 cos sin 1 1 2 1 n n n x x n n n 其中 01 ln sectanIxC IxxC 4 In xx dx nsin xdxxnxxxdx nnn coscoscos 1 xdxxnnxnxxx nnn sin 1 sincos 21 4 3 2 I 1 sincos 2 1 nnnxnxxx n nn 其中 01 cos cossinIxC IxxxC 5 In e sin xn x dx dxxxnxe nxnx cossinesin 1 dxxxxnnxxnexe nnxnxnx sincossin 1 ecossinsin 221 II 1 cossinsin 2 1 nn nxnx nnnxxnexe 于是 In 4 3 2 I 1 1 cossin sin 1 1 2 2 1 2 n n nn xxnxe n n nnx 其中 01 1 sincos 2 xx IeC IexxC 6 当1 时 182 In dxxx n ln 1 1 1 lnlnln 1 nn xdxxC n 当1 时 In dxxx n ln dx x xxnxx nn 1 lnln 1 1 111 3 2 1 I 1 ln 1 1 1 1 n n xx n n 其中 1 0 1 1 IxC 7 In x x dx n 1 2 dxxxnxxxdx nnn222121 1 1 11 dx x xx nxx n n 2 22 21 1 1 1 1 II 1 1 2 21 nn n nxx 于是 In 4 3 2 I 1 1 1 2 21 n n n xx n n n 其中 2 01 arcsin 1IxC IxC 8 In dx xx n 1 dx x x n x x x xd nnn 1 1 2 1 2 1 2 II 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 nn n n n n x x dx xx x n x x 于是 In 2 3 4 nI 22 321 1 1 1 1 n n n n x x n 其中 0 2 1 IxC 1 11 ln 11 x IC x 9 导出求 axb dx xx 22 2 axb dx xx 22 2 和 axbxxdx 22 2 型不 定积分的公式 解解 axb dx xx 22 2 22222 22 2 2 2 x dx ab xx xxda 183 22 2222 22 22 2222 ln ln2arctan 2 ln2ln 2 2 ba axC x abax xxC xaba xxC x 22 2 axb dx xx 22 22 2 2 2 ad xx xx 22 2 dx ba xx 22 2a xx 22 ln2baxxxC axbxxdx 22 2 2222 2 2 2 a