假定“哥德巴赫猜想”成立.doc

假定“哥德巴赫猜想”成立下“孪生素数猜想”之探讨贵州省务川自治县实验学校 王若仲（王洪）摘要： 假定“哥德巴赫猜想”成立，对于“孪生素数猜想”，我们利用集合的概念，设置一定的条件，在宽泛的前提下探讨整体情形，即假设偶数6，8，10，（2m-2），（2m），。它们均可表为两个奇素数之和。设奇合数a1，a2，a3，at均为不大于偶数2m（m3）的全体奇合数（aiaj ，ij，i、j=1，2，3，t），tN。因为假定“哥德巴赫猜想”成立，则集合1，（2m-1）（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m-at）a1，a2，a3，at有缺项。利用集合1，（2m-1）（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m-at）a1，a2，a3，at有缺项，证明集合（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m-at）（a1+2），（a2+2），（a3+2），（at+2）也有缺项；证明集合（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m-at）（a1-2），（a2-2），（a3-2），（at-2）也有缺项；利用集合（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m-at）（a1+2），（a2+2），（a3+2），（at+2）有缺项，以及利用集合（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m-at）（a1-2），（a2-2），（a3-2），（at-2）有缺项，得出“孪生素数猜想”成立。关键词：哥德巴赫猜想；孪生素数猜想；奇合数；奇素数；缺项集合。引言孪生质数猜想，最初由古希腊数学家欧几里得提出，表述为：在自然数中，存在无穷多个质数p，有（p+2）也是质数。但问题提出后没有人能证明；到1849年，波林那克又提出更一般的猜想，即对所有自然数k（k0），存在无穷多个质数对p和（p+2k）。这个更一般的猜想提出后仍没被证明；到1900年，德国数学家希尔伯特，在巴黎召开的第二届国际数学大会上，提出历史遗留的具有代表性的23个未解决的著名数学问题，号召20世纪的数学研究者共同攻关，其中“孪生质数猜想、哥德巴赫猜想和黎曼猜想”列为第八个未解的数学问题；直至现在，孪生质数问题仍然没有被彻底证明。正文我们知道，只能被1和本身整除的正整数，称为素数。定义1：对于均满足某一特性或某一表达式的部分连续整数或全体整数组成的集合A，关于集合A的子集A1，A2，A3，Ak；任一子集Ai，AiA（i=1，2，3，k），则称集合Ai为集合A条件下的缺项集合。集合Ai缺具体的某一项，该项则称为集合Ai的缺项。定理1：对于整数集合A=a1，a2，a3，ak或 A=a1，a2，a3，ak，任一aiN（i=1，2，3，k或i=1，2，3，k，）；a1，a2，a3，ak，为等差数列，等差为d，a1=r（rd），关于集合A的子集B和C，B=a11，a12 ，a13， ，a1h，C=a21，a22，a23，a2t，a1ha2t，hN， tN。若集合BC在集合A的条件下没有缺项，则集合（a11md），（a12md），（a13md），（a1hmd）（a21md）， （a22md）， （a23md）， ， （a2tmd）在集合A的条件下仍然没有缺项，mN。证明：对于整数集合A=a1，a2，a3，ak或 A=a1，a2，a3，ak，任一aiN（i=1，2，3，k或i=1，2，3，k，）；a1，a2，a3，ak，为等差数列，等差为d，a1=r（rd），关于集合A的子集B和C，B=a11，a12 ，a13， ，a1h，C=a21，a22，a23，a2t，a1ha2t，hN， tN。因为集合BC在集合A的条件下没有缺项，不妨设集合BC=b1，b2，b3，bt，令b1=aj+r，ajN，则集合b1，b2，b3，bt= （aj+r），（d+aj+r），（2d+aj+r），（3d+aj+r），（e-1）d+aj+r，（ed+aj+r），eN。则集合b1，b2，b3，bt= （aj+r），（d+aj+r），（2d+aj+r），（3d+aj+r），（e-1）d+aj+r，（ed+aj+r）为等差数列，等差为d。而集合（b1-md），（b2-md），（b3-md），（bt-md）=（aj+r-md），（d+aj+r-md），（2d+aj+r-md），（3d+aj+r -md），（e-1）d+aj+r-md，（ed+aj+r-md）也为等差数列，等差为d，mN，（b1-md）0；集合（b1+md），（b2+md），（b3+md），（bt+md）=（aj+r +md），（d+aj+r +md），（2d+aj+r+md），（3d+aj+r+md），（e-1）d+aj+r+md，（ed+aj+r+md）也为等差数列，等差为d， mN。