精选积分习题3.pdf

习 题 6 3 习 题 6 3 求下列不定积分 dx xx 11 2 23 11 22 x xx dx x dx xxx 123 23 dx xxxx 22 4445 2 3 1 3 x dx dx xx 42 1 xx xx dx 4 2 54 54 x xx dx 3 3 1 56 x x dx 2 4 1 dx x41 dx xxx 22 11 x x x dx 2 3 1 1 x xx dx 2 22 2 1 1 1 7 7 x xx dx x xx dx 9 1052 22 x x dx n n 31 22 1 解解 1 dx xx 11 2 dx xxx 2 1 1 1 1 1 2 1 111 ln 412 1 x C xx 2 dx xx x 1 1 32 22 设 1 1 32 22 xx x 1 2 x BAx 1 2 x DCx 则 32 1 1 22 xxDCxxBAx 于是 186 3 2 0 0 DB CA DB CA 解得 2 3 2 3 1 1 DBCA 所以 dx xx x 1 1 32 22 dx xx dx x x x x 1 1 1 1 2 3 11 2222 2 2 11313 lnlnarctan 21412 xx xC xx 3 x dx xxx 123 23 设 32 3 2 1 xxx x 2 2 21x C x B x A 32 3 3 3 x F x E x D 则 3332 3 1 3 2 1 3 2 xxCxxxBxxA xxxFxxxExxxD 2222 2 1 3 2 1 3 2 1 令 得到1x 1 8 A 令2x 得到2C 令3x 得到 3 2 F 再比较等式两边 5 x 4 x的系数与常数项 得到 0 1312110 1085427361240 ABD ABCDE ABCDEF 于是解得 2 3 4 13 8 41 2 5 8 1 FEDCBA 即 32 3 2 1 xxx x 322 3 2 3 3 4 13 2 2 3 8 41 2 5 1 8 1 xxxxxx 所以 187 x dx xxx 123 23 41 402 1 3 2133 ln 8 1 2 24 3 4 3 x C xxxxx 4 222 54 44 xxxx dx 2222222 54 1 54 44 1 54 44 1 xxxxxxxxxx 2222 54 1 54 1 44 1 xxxxxx 所以 222 54 44 xxxx dx 22 2 1 2 2arctan 2 1 x xd x x 2 123 arctan 2 22 45 2 x xC xxx 5 3 1 3 x dx 12 3 1 1 2 1 1ln 1 2 1 1 22 2 2 xx dx xx xxd xdx xx x x 2 12 ln1ln 1 3arctan 23 x 1 xxxC 6 解一 dx xx 42 1 dx xxxx xx 1 1 1 1 2 1 22 33 1 1 2 1 2 xx dxx 1 1 2 1 2 xx dxx 14 1 1 1 4 1 22 2 xx dx xx xxd 14 1 1 1 4 1 22 2 xx dx xx xxd 2 2 1112121 ln arctanarctan 412 333 xxxx C xx 188 解二 1 1 2 1 1 1 2 1 1 24 2 24 2 24 xx dxx xx dxx xx dx 11 1 11 arctanln 412 33 xxxx C xx 1 22 2 1111 lnarctan 412 33 xxx C xxx 注 本题的答案也可以写成 2 22 1113 lnarctan 4112 3 xxx C xxx 7 dx xx xx 45 45 2 4 45 45 2 4 xx xx 4 80 215 2 x xx 所以 dx xx xx 45 45 2 4 32 15 2180ln4 32 xxxx C 8 dx xx x 65 1 3 3 6 22 4 1 1 4 1 1 6 1 75 1 65 1 223 3 xx x xxxx x xx x 所以 32 32 11 1 432 lnarctan 56864 2323 xx dxxC xxxx 1x 9 x x dx 2 4 1 22 111111 lnarctan 211412 x dxxC xxx 10 dx x41 dx x41 dx xx x xx x 12 2 1 4 2 12 2 1 4 2 22 189 dx xxxxxx xx 12 1 12 1 4 1 12 12 ln 8 2 222 2 2 2 2212 ln arctan 21 arctan 21 8421 xx xxC xx 11 dx xxx 22 11 dx x x xx x 11 1 22 22 222 11111121 lnlnarctan 21212133 xxdxxxx C xxxx 12 