解不等式习题精选精讲.pdf

均值定理的拓广均值定理的拓广 在高中数学教材中 均值不等式几乎涉及高中数学的所有章节 且在每年的高考题中常考常新 其题型主要以大小判断 求最值 求参数的取值范围以及最值时刻等几个方面出现 在高考的考试说明中也明确地要求学生能熟练地掌握均值不等 式的适用条件及适用情境 高中教材中对均值定理的叙述是 1 定理 如果 a b 是正数 那么ab ba 2 当且仅当 a b 时取 号 22 2 2211 abab ab ab 2 定理 如果 a b c 是正数 那么 3 3 abc cba 当且仅当 a b c 时取 号 我们称 2 ba 3 cba 为 a b a b c 的算术平均数 称ab 3 abc 为 a b a b c 的几何平均数 因而这一定理又可叙述为 两个 或三个 正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 事实上 由数学归纳法可把这 一定理拓广为 n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 用均值不等式求函数的最大 小 值是高中数学的一 个重点 在运用均值定理求函数的最大 小 值时 往往需要掌握 凑 凑项 凑因子 的技巧 其目的 一 是创造 一个应用不等式的情境 二 是使等号成立的条件 例 1 边长为cba 的三角形 其面积等于 4 1 而外接圆半径为 1 若 cba tcbaS 111 则 S 与t的 大小关系是 A tS B tS C tS 即tS 故选 C 例 2 若正数ba 满足3 baab 则ab的取值范围是 1999 年全国高考题第 15 题 解 Rba abba2 323 abbaab 032 abab 0 1 3 abab 1 ab 舍去 或3 ab 3 ab 然而有些题由于解析式自然 从形态上看根本凑不出定值 或虽凑出定值而其等号又不能成立 对于这样的题目 学生往往为很难用甚至不能用均值定理而感到束手无策 这时就常需对函数式作 添 裂 配 凑 变形 使其完全满足 均值定理要求的 正 定 等 条件后方可用之 故对变形能力的要求较高 但若把均值定理拓广为下述 含参均值定理 那么便可避免复杂变形的情况 含参均值定理的叙述是 Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software For evaluation only 如果 a b c R 参数 R 21 那么 1 abba 2 22 当且仅当ba 时取 号 2 abba2 当且仅当ba 时取 号 3 3 2121 3abccba 当且仅当cba 21 时取 号 正参数 21 由 值定 可等 确定 这样可使原来不能同时成立的条件得到满足 从而求出最值 例 1 求函数 2 1 0 21 2 则 3 2 3 2 3 1 22 1 3 21 2 1 xxx y 当且仅当022 21 xx即 3 1 1 x 时取等号 此时 27 1 max y 若所含因子仅幂次不同 则不需增加参数的个数 例 2 求 10 1 2 则 321 2 21 21 3 1 1 1 1 1 1 1 1 ttt tttttty 32121 21 3 1 1 t 当且仅当01 1 1 2121 ttt 即 3 3 2 13 2 13 21 t 时取等号 此时 9 32 max y 类似地可求得函数 2 0 cossin 2 不同号 2 1 i k一类函数的最值 问题 例 3 求函数 0 0 cos3sin4 43 xxy的最小值 解 设0 0 21 cos3 sin2sin2 212 4 1 33 xxxy Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software For evaluation only 则 cos32sin43 21 4 2 3 6 1 xxy cos32sin43 21 2 2 2 3 1 xx 当且仅当 2 3 1 4 2 3 1 3243 cos3 sin2 xx 即 2 15 sin 2 53 2 9 452 21 x 时取等号 此时可求得 2 755 max y 依照上例还可拓广为求某 些形如xbxay nm cossin 与NnmRbaxbxay nm cossin且 2 nm的函数的最值问题 当函数的解析式变量多 项数多 系数无一定规律时 如果直接用均值定理求其最大 小 值一般较为困难 此时 便可通过 设参 定参 并把表达式进行适当的化分或重组 创设使用含参均值定量的情景 然后利用含参均值定理加 以解决 例 4 已知02 yzxy 求 yzxy zyx 2 222 的最小值 解 