由定义1可知，集合（a11md），（a12md），（a13md），（a1hmd）（a21md）， （a22md）， （a23md）， ， （a2tmd）在集合A的条件下仍然没有缺项，故定理1成立。定理2：对于整数集合A=a1，a2，a3，ak或A=a1，a2，a3，ak，任一aiN（i=1，2，3，k或i=1，2，3，k，）；a1，a2，a3，ak，为等差数列，等差为d，a1=r（rd），关于集合A的子集B和C，B=a11，a12 ，a13， ，a1h，C=a21，a22，a23，a2t，a1ha2t，hN， tN。若集合BC在集合A的条件下有缺项，则集合（a11md），（a12md），（a13md），（a1hmd）（a21md）， （a22md）， （a23md）， ， （a2tmd）在集合A的条件下仍然有缺项。证明：对于整数集合A=a1，a2，a3，ak或A=a1，a2，a3，ak，任一aiN（i=1，2，3，k或i=1，2，3，k，）；a1，a2，a3，ak，为等差数列，等差为d，a1=r（rd），关于集合A的子集B和C，B=a11，a12 ，a13， ，a1h，C=a21，a22，a23，a2t，a1ha2t，hN， tN。因为集合BC在集合A的条件下有缺项，不妨设集合BC=b1，b2，b3，bt，令b1=aj+r，ajN，且设集合BC缺第i项，it。则集合b1，b2，b3，bt=（aj+r），（d+aj+r），（2d+aj+r），（3d+aj+r），（i-1）d+aj+r，（i+1）d+aj+r，（e-1）d+aj+r，（ed+aj+r），eN。而集合（b1-md），（b2-md），（b3-md），（bt-md）=（aj+r-md），（d+aj+r-md），（2d+aj+r-md），（3d+aj+r-md），（i-1）d+aj+r-md，（i+1）d+aj+r-md，（e-1）d+aj+r-md，（ed+aj+r-md）仍然缺第i项，mN，（b1-md）0，集合（b1+md），（b2+md），（b3+md），（bt+md）=（aj+r+md），（d+aj+r+md），（2d+aj+r +md），（3d+aj+r+md），（i-1）d+aj+r+md，（i+1）d+aj+r+md，（e-1）d+aj+r+md，（ed+aj+r+md）仍然缺第i项。故定理2成立。定理3：假若任一不小于6的偶数均可表为两个奇素数之和，那么对于任一不小于10的偶数2m，设奇合数a1，a2，a3，at均为不大于偶数2m的全体奇合数，（aiaj ，ij，i、j=1、2、3、t），tN，则集合1，（2m-1）（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m- at）（a1+2），（a2+2），（a3+2），（at+2）与集合1，（2m-1）（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m- at）（a1-2），（a2-2），（a3-2），（at-2）均有缺项。证明：对于任一不小于10的偶数2m，设奇合数a1，a2，a3，at均为不大于偶数2m的全体奇合数，（aiaj ，ij，i、j=1、2、3、t），tN。因为假定“哥德巴赫猜想”成立，则偶数（2m+2）可表为两个奇素数之和，设奇合数a1，a2，a3，at，at+1均为不大于偶数（2m+2）的全体奇合数（aiaj ，ij，i、j=1、2、3、t），tN；则集合1，（2m+1）（2m+2-a1），（2m+2-a2），（2m+2-a3），（2m+2-at），（2m+2-at+1）a1，a2，a3，at，at+1有缺项。由定理2可知，集合-1，（2m-1）（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m-at）（a1-2），（a2-2），（a3-2），（at-2），（at+1-2）有缺项。具体分析：（1）假若集合1，（2m+1）（2m+2-a1），（2m+2-a2），（2m+2-a3），（2m+2-at），（2m+2-at+1）a1，a2，a3，at，at+1只有缺项3和（2m+2-3），说明集合-1，（2m-1）（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m-at），（2m-at+1）（a1-2），（a2-2），（a3-2），（at-2），（at+1-2）只有缺项1和（2m-3）。