x x x dx 2 3 1 1 x dx dx x xx dx xx xxx 1 1 1 3 2 3 332 3 3 3 1 ln 3 1 1x x dx x x 3 3 2 1 ln 3 1 1 1 1 1 3 1 x x dx xx x x 3 3 22 2 1 ln 3 1 12 1 1 1 6 1 1ln 3 1 x x xx dx xx xxd x 3 2 3 1112111 ln1ln 1 arctanln 36333 xx xxxC x 2 21121 ln1ln 1 lnarctan 3633 x xxxxC 13 x xx dx 2 22 2 1 dx xx xxx 22 2 1 11 dx xxxx x xx 22222 1 1 2 3 1 12 2 1 1 1 22 1 22113 2421 2 arctanarctan 2 1 2 31333 33 x xx C xxxx 2 4211 arctan 133 xx C xx 14 1 1 7 7 x xx dx dx xx x 1 1 7 7 dx x x 7 6 1 2 dx x 1 7 7 17 2 x dx 190 7 2 lnln 1 7 xxC 15 x xx dx 9 1052 22 225 5 2510 510 1 1 1 5 1 22 22 10 1 x xd xx xxd 5 5 105105 111 arctan 1 10 22 10 22 10 x xC xxxx 5 5 105 21 arctan 1 10 22 10 x xC xx 16 x x dx n n 31 22 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 22n nn n n x dx n dx x x n 222 1111 arctan 2121212 nnn n nnn xdxx xC n xnxn xn 在什么条件下 f x axbxc x x 2 2 1 的原函数仍是有理函数 解解 f x axbxc x x 2 2 1 可化为部分分式 2 1 1 x C x B x A 于是 cbxaxCxxBxxA 22 1 1 要使f x axbxc x x 2 2 1 的原函数为有理函数 必须0 0 BA 由此可 得 0 0 ca 设是一个 次多项式 求 px n n dx ax xp n n 1 解解 由于 px n n k k k n ax k ap 0 所以 dx ax xp n n 1 1 0 kn n k k n ax dx k ap 1 0 1 ln kn n nn n k k papa xaC k nkxan 191 求下列不定积分 x x dx 24 xbax dx dx xx x 2 2 1 x x x dx 2 4 1 1 xx xx dx 11 11 x x dx 1 1 dx xx 1 dx xx 42 1 dx xx 4 dx x x 3 8 2 1 4 dx xx 21 23 dx xx1 4 4 解解 1 x x dx 24 dxxx x xxd42 2 1 42 2 42 2 1 3 1 24 24 212 x xxC 1 1 24 6 xxC 2 不妨设 ba x0 x时可得到相同的答案 5 xx xx dx 11 11 1 11 2 2 2 xx dx dx xx 2222 111 1 1ln1 222 xxdxxx xxx C 注 本题也可通过作变换 1 1 x x t来求解 6 x x dx 1 1 22 2 1 1ln1 1 x dxxxxC x 注 本题也可通过作变换 1 1 x x t来求解 7 dx xx 1 cxxx x dx 1 2 1 ln 4 1 2 1 2 2ln 1 xxC 8 设 txtan 则 dx xx 42 1 td t t t tdt tt tdt sin sin sin1 sin cos sectan sec 4 2 4 3 4 2 2 2 33 1121 1 3sinsin3 x cx ttx C 9 设dttdxtxxt 34 4 4 则 于是 dx xx 4 dt t t tt dtt 1 1 14 4 2 3 244 244ln1244ln1tttcxxx C 193 10 设dt t t dx t t x x x t 23 2 3 3 3 1 15 1 4 1 4 则 于是 dx x x 3 8 2 1 4 dttdx t tt t 4 23 223 2 5 3 1 15 25 1 5 5 3 334 25251 x tcC x 11 设dt t t dx t t x x x t 23 2 3 3 3 1 9 1 2 1 2 则 于是 dx xx 21 23 323 23 1 3 1 9 3 11 t tdt dt t tt t dt tt t t1 1 1 1 2 c t ttt 3 12 arctan3 1ln 2 1 1ln 2 c x x x x