广东省揭阳一中、潮州金中联考高三数学上学期期中试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年广东省揭阳一中、潮州金中联考高三（上）期中数学试卷（理科）一选择题（共12小题，满分60分）1已知全集为r，集合a=x|2x1，b=x|x23x+20，则arb=（）ax|x0bx|1x2cx|0x1或x2dx|0x1或x22在复平面内复数对应的点在第一象限，则实数a的取值可以为（）a0b1c1d23设命题p“任意x0，log3xlog4x”，则非p为（）a存在x0，log3xlog4b存在x0，log3xlog4c任意x0，log3xlog4d任意x0，log3x=log44若某市8所中学参加中学生比赛的得分用茎叶图表示（如图）其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的平均数和方差分别是（）a91.5、5b91、5c92、5.5d92、55在abc中，sina=， =6，则abc的面积为（）a3bc6d46如图，在执行程序框图所示的算法时，若输入a3，a2，a1，a0的值依次是1，3，3，1，则输出v的值为（）a2b2c8d87函数y=1+logax（a0，a1）的图象恒过定点a，若点a在直线mx+ny2=0上，其中mn0，则的最小值为（）a2+b2c2d8函数（e是自然对数的底数）的部分图象大致是（）abcd9若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）a2cm2b cm3c3cm3d3cm310函数f（x）=sin（2x+）（|）的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数f（x）在0，上的最小值为（）abcd11设函数g（x）=x2f（x），若函数f（x）为定义在r上的奇函数，其导函数为f（x），对任意实数x满足x2f（x）2xf（x），则不等式g（x）g（13x）的解集是（）ab（0，）cd12已知抛物线与x轴交于a，b两点，对称轴与抛物线交于点c，与x轴交于点d，c的半径为2，g为c上一动点，p为ag的中点，则dp的最大值为（）abcd二填空题（共4小题，满分20分）13已知tan=4，则的值为14在数列an中，a1=6，an+1=2an+32n，则通项an=15设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则的最大值等于16已知函数f（x）=则方程f（x）=ax恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是三解答题（共5小题，满分60分）17已知数列是等差数列，且（1）求an的通项公式（2）若，求数列bn的前n项和sn18网上购物逐步走进大学生活，某大学学生宿舍4人积极参加网购，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商场购物，且参加者必须从淘宝和京东商城选择一家购物（）求这4人中恰有1人去淘宝网购物的概率；（）用、分别表示这4人中去淘宝网和京东商城购物的人数，记x=，求随机变量x的分布列与数学期望ex19如图，四边形pdce为矩形，四边形abcd为梯形，平面pdce平面abcd，bad=adc=90，ab=ad=cd=a，pd=a（1）若m为pa中点，求证：ac平面mde；（2）求平面pad与pbc所成锐二面角的大小20在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y2=2px（p0）的准线方程为 x=，过点m（0，2）作抛物线的切线ma，切点为a（异于点o）直线l过点m与抛物线交于两点b，c，与直线oa交于点n（1）求抛物线的方程；（2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由21已知函数f（x）=mx2x+lnx（1）当m=1时，求f（x）的极大值；（2）若在函数f（x）的定义域内存在区间d，使得该函数在区间d上为减函数，求实数m的取值范围；（3）当时，若曲线c：y=f（x）在点x=1处的切线l与曲线c有且只有一个公共点，求m的值或取值范围请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分选修4-1：几何证明选讲22如图，o是abc的外接圆，c是优弧ab上一点，设oab=，c=（1）当=36时，求的度数；（2）猜想与之间的关系，并给予证明（3）若点c平分优弧ab，且bc2=3oa2，试求的度数选修4-4：坐标系与参数方程23已知曲线，曲线c2：（1）写出曲线c1的参数方程与曲线c2的普通方程；（2）设p为曲线c1上的动点，求点p到c2上点的距离的最大值，并求此时点p的坐标选修4-5：不等式选讲24设f（x）=|x1|+|x+1|（1）求f（x）x+2的解集；（2）若不等式f（x）对任意实数a0恒成立，求实数x的取值范围2015-2016学年广东省揭阳一中、潮州金中联考高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题（共12小题，满分60分）1