因为（2m-3）不可能是（2m-at+1）这个数，也不可能是（at+1-2）这个数，那么集合1，（2m-1）（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m-at）（a1-2），（a2-2），（a3-2），（at-2）有缺项。（2）假若集合1，（2m+1）（2m+2-a1），（2m+2-a2），（2m+2-a3），（2m+2-at），（2m+2-at+1）a1，a2，a3，at，at+1至少缺2项以上，由（1）的情形可知，集合1，（2m-1）（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m-at）（a1-2），（a2-2），（a3-2），（at-2）有缺项。又因为假定“哥德巴赫猜想”成立，则偶数（2m-2）可表为两个奇素数之和，设奇合数a1，a2，a3，at-1均为不大于偶数（2m-2）的全体奇合数（aiaj ，ij，i、j=1、2、3、t），tN；则集合1，（2m-3）（2m-2-a1），（2m-2-a2），（2m-2-a3），（2m-2-at-1）a1，a2，a3，at-1有缺项。由定理2可知，集合3，（2m-1）（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m-at）（a1+2），（a2+2），（a3+2），（at-1+2）有缺项。具体分析：（）假若集合1，（2m-3）（2m-2-a1），（2m-2-a2），（2m-2-a3），（2m-2-at-1）a1，a2，a3，at-1只有缺项3和（2m-2-3），说明集合3，（2m-1）（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m-at-1）（a1+2），（a2+2），（a3+2），（at-1+2）只有缺项5和（2m-3）。那么集合1，（2m-1）（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m-at-1）（a1+2），（a2+2），（a3+2），（at-1+2）有缺项5和（2m-3）。又假若（2m-at）=5，则at=（2m-5），根据上面假定“哥德巴赫猜想”成立，则偶数（2m-2）可表为两个奇素数之和，设奇合数a1，a2，a3，at-1均为不大于偶数（2m-2）的全体奇合数（aiaj ，ij，i、j=1、2、3、t），tN；说明奇合数at小于偶数（2m-2），也说明at-1这个奇合数就是at这个奇合数，即（2m-at）不可能为5，（at+2）不可能为（2m-3）；那么集合1，（2m-1）（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m-at-1），（2m-at）（a1+2），（a2+2），（a3+2），（at-1+2），（at+2）有缺项。（）假若集合1，（2m-3）（2m-2-a1），（2m-2-a2），（2m-2-a3），（2m-2-at-1）a1，a2，a3，at-1至少缺2项以上，由（）的情形可知，集合1，（2m-1）（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m-at-1），（2m-at）（a1+2），（a2+2），（a3+2），（at-1+2），（at+2）有缺项。综上所述，定理3成立。定理4：假若任一不小于6的偶数均可表为两个奇素数之和，那么对于任何一个不小于6的偶数M，偶数M可表为“奇素数+奇素数”的情形中，至少存在一对“奇素数+奇素数”，它们中至少有一个奇素数是一对孪生素数中的奇素数。证明：由定理3可知，对于任一比较大的偶数2m，设奇合数a1，a2，a3，at均为不大于偶数2m的全体奇合数，（aiaj ，ij，i、j=1、2、3、t），tN，我们把偶数2m分解为：2m=1+（2m-1）=3+（2m-3）=5+（2m-5）=7+（2m-7）=7+（2m-7）=5+（2m-5）=3+（2m-3）=1+（2m-1）的形式，那么偶数2m有下列情形：当偶数2m=6k-2时，则有下列情形：1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 3ki 6ki-1+1 6ki-1-1 3ki-1 6ki-2+1 6ki-2-1 3ki-2 6ki-3+1 6ki-3-1 3ki-321 23 6kj-2-1 6kj-2+1 3kj-1 6kj-1-1 6kj-1+1 3kj 6ki-4+1 6ki-4-1 6kr-1 3kr 6kr-1+1 6kr-1-1 3kr-1 6kr-1+1 3ki-2 6ki-3-1 6ki-3+1 3ki-2 6ki-2-1 6ki-2+1 3ki-1 6ki-1-1 6ki-1+1 3ki 19 17 15 