x x x x 3 1 1 2 2 arctan3 1 1 2 1 2 1 1 2 ln 2 1 3 33 2 2 3 33 33 3 31 ln 12 3arctan 231 xx22 xxC x 12 设1 1 4444 txxt 于是 44 1xx dx dt tttt dtt 1 1 1 1 2 1 1 224 3 44 44 44 1111111 lnarctanlnarctan 1 41242 11 tx tcxC t x 设是u v的有理函数 给出 R u v w w R xaxbx dx 的求法 解解 设xat 则 194 R xaxbx dx tdtbattatR 2 22 再令utbat 2 则 u uab t 2 2 从而 R xaxbx dx du u uba u uab u uab u uab a u uab R 2 2222 2 2 2 2 2 2 2 2 为有理函数的积分 求下列不定积分 dx x45 cos dx x2 sin dx x3 2 sin dx xx1 sincos dx xx25sincos dx x cos sin2 x xx dx sintan dx xaxbsin cos dxaxx tan tan sincos sincos xx xx dx dx xxsincos 22 sin sin 2 2 1 x x dx 解解 1 设 2 tan x u 则 22 2 1 2 arctan2 1 1 cos u du dxux u u x 于是 dx x45 cos 2 3tan 2131 2 lnln 9333 3tan 2 x duu cC x uu 2 设 2 tan x u 则 22 1 2 arctan2 1 2 sin u du dxux u u x 于是 dx x2 sin c u uu du 3 12 arctan 3 2 1 2 2tan1 2 2 arctan 33 x C 195 3 dx x3 2 sin 2 22 csccot13 arctancot 3csc143cot22 3 xdxdx xC xx 注 本题也可通过作变换 2 tan x t 解得 dx x3 2 sin 313 arctan tan arctan 3tan 6263 xx C 2 4 dx xx1 sincos dx x x xxx dx 1 2 tan2 2 sec 2 cos2 2 cos 2 sin2 2 2 1 tanln tan1 22 tan1 2 xx dC x 5 设 2 tan x u 则 22 2 2 1 2 arctan2 1 1 cos 1 2 sin u du dxux u u x u u x 于是 dx xx25sincos 9 5 3 1 3 1 2232 2 u du uu du 3tan1 1311 2 arctanarctan 5555 x u cC 6 dx xx cos sin2 cos1 cos2 cos sin cos2 sin 22 xx xd xx xdx xd xx xx cos cos1 cos2 cos1cos2 3 1 2 x xd 2 cos1 cos 3 1 xd xx cos cos2 1 cos1 1 3 1 2 3 11 cos11 cos1 1 cos 2cos lnlnln 61 cos32cos6 1 cos xxxx cC xxx 7 xx dx sintan cos1 cos1 coscos cos1 sin cos 2 xx xxd xx xdx 196 222 cos1 cos 2 1 cos1 cos 2 1 cos cos1 cos1 cos1 cos1 2 1 x xd x xd xd xx xx 11 cos1 ln 41cos2 1cos x C xx 2 11 ln tantan 2242 xx C 8 dx xaxbsin cos dx bxax bxax ba cos sin cos cos 1 1cos sin 1sin ln cos sin cos cos cos xaxbxa dxC abxaxbabxb 9 dxaxx tan tan 当 2 k a 时 原积分容易求得 当 2 k a 时 dxaxx tan tan tan tan 1 tan xax dx a 1cos ln tancos x xC axa 10 sincos sincos xx xx dx dx xx xx cossin 1 cos sin 2 1 2 4 4 csc 22 1 cos sin 2 1 xdxxx 11 sincos ln tan 222 2 x 8 xxC 11 dx xxsincos 22 x dx x dx xx dxxx 2222 22 sincoscossin cos sin tancotxxC 2cot2xC 12 sin sin 2 2 1 x x dx 2 22 1 sin1tan 1 sin12tan xdx