已知全集为r，集合a=x|2x1，b=x|x23x+20，则arb=（）ax|x0bx|1x2cx|0x1或x2dx|0x1或x2【考点】交、并、补集的混合运算【专题】集合【分析】先求出集合ab，再求出b的补集，根据交集的定义即可求出【解答】解：全集为r，集合a=x|2x1=x|x0，b=x|x23x+20=x|1x2，rb=x|x1或x2，arb=x|0x1或x2故选：c【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键2在复平面内复数对应的点在第一象限，则实数a的取值可以为（）a0b1c1d2【考点】复数的代数表示法及其几何意义【专题】计算题；转化思想；数学模型法；数系的扩充和复数【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部大于0且虚部大于0求得a的范围得答案【解答】解： =对应的点在第一象限，即1a1实数a的取值可以为0故选：a【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数代数形式的乘除运算，是基础题3设命题p“任意x0，log3xlog4x”，则非p为（）a存在x0，log3xlog4b存在x0，log3xlog4c任意x0，log3xlog4d任意x0，log3x=log4【考点】命题的否定【专题】简易逻辑【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p“任意x0，log3xlog4x”，则非p为：存在x0，log3xlog4x；故选：b【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题4若某市8所中学参加中学生比赛的得分用茎叶图表示（如图）其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的平均数和方差分别是（）a91.5、5b91、5c92、5.5d92、5【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数【专题】对应思想；待定系数法；概率与统计【分析】根据茎叶图中的数据，计算这组数据的平均数与方差即可【解答】解：把茎叶图中的数据按大小顺序排列，如下；87、88、90、91、92、93、94、97；平均数是（87+88+90+91+92+93+94+97）=91.5，s2= （8791.5）2+（8891，5）2+（9091.5）2+（9791.5）2=5，故选：a【点评】本题考查了利用茎叶图中的数据求方差与平均数的应用问题，是基础题目5在abc中，sina=， =6，则abc的面积为（）a3bc6d4【考点】平面向量数量积的运算【专题】解三角形；平面向量及应用【分析】由题意结合数量积的运算和同角的平方关系可得|=10，而abc的面积s=|sina，代入数据计算可得【解答】解：由题意可得=|cosa=6，又sina=，故可得cosa=，故|=10，故abc的面积s=|sina=10=4故选d【点评】本题考查平面向量的数量积的运算，涉及三角形的面积公式，属中档题6如图，在执行程序框图所示的算法时，若输入a3，a2，a1，a0的值依次是1，3，3，1，则输出v的值为（）a2b2c8d8【考点】程序框图【专题】图表型；算法和程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的v，i的值，当i=1时，不满足条件i0，退出循环，输出v的值为8【解答】解：模拟执行程序框图，可得x=3，v=0，i=3满足条件i0，a3=1，v=1，i=2满足条件i0，a2=3，v=0，i=1满足条件i0，a1=3，v=3，i=0满足条件i0，a0=1，v=8，i=1不满足条件i0，退出循环，输出v的值为8故选：d【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的v，i的值是解题的关键，属于基本知识的考查7函数y=1+logax（a0，a1）的图象恒过定点a，若点a在直线mx+ny2=0上，其中mn0，则的最小值为（）a2+b2c2d【考点】基本不等式；指数函数的单调性与特殊点【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】求出定点a的坐标，代入直线方程，得到mn的关系，利用基本不等式求解最小值即可【解答】解：函数y=1+logax（a0，a1）的图象恒过定点a（1，1），若点a在直线mx+ny2=0上，可得m+n=2，=2+2=2+当且仅当m=，n=时取等号表达式的最小值为：2+故选：a【点评】本题考查指数函数的单调性与特殊点的应用，基本不等式的应用，考查计算能力8函数（e是自然对数的底数）的部分图象大致是（）abcd【考点】函数的图象【专题】函数的性质及应用【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再根据函数的值域即可判断【解答】解：f（x）=f（x），函数f（x）为偶函数，排除a，b，0，故排除d，故选：c【点评】本题考查了图象的识别，根据函数的奇偶性和函数的值域，是常用的方法，属于基础题9若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）a2cm2b