设0 0 21 yzzyxyyx 2 22 21 22 1 22 22 xyyx2 1 2 1 2 1 1 yzzy2 2 1 2 2 2 22 2 由 1 2 得yzxyzyx 2 2 1 2 1 2 2 22 2 2 1 为 使 该 式 左 端 作 为 目 标 函 数 的 分 子 须 令 2 2 1 1 2 1 2 1 解得 2 5 1 于是有yzxyzyx 2 222 1 故 5 52 5 21 2 1 222 yzxy zyx 即 yzxy zyx 2 222 的最小值为 5 52 例 5 1997 年全国高考题第 22 题 甲 乙两地相距 S 千米 汽车从甲地匀速行驶到乙地 速度不得超过 C 千米 小 时 已知汽车每小时的运输成本 以元为单位 由可变部分和固定部分组成 可变部分与速度 v 千米 时 的平方成正比 比例系数为 b 固定部分为 a 元 1 把全程运输成本 y 元 表示为速度 v 千米 时 的函数 并指出这个函数的定义域 2 为了使全程运输成本最小 汽车以多大速度行驶 解 1 依 题 意 可 知 汽 车 从 甲 地 匀 速 行 驶 到 乙 地 所 用 的 时 间 为 v S 全 程 运 输 成 本 为 2 bv v a S v S bv v S ay 故所求函数及其定义域为 0 cvbv v a Sy Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software For evaluation only 2 若c b a abbv v a bv v a 22 当且仅当 b a v 时取等号 b a v b a v 时 abSy2 max 若c b a 设a 时 行驶速度为cv 千 米 时 由以上各处例子可以看出 在均值定理中适当地增加参数 使其拓广为含参均值定理 可使条件与结论间的联系得 以加强 使均值定理的应用更加如虎添翼 更简捷明快地解决某些难度较大的函数最值问题 解简单的不等式解简单的不等式 1 解不等式 x 2 x 1 x 1 x 4 6 x 0 解 解 对于任何实数 x x 2 x 1 0 恒成立 所以原不等式等价于 x 1 x 4 6 x 0 x 1 x 4 x 6 0 所以原不等式的解为 x 1 或 4 x 6 2 2解不等式 12134 352 2 2 xx xx 0 解 解 原不等式即 4 34 3 12 xx xx 0 它相当于 4 3 x4 x 2x 1 x 3 4x 3 x 4 0 4 3 x 2 1 或 3 x 4 3 3 解不等式 x 5 2x 3 1 解法一 解法一 当 x 2 3 时 5 x 2x 3 1x 7 当 2 3 x 5 时 5 x 2x 3 1 3 1 x 此时不等式的解为 5 3 1 3 1 5 2 3 当 x 5 时 x 5 2x 3 9 x 5 由 可知原不等式的解集为 5 5 3 1 7 即 x 3 1 解法二解法二 原不等式化为 x 5 2x 3 1 两边平方得 x 2 10 x 25 3x2 22x 15 4x 6 3x 2 22x 15 3x 26x 9 0 x 3 1 或 4x 60 x1 原不等式的解集为 1 7 3 1 9 即 x 3 1 4 已知不等式 0 6 23 baxba 与不等式 01 1 3 22 aaxaa 同解 解不等式 0 3 2 2 3 abxba 解 解 Ra 01 2 aa 01 1 3 22 aaxaa 的解为 3 1 x Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software For evaluation only 6 23 baxba 中 0 23 ba 解 ba ba x 23 6 由题意 ba ba 23 6 3 1 043 ba 代入所求 062 bbx 3 x 5 1998 年全国高考 设 a b 解关于 x 的不等式a2x b2 1 x ax b 1 x 2 解析将原不等式化为 a2 b2 x b2 a b 2x2 2 a b bx b2 移项 整理后得 a b 2 x2 x 0 a b 即 a b 2 0 x2 x 0 即 x x 1 0 解此不等式 得解集 x 0 x 1 6 1995 年全国高考 x x 2 8 3 3 1 2 的解集是 解析这是一个指数不等式 基本解法是化为同底的 指数形式 然后利用指数函数的单调性转化为整式不等式 原不等式即 xx2 8 33 2 也就是 x2 2x 8 0 解得 2 x 4 故 原不等式的解集为 x 2 x0 1 当 a 1 时 解为 xa 2 当 a 1 时 解为 x R 且 x 1 3 当 a 1 时 解为 x1 例 2 解关于 的不等式x