考研高等数学暑期模拟习题精选三.pdf

设 为连续函数 求 其中 为由平 面 所围成的空间区域 计算 槡 槡 槡 设 为平面曲线 计算 设 为双纽线 的右面部分 计算 设 为曲线 上从点 到点 的弧段 计算 计算曲面积分 其中 为锥面 槡 在柱体 内的部分 设 为球面 的上半个 计算 求 为锥面 槡 与平面 所围区域的全部界面 计算 求由曲面 与 所围的立体体积与该立体的形心坐标 设平面区域 为极坐标曲线 所围成 点密度 常数 求 对 轴的转动惯量 求由曲面 槡 所围成的立体的全表面积 一底半径为 高为 的无盖圆柱形容器 倾斜放置 使其底平面与水平面成 角 设 求容器能贮多少水 两个半径同为 的圆柱面 其中心轴垂直相交 求它们围成的立体的全表面面积 设 为平面 与三坐标面所围成的四面体区域 求 若又设 定值 求 使 为最大 最大值是 多少 求曲面 槡 的形心坐标 一个半径为 的匀质半球面 面密度为 求它对其球心处质量为 的质点的引力 设 为 从 点 沿 曲 线 到 点 计 算 设 为自点 沿曲线 槡 到点 计算 设 为椭圆 正向一周 计算 确定常数 与 使 为某一函数的全微分 并求 出这种函数 设函数 具有连续导数 计算 其中 为从点 到点 沿曲线 槡 的部分 计算 其中 为 正向一周 求 其中 是从点 沿 曲线 到点 的弧 求 槡 槡 其中 为曲线 从 到 的部分 设函数 在 内连续 且满足 求 计算 其中 是从点 到点 的任 意一个光滑弧 设 为连续函数 求 其中 是从 点 到点 的直线段 计算曲面积积分 其中 是由 曲线 槡 绕 轴旋转一周所成的曲面 它的法向量与 轴正向的夹角 恒大于 求曲面积分 其中 是球面 外侧在 的部分 计算 其中 是圆柱面 被平面 和 所截部分的外侧 计算曲面积分 其中 为上半球面 槡 的上侧 计算曲面积分 其中 是由曲面 槡 与 槡 所围立体的表面的外侧 计算曲面积分 其中 为球面 的外侧 设 有连续的一阶导数 计算曲面积分 其中 是由曲面 所围立体全表面的外侧 计算曲面积分 其中 为曲面 介于平面 与 之间的下侧 设点 是椭球面 上第一卦限的点 是该椭球面在点 的切平面被三个坐标面所截得的三角形 法向量与 轴正向的夹角为锐角 求 使 曲面积分 的值最小 并求出此最小值 求 其中 为椭球面 的上半个 法向量与 轴正向交成锐角 设 为连续函数 为曲面 介于 与 之间部分 上侧 求 设函数 连续且恒大于零 其中 讨论 在区间 内的单调性 证明当 时 计算 为球面 与平面 的交 线 从原点看去 是逆时针的 计算 为圆周 从 轴正向向负向看 是逆时针的 由轮换对称性 槡 更换积分次序 由高斯公式 再由球 面坐标可得 设 为 所围成的闭区域 以 换 不变 所以 关于原点对称 令 有 参见 例 的 将 分别看成 注意 原定 的限从大到小 所以应先写成 再交换次序为 从而得如上所填 分成前后两块 分别记为 与 向前 向后 于是 其中 为 在 平面 上的投影 其他都正确 对称于 平面 被积函数 为 的偶函数 所以 其中 为 在 部分 同理 又 轮换对称 即得 其他左边均为 右边为正 可见 故 正确 加一条曲线 再由对称性及奇偶性可得 注意本题的先决条件仅为 是一个有界闭区域 未说到 为单连通 所以 由 不能保证 而由 可保证 成立 所以 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