cm3c3cm3d3cm3【考点】由三视图求面积、体积【专题】空间位置关系与距离【分析】由几何体的三视图得到原几何体的底面积与高，进而得到该几何体的体积【解答】解：由几何体的三视图可知，该几何体为底面是直角梯形，高为的四棱锥，其中直角梯形两底长分别为1和2，高是2故这个几何体的体积是（1+2）2=（cm3）故选：b【点评】本题考查由几何体的三视图求原几何体的体积问题，属于基础题10函数f（x）=sin（2x+）（|）的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数f（x）在0，上的最小值为（）abcd【考点】函数y=asin（x+）的图象变换【专题】三角函数的图像与性质【分析】由函数图象的平移得到，再由函数为奇函数及的范围得到，求出的值，则函数解析式可求，再由x的范围求得函数f（x）在0，上的最小值【解答】解：函数f（x）=sin（2x+）图象向左平移个单位得，由于函数图象关于原点对称，函数为奇函数，又|，得，由于，02x，当，即x=0时，故选：a【点评】本题考查了函数y=asin（x+）型函数的图象和性质，考查了三角函数值域的求法，是中档题11设函数g（x）=x2f（x），若函数f（x）为定义在r上的奇函数，其导函数为f（x），对任意实数x满足x2f（x）2xf（x），则不等式g（x）g（13x）的解集是（）ab（0，）cd【考点】函数的单调性与导数的关系；函数单调性的性质【专题】函数思想；导数的概念及应用；不等式的解法及应用【分析】由题意和乘积的导数可得奇函数g（x）=x2f（x）在r上单调递增，可化原不等式为x13x，解之可得【解答】解：由题意可得函数g（x）=x2f（x）为r上的奇函数，x2f（x）2xf（x），x2f（x）+2xf（x）0，g（x）=x2f（x）=2xf（x）+x2f（x）0，奇函数g（x）=x2f（x）在r上单调递增，不等式g（x）g（13x）可化为x13x，解得x故选：c【点评】本题考查函数的单调性和导数的关系，涉及函数的奇偶性，属基础题12已知抛物线与x轴交于a，b两点，对称轴与抛物线交于点c，与x轴交于点d，c的半径为2，g为c上一动点，p为ag的中点，则dp的最大值为（）abcd【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【专题】计算题；函数思想；转化思想；三角函数的图像与性质；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求出抛物线的顶点坐标，写出圆的方程，设出g的坐标，推出p的坐标，利用两点间距离公式求解最值【解答】解：抛物线与x轴交于a，b两点，可得a（1，0），b（9，0），d（5，0），c（5，3），圆的方程为：（x5）2+（y3）2=4，设g（5+2cos，3+2sin）p为ag的中点，可得p（3+cos， +sin）dp=，其中tan=故选：a【点评】本题考查抛物线的简单性质以及圆的参数方程与三角函数的最值的求法，考查分析问题解决问题以及转化思想的应用二填空题（共4小题，满分20分）13已知tan=4，则的值为【考点】二倍角的余弦；同角三角函数基本关系的运用【专题】三角函数的求值【分析】由于已知tan=4，利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式化简为，从而求得结果【解答】解：由于已知tan=4，则=，故答案为【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于中档题14在数列an中，a1=6，an+1=2an+32n，则通项an=（3n+3）2n1【考点】数列递推式【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】an+1=2an+32n，变形为=利用等差数列的通项公式即可得出【解答】解：an+1=2an+32n，=数列是等差数列，公差为，首项为3=3+=，an=（3n+3）2n1，故答案为：（3n+3）2n1【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题15设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则的最大值等于【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题；平面向量及应用【分析】利用数量积运算性质、二次函数的单调性即可得出【解答】解：|=，只考虑x0，则=，当且仅当=时取等号则的最大值等于故答案为：【点评】本题考查了数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16已知函数f（x）=则方程f（x）=ax恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是，）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系；分段函数的应用【专题】综合题