13 11 9 7 5 3 1当偶数2m=6k时，则有下列情形：1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 6ki-1 3ki 6ki-1+1 6ki-1-1 3ki-1 6ki-2+1 6ki-2-1 3ki-2 6ki-3+1 6ki-3-121 23 6kj-2-1 6kj-2+1 3kj-1 6kj-1-1 6kj-1+1 3kj 3ki-3 6ki-4+1 6kr+1 6kr-1 3kr 6kr-1+1 6kr-1-1 3kr-1 6ki-3-1 6ki-3+1 3ki-2 6ki-2-1 6ki-2+1 3ki-1 6ki-1-1 6ki-1+1 3ki 6ki-119 17 15 13 11 9 7 5 3 1当偶数2m=6k+2时，则有下列情形：1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 6ki+1 6ki-1 3ki 6ki-1+1 6ki-1-1 3ki-1 6ki-2+1 6ki-2-1 3ki-2 6ki-3+1 21 23 6kj-2-1 6kj-2+1 3kj-1 6kj-1-1 6kj-1+1 3kj 6ki-3-1 3ki-3 3kr 6kr+1 6kr-1 3kr 6kr-1+1 6kr-1-1 6ki-3+1 3ki-2 6ki-2-1 6ki-2+1 3ki-1 6ki-1-1 6ki-1+1 3ki 6ki-1 6ki+119 17 15 13 11 9 7 5 3 1因为不小于4的偶数的顺序为：（6k1-2），（6k1），（6k1+2），（6k2-2），（6k2），（6k2+2），（6k3-2），（6k3），（6k3+2），；k1=1，k2=2，k3=3，。对于相当大的偶数2m，在奇数（2m-1），（2m-3），（2m-5），（2m-2h+1）（hm）均为奇合数的情形下，我们展开具体分析：第一、分析偶数2m=6k时的情形：（11）、对于偶数2m=6k，因为奇素数中有孪生素数存在，所以必有如下情形：3kj1 6kj1-1 6kj1+1 3kj1+1 奇素数 奇素数 3kj1+2 6kj1+2-1 6kj1+2+13ki1 6ki1-1+1 6ki1-1-1 3ki1-1 6ki1-2+1 6ki1-2-1 3ki1-2 6ki1-3+1 6ki1-3-1那么偶数2m-2=6k-2时的情形为：3kj1 6kj1-1 6kj1+1 3kj1+1 奇素数 奇素数 3kj1+2 6kj1+2-1 6kj1+2+1 6ki1-1+1 6ki1-1-1 3ki1-1 6ki1-2+1 6ki1-2-1 3ki1-2 6ki1-3+1 6ki1-3-1 3ki1-3那么偶数2m+2=6k+2时的情形为：3kj1 6kj1-1 6kj1+1 3kj1+1 奇素数 奇素数 3kj1+2 6kj1+2-1 6kj1+2+1 6ki1-1 3ki1 6ki1-1+1 6ki1-1-1 3ki1-1 6ki1-2+1 6ki1-2-1 3ki1-2 6ki1-3+1 （12）、对于偶数2m=6k，必有如下情形：3kj2 6kj2-1 6kj2+1 3kj2+1奇合数 奇素数 3kj2+2 6kj2+2-1 6kj2+2+13ki2 6ki2-1+1 6ki2-1-1 3ki2-1 6ki2-2+1 6ki2-2-1 3ki2-2 6ki2-3+1 6ki2-3-1那么偶数2m-2=6k-2时的情形为：3kj2 6kj2-1 6kj2+1 3kj2+1 奇合数 奇素数 3kj2+2 6kj2+2-1 6kj2+2+16ki2-1+1 6ki2-1-1 3ki2-1 6ki2-2+1 6ki2-2-1 3ki2-2 6ki2-3+1 6ki2-3-1 3ki2-3那么偶数2m+2=6k+2时的情形为：3kj2 6kj2-1 6kj2+1 3kj2+1 奇合数 奇素数 3kj2+2 6kj2+2-1 6kj2+2+16ki2-1 3ki2 6ki2-1+1 6ki2-1-1 3ki2-1 6ki2-2+1 6ki2-2-1 3ki2-2 6ki2-3+1（13）、对于偶数2m=6k，必有如下情形：3kj3 6kj3-1 6kj3+1 3kj3+1 奇素数 奇合数 3kj3+2 6kj3+2-1 6kj3+2+13ki3 6ki3-1+1 6ki3-1-1 3ki3-1 6ki3-2+1 6ki3-2-1 3ki3-2 6ki3-3+1 6ki3-3-1那么偶数2m-2=6k-2时的情形为：3kj3 6kj3-1 6kj3+1 3kj3+1 奇素数 奇合数 3kj3+2 6kj3+2-1 6kj3+2+16ki3-1+1 6ki3-1-1 3ki3-1 6ki3-2+1 6ki3-2-1 