dxx xx 1 arctan 2 tan 2 xxC 197 求下列不定积分 x x dx x e 1 2 ln x x dx 1 2 32 ln 22 1xx dx xx dln2 x xx x2 e sin dx ln 1 2 xdx xx x dx 2 2 1 arcsin dx xxx32 1 2 dxxtanarc xxsin dx xx x dx sin cos1 1 sin cos x x dx sin cos 2 3 x x dx e cossin cos sinx xxx x dx 3 2 dx x ee x xbxa dx 2222 cossin 0 ab x xxx dx 3 3 x x x dxln 1 1 1 2 xxarcsin dx dx x e 1 2 解解 1 x x dx x e 1 2 C x e dxxee xx x x dx x xx x x 1 1 1 1 e 1 1 e 2 ln x x dx 1 2 32 2 22 1 ln 1 1 ln 2 1 2 1 x dx x x x x x xd Cxxx x x 1ln ln 1 2 2 3 ln 22 1xxdx dx x x xxxxx 2 222 1 1ln 2 1 ln 22222 2 1 ln 1 2 1ln 1 21 1 xxxxxxx x dx Cxxxxxxx 2 1ln 12 1 ln 2222 198 4 xx dxln2 xdxxxxdxxln 3 4 ln 3 2 ln 3 2 2 1 2 2 3 2 3 2 Cxxxdxxxxx 8ln12ln9 27 2 9 8 ln4ln3 9 2 2 2 3 2 1 2 2 3 5 xxdx x2 e sin dxxxxxexxxdx xxx cossin2 sineesin 222 dxxxxxxxxxxxx xx sincos4sin2 e cossin2sin e 222 于是 xxdx x2 e sin dxxxxxxxxxx xx cos4sin2 e 2 1 cossin2sin e 2 1 22 由于 Cxxexdxe xx cos sin 2 1 sin dxxxxexxexdexxdxxe xxxx sin coscoscoscos xxx xdexxdxexxesincoscos dxxxxexdxexxxe xxx cos sincos sin cos 从而 xdxxe x cos dxxxexxxe xx sin cos 2 1 sin cos 2 1 Cxexxxe xx sin 2 1 sin cos 2 1 所以 xxdx x2 e sin Cxxxxex cos 1 sin 1 2 1 22 6 ln 1 2 xdx 1ln 2 xxCxxxxdx x x arctan22 1ln 1 2 2 2 2 7 xx x dx 2 2 1 arcsin 2 1arcsinxxdx dx x x xxxxx 1 arcsin1arcsin1 2 22 199 xdx x x xxxxarcsin 1 1 2 1 arcsin1 2 2 22 xxdxxxxarcsinarcsin 2 1 arcsin1 22 xx x dx 2 2 1 arcsin 所以 xx x dx 2 2 1 arcsin Cxxxxx 222 arcsin 4 1 4 1 arcsin1 2 1 8 dx xxx32 1 2 1 21 321 1 dx xx C x x xd x 2 3 arcsin 3 1 3 1 3 1 9 4 3 1 1 21 注 本题也可通过作变换 3 1 x x t 解得 C x x xxx dx 3 33 arctan 3 2 32 2 9 dxxtanarc x xd xxxxd x x xx 1 arctan 1 arctan Cxxx arctan 1 10 令 2 txxt 则 于是 xx dsin x tdtttttdttcos4cos2sin 22 2 ctttttdttttt sin4cos24sin4sin4cos2 22 Cxxxx sin4cos24 11 xx x dx sin cos1 dx x x 2 cos2 2 x xd cos1 cos1 cos1ln 2 tan 2 tanxdx xx x C x x 2 tan 200 12 1 sin cos x x dx xd x x x x xd x x sin sin1 sin1 sin1 sin1 2 1 sin sin1 sin1 2 xxd x x sin1sin sin1 sin1 2 1 在等式右边的积分中 令xtsin1 则 xd x x sin sin1 sin1 C t t t t dt t t dtt 2 2 ln22 2 42 2 2 22 2 所以 1 sin cos x x dxC x x sin12 sin12 ln 2 2 13 sin cos 2 3 x x dx dx