；导数的综合应用【分析】由题意，方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，等价于y=f（x）与y=ax有2个交点，又a表示直线y=ax的斜率，求出a的取值范围【解答】解：方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，y=f（x）与y=ax有2个交点，又a表示直线y=ax的斜率，y=，设切点为（x0，y0），k=，切线方程为yy0=（xx0），而切线过原点，y0=1，x0=e，k=，直线l1的斜率为，又直线l2与y=x+1平行，直线l2的斜率为，实数a的取值范围是，）故答案为：，）【点评】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，考查函数与方程的关系，是易错题三解答题（共5小题，满分60分）17已知数列是等差数列，且（1）求an的通项公式（2）若，求数列bn的前n项和sn【考点】数列递推式；数列的求和【专题】计算题；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用“裂项求和”即可得出【解答】解：（1）由于为等差数列，若设其公差为d，则，解得，于是=2+3（n1），整理得an=（2）由（1）得bn=anan+1=，【点评】本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”，考查了变形能力与计算能力，属于中档题18网上购物逐步走进大学生活，某大学学生宿舍4人积极参加网购，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商场购物，且参加者必须从淘宝和京东商城选择一家购物（）求这4人中恰有1人去淘宝网购物的概率；（）用、分别表示这4人中去淘宝网和京东商城购物的人数，记x=，求随机变量x的分布列与数学期望ex【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【专题】概率与统计【分析】（）依题意，这4个人中，每个人去淘宝网购物的概率为，去京东网购物的概率为，设“这4个人中恰有i个人去淘宝网购物”为事件ai，则，（i=0，1，2，3，4），由此能求出这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率（）由已知得x的所有可能取值为0，3，4，p（x=0）=p（a0）+p（a4），p（x=3）=p（a1）+p（a3），p（x=4）=p（a2），由此能求出x的分布列和ex【解答】解：（）依题意，这4个人中，每个人去淘宝网购物的概率为，去京东网购物的概率为，设“这4个人中恰有i个人去淘宝网购物”为事件ai（i=0，1，2，3，4），则，（i=0，1，2，3，4），这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率=（）由已知得x的所有可能取值为0，3，4，p（x=0）=p（a0）+p（a4）=，p（x=3）=p（a1）+p（a3）=+=，p（x=4）=p（a2）=，x的分布列为： x 0 3 4 pex=【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要注意n次独立重复试验中事件a恰好发生k次的概率计算公式的合理运用19如图，四边形pdce为矩形，四边形abcd为梯形，平面pdce平面abcd，bad=adc=90，ab=ad=cd=a，pd=a（1）若m为pa中点，求证：ac平面mde；（2）求平面pad与pbc所成锐二面角的大小【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定【专题】计算题【分析】（1）连接pc，交de与n，连接mn，所以mnac，再根据线面平行的判定定理可得答案（2）以d为空间坐标系的原点，分别以 da，dc，dp所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，再求出两个向量的夹角，进而转化为二面角的平面角【解答】解：（1）证明：连接pc，交de与n，连接mn，在pac中，m，n分别为两腰pa，pc的中点mnac，又ac面mde，mn面mde，所以 ac平面mde（2）以d为空间坐标系的原点，分别以 da，dc，dp所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则p（0，0， a），b（a，a，0），c（0，2a，0），所以，设平面pad的单位法向量为，则可取 设面pbc的法向量，则有即：，取z=1，则设平面pad与平面pbc所成锐二面角的大小为，=60，所以平面pad与平面pbc所成锐二面角的大小为60【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，求二面角的平面角的关键是找到角，再求出角，解决此类问题也可以建立坐标系，利用空间向量求出空间角与空间距离20在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y2=2px（p0）的准线方程为 