x x a 1 1 解 解 原不等式同解于 axa x 1 1 0 xaxa110 当时 有axx a a 01 1 0 即 xx a a 1 1 0 注意到 a a 1 1 解集为 x a a x 1 1 当时 有 axx x 0101 当时 有axx a a 01 1 0 注意到 a aa 1 1 1 1 解集为或 x xx a a 1 1 例 3若 a 0 解不等式 x 2 a x 2 1 解析怎样对参数a进行分类讨论 必须先对原不等式等价变形 x 2 a x 2 1 x axax2 2 2 0 x x 2 x a 0 于是得到必须将 a 与 2 0 进行比较分类 当 a 0 时 解集为 x x 2 或 0 x a 当 2 a 0 时 解集为 x x 2 或 a x 0 当 a 2 时 解集为 x x 0 且 x 2 当 a 2 时 解集为 x x a 或 2 x 0 例 4例 4解关于 x 的不等式 m 1 x 2 4x 1 0 m R 分析分析 此题是含参数 m 的不等式 首先应根据 m 1 是否取 0 确定原不等式是一元一次不等式还是一元二次不等式 若 m 1 不等于零 还要按 m 1 的值为正或负及关于 x 的二次三项式的判别式的符号为分类标准对 m 取一切实数的情形进行分类 求出原不等式的解 解解 当 m 1 时 4x 1 0 x 4 1 当 m 1 时 16 4 m 1 4 3 m 当 m 3 时 方程 m 1 x 2 4x 1 0 才有解 1 32 m m x下面以 m 与 1 和 3 的大小关系作为分类标准来讨论 当 m 1 时 m 1 0 且 1 32 m m 1 32 m m 此时原不等式的解集为 1 32 m m 1 32 m m Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software For evaluation only 当 1 m0 且 1 32 m m 1 32 m m 此时原不等式的解集为 1 32 m m 1 32 m m 当 m 3 时 解集为 2 1 当 m 3 时 解集为空集 例 5 解不等式 a axax 2 解 解 原不等式等价于 a ax ax a axax 0 20 2 2 当时 原式a xa x a xxa a x a 0 2 430 3 42 当时 原不等式化为 或 a xa x a x a x ax a 0 2 3 4 0 3 4 当时 原不等式化为 axx 0200 例 6 2000 年全国高考题 设函数axxxf 1 2 其中0 a 解不等式 xf 1 2 略 解析不等式1 xf即axx 11 2 由此得ax 11 即0 ax 其中常数0 a 所以 原不等式等价于 0 1 1 22 x axx 即 02 1 0 2 axa x 所以 当10 a时 所给不等式的解集为 1 2 0 2 a a xx 当1 a时 所给不等式的解集为 0 xx 解抽象函数型不等式解抽象函数型不等式 所谓抽象函数型不等式 即不等式与一个抽象函数有关 同时已知抽象函数的定义域 奇偶性或单调性等 这一类不 等式的解法是先根据单调性去掉函数符号 转化为一般不等式来解 但一定要注意定义域 例 15设 f x 是定义域为 0 0 的奇函数 且在 0 上为增函数 若 f 1 0 解关于 x 的不等式 f loga 1 x 2 1 0 其中 a 1 解析由于 f x 是奇函数 且在 0 上为增函数 所以它在 0 上也为增函数 又由于 f 1 f 1 0 于是原 不等式等价于 111log 011log 2 2 x x a a 或 111log 011log 2 2 x x a a 由 得 x 2 0 所以解集为 由 解得 2 1 1 1 1 a x a 故原不等式的解集为 x 2 1 1 1 1 a x a 或 a x a 1 1 1 1 2 例 16已知偶函数 f x 在 0上是增函数 求解不等式 f 2x 5 f x2 2 解析由题意知 f x 在 0上单调递增 在 0 上单调递减 由偶函数定义知不等式 f 2x 5 f x2 2 即 Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software For evaluation only f 2x 5 f x2 2 也就是 2x 5 3 解 2 得 2 5 x 故原不等式的解集为 3x1 或xx 例 17已知函数 f x 是定义在 1 1 上的函数 且 f 1 1 f x f x 若 a b 1 1 a b 0 有0 ba bfaf 试解不等式 1 1 2 1 x fxf 解析先要由已知条件判断函数 f x 的单调性 因为当 x 