x=，过点m（0，2）作抛物线的切线ma，切点为a（异于点o）直线l过点m与抛物线交于两点b，c，与直线oa交于点n（1）求抛物线的方程；（2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由抛物线的准线方程可得p，进而得到抛物线方程；（2）求出函数y=的导数，求出切线的斜率，以及切线方程，联立切线方程和抛物线方程求得切点a，进而直线oa的方程，设出直线bc的方程，联立抛物线方程运用韦达定理，求出n的坐标，代入所求式子化简即可得到定值2【解答】解：（1）由题设知，即，所以抛物线的方程为y2=x；（2）因为函数的导函数为，设a（x0，y0），则直线ma的方程为，因为点m（0，2）在直线ma上，所以2y0=（x0）联立，解得a（16，4），所以直线oa的方程为 设直线bc方程为y=kx2，由，得k2x2（4k+1）x+4=0，所以由，得所以，故的为定值2【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及导数的运用：求切线方程，考查运算能力，属于中档题和易错题21已知函数f（x）=mx2x+lnx（1）当m=1时，求f（x）的极大值；（2）若在函数f（x）的定义域内存在区间d，使得该函数在区间d上为减函数，求实数m的取值范围；（3）当时，若曲线c：y=f（x）在点x=1处的切线l与曲线c有且只有一个公共点，求m的值或取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】分类讨论；函数思想；方程思想；转化思想；综合法；导数的综合应用【分析】（1）当m=1时，求出函数的解析式，定义域，求出导函数，求出极值点，推出结果即可（2）（法一），通过当m0，当m0时，求解实数m的取值范围（法二），问题成立只需mu（x）max（x（0，+），然后求解实数m的取值范围（3）求出切线方程，转化mx2x+lnx=2mxm1在（0，+）上有且只有一解构造函数g（x）=mx2x+lnx（2mxm1），求出函数g（x）有零点x=1通过求解导函数，讨论当时，当时，判断函数的单调性，利用函数的零点推出m的范围【解答】解：（1）当m=1时，f（x）=mx2x+lnx=x2x+lnx，其定义域（0，+）又，故由f（x）=0，得当时，f（x）0，f（x）递增；当，f（x）0，f（x）递减因此当时，f（x）取得极大值；（2）（法一），即2mx2x+10在（0，+）上有解当m0显然成立； 当m0时，由于函数y=2mx2x+1的图象的对称轴，故须且只须0，即18m0，故综上所述得，故实数m的取值范围为；（若f（x）0在（0，+）上有解，最后有检验也是可以的）（法二），即2mx2x+10在（0，+）上有解即2mx2x+10在（0，+）能成立，即，设，问题成立只需mu（x）max（x（0，+），故实数m的取值范围为；（3）因为f（1）=m，f（1）=2m，故切线方程为ym+1=2m（x1），即y=2mxm1，从而方程mx2x+lnx=2mxm1在（0，+）上有且只有一解设g（x）=mx2x+lnx（2mxm1），则g（x）在（0，+）上有且只有一个零点，又g（1）=0，故函数g（x）有零点x=1则当时，g（x）0，又g（x）不是常数函数，故g（x）在（0，+）上递增函数g（x）有且只有一个零点x=1，满足题意；当时，由g（x）=0，得，或x=1且由g（x）0，得0x1，或；由g（x）0，得；故当x在（0，+）上变化时，g（x）、g（x）的变化情况如下表：（此表可省略）x（0，1）1g（x）+00+g（x）递增极大值递减极小值递增根据上表知 又，故在上，函数g（x）又有一个零点，不符；综上所述得【点评】本题考查函数的对数的应用，函数的极值点以及单调性，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查分析问题解决问题的能力请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分选修4-1：几何证明选讲22如图，o是abc的外接圆，c是优弧ab上一点，设oab=，c=（1）当=36时，求的度数；（2）猜想与之间的关系，并给予证明（3）若点c平分优弧ab，且bc2=3oa2，试求的度数【考点】圆內接多边形的性质与判定【专题】选作题；转化思想；推理和证明【分析】（1）连接ob，根据三角形外心的性质可知：oa=ob；则在等腰aob中oba=oab；则再根据三角形内角和定理可以求得aob的度数；最后根据圆周角定理可以求得的度数；（2）由（1）可猜想与之间的关系是+=90；同（1）一样oba=oab=，则aob=1802，=c=aob，所以可求=（1802）=90，则+=90度；（3）证明ac=bc=oa，过o作okac于k，连接oc，由垂径定理可知：ak=ac=oa，可得cao=30，acb=2aco=2cao=60，abc为正三角形，即可求的度数【解答】解：（1）连接ob，则oa=ob；oab=36，oba=oab=36，aob=180oaboba，aob=1803636=108，=c=aob=54 （2）与之间的关系是+=90；证明：oba=oab=，aob=1802，=c=aob，=（1802）=90，+=90（3）点c平分优