1 1 时 f 1 1 f x f x 所以 f x 在 1 1 上是奇函 数 且令0 ba bfaf 中 b 为 b 得0 ba bfaf 从而知函数 f x 在 1 1 上为增函数 于是 1 1 2 1 x fxf 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 x x x x 2 3 11 02 2 1 2 3 xx xx x 或 或1 2 3 x 故原不等式的解集为 1 2 3 求参数的值或范围 已知含参不等式的解集 求参数的值或范围也是高考中不等式问题中的一种常见题型 基本解法是先将参数看成常数 按常规方法来解不等式 然后再根据所给定的解集求出参数的值或范围 例 19 2003 年北京春招 若不等式6 2 ax的解集为 1 2 则实数 a 等于 A 8B 2C 4D 8 解析原不等式两边平方后可化为 a2x2 4ax 320 且 2 1 1 a 解得 a 2 1 例 6 不等式 11 22 xx bx xx ax 的解为 1 3 1 求a b 解 解 Rx 1 2 xx 1 2 xx 恒为正 1 1 22 xxbxxxax 得 0 2 2 baxbaxba 依题意 0 2 2 baxbaxba 的根为3 1 1 Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software For evaluation only 3 1 1 2 3 1 1 2 02 ba ba ba ba ba 2 3 2 5 b a 不等式恒成立问题不等式恒成立问题 容易证明如下结论 若函数在 D 上存在离大值 f x max 或最小值 f x min 则对一切 x D 不等式 f x A 或 f x B 恒成立当且仅当 f x max A 或 f x min B 应用这一结论处理不等式恒成立问题很方便 现举例说明 例 1例 1 求使不等式 sin 2 x acosx a 2 1 cosx 对一切 x R 恒成立的负数 a 的取值范围 解 原不等即 cos 2 x 1 a cosx a 2 0 令 cosx t 由 x R 知 t 1 1 于是 对一切 x R 恒成立当且仅当 f t t 2 1 a a 2 0 对一切 t 1 1 恒成立 其充要条件 f t 在 1 1 上的最大值 f t max 0 而 f t max f 1 或 f 1 因此 对一切 t 1 1 恒成立当且 0 1 1 1 011 1 0 2 2 aaf aaf a 10 12 0 aa aa a 或 或 a 2 故所求的 a 的范围为 2 例 2 定义在 R 上的函数 xf既是奇函数 又是减函数 且当 2 0 时 有 022sin2cos2 mfmf 恒成立 求实数 m 的取值范围 分析 利用函数的单调性和奇偶性去掉映射符号 f 将 抽象函数 问题转化为常见的含参的二次函数在区间 0 1 上恒为 正的问题 而对于 xf0 在给定区间 a b 上恒成立问题可以转化成为 xf在 a b 上的最小值问题 若 xf中含有参 数 则要求对参数进行讨论 解析 解析 由 022sin2cos2 mfmf 得到 22sin2cos2 mfmf 因为 xf为奇函数 故有 22sin2cos2 mfmf 恒成立 又因为 xf为 R 减函数 从而有22sin2cos2 mm 对 2 0 恒成立 设t sin 则0122 2 mmtt对于 1 0 t恒成立 t g t o 1 图图 1 t g t t m t m Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software For evaluation only 在设函数 122 2 mmtttg 对称轴为mt 当0 mt时 0120 mg 即 2 1 m 又0 m 0 2 1 m 如图 1 当 1 0 mt 即10 m时 01244 2 mmm 即012 2 mm 2121 m 又 1 0 m 10 m 如图 2 当1 mt时 0212211 mmg恒成立 1 m 如图 3 故由 可知 2 1 m 例 3 若不等式 2x 1 m x2 1 对满足 2 m 2 的所有 m 都成立 求 x 的取值范围 分析 从表面上看 这是一个关于 x 的一元二次不等式 实质上可看作是关于 m 的一元一次不等式 并且已知它的解 集为 2 2 求参数 x 的取值范围 这是一种 转换主元 的思想方法 解 解 原不等式化为 x2 1 m 2x 1 0设f m xmxm 2 12122 若 即xx 2 101 xf m 10时 xf m 10时 x1 x210 时 由题意有 fxx fxx 221210