3ki3-2 6ki3-3+1 6ki3-3-1 3ki3-3那么偶数2m+2=6k+2时的情形为：3kj3 6kj3-1 6kj3+1 3kj3+1 奇素数 奇合数 3kj3+2 6kj3+2-1 6kj3+2+16ki3-1 3ki3 6ki3-1+1 6ki3-1-1 3ki3-1 6ki3-2+1 6ki3-2-1 3ki3-2 6ki3-3+1（14）、对于偶数2m=6k，必有如下情形：3kj4 6kj4-1 6kj4+1 3kj4+1奇合数 奇合数 3kj4+2 6kj4+2-1 6kj4+2+13ki4 6ki4-1+1 6ki4-1-1 3ki4-1 6ki4-2+1 6ki4-2-1 3ki4-2 6ki4-3+1 6ki4-3-1那么偶数2m-2=6k-2时的情形为：3kj4 6kj4-1 6kj4+1 3kj4+1 奇合数 奇合数 3kj4+2 6kj4+2-1 6kj4+2+16ki4-1+1 6ki4-1-1 3ki4-1 6ki4-2+1 6ki4-2-1 3ki4-2 6ki4-3+1 6ki4-3-1 3ki4-3那么偶数2m+2=6k+2时的情形为：3kj4 6kj4-1 6kj4+1 3kj4+1 奇合数 奇合数 3kj4+2 6kj4+2-1 6kj4+2+16ki4-1 3ki4 6ki4-1+1 6ki4-1-1 3ki4-1 6ki4-2+1 6ki4-2-1 3ki4-2 6ki4-3+1由定理3可知，集合1，（2m-1）（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m- at）a1，a2，a3，at与集合1，（2m-1）（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m- at）（a1+2），（a2+2），（a3+2），（at+2）以及集合1，（2m-1）（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m- at）（a1-2），（a2-2），（a3-2），（at-2）均有缺项。对于偶数2m=6k，如果只出现上面（12）情形，这与偶数（2m-2）可表为两个奇素数之和的情形产生矛盾；如果只出现上面（13）情形，这与偶数（2m+2）可表为两个奇素数之和的情形产生矛盾；如果只出现上面（13）情形，这与偶数2m可表为两个奇素数之和的情形产生矛盾；对于偶数2m=6k，如果只出现上面（12）和（13）的情形，并且上面（12）情形中奇数（6ki2-2+1）这样情形的奇数均为奇合数，上面（13）情形中奇数（6ki3-2-1）这样情形的奇数均为奇合数，这与偶数（2m-2）和偶数（2m+2）均可表为两个奇素数之和的情形产生矛盾；对于偶数2m=6k，如果只出现上面（12）和（13）的情形，并且上面（12）情形中奇数（6ki2-2+1）和（ 6ki2-2-1）这样情形的奇数均为奇素数，上面（13）情形中奇数（6ki3-2-1）这样情形的奇数均为奇合数，这与偶数（2m-2）可表为两个奇素数之和的情形产生矛盾；对于偶数2m=6k，如果只出现上面（12）和（13）的情形，并且上面（12）情形中奇数（6ki2-2+1）这样情形的奇数均为奇合数，上面（13）情形中奇数（6ki3-2+1）和（ 6ki3-2-1）这样情形的奇数均为奇素数，这与偶数（2m+2）可表为两个奇素数之和的情形产生矛盾。所以要满足定理3成立的情形以及满足偶数（2m-2）和偶数（2m+2）均可表为两个奇素数之和的情形，从上面（11），（12），（13），（14）的情形可知，当偶数2m=6k时，必须至少有下列情形之一：上面（11）情形中奇数（6ki1-2+1）和（ 6ki1-2-1）这样情形的奇数至少出现一组均为奇素数；上面（12）情形中奇数（6ki2-2-1）这样情形的奇数或者上面（13）情形中奇数（6ki3-2+1）这样情形的奇数至少出现一个为奇素数；并且上面（12）情形中奇数（6ki2-2+1）这样情形的奇数以及上面（13）情形中奇数（6ki3-2-1）这样情形的奇数至少出现一次均为奇素数。第二、分析偶数2m=6k-2时的情形：1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 3ki 6ki-1+1 6ki-1-1 3ki-1 6ki-2+1 6ki-2-1 3ki-2 6ki-3+1 6ki-3-1 3ki-321 23 6kj-2-1 6kj-2+1 3kj-1 6kj-1-1 6kj-1+1 3kj 6ki-4+1 6ki-4-1 6kr-1 3kr 6kr-1+1 6kr-1-1 3kr-1 6kr-1+1 3ki-2 6ki-3-1 6ki-3+1 3ki-2 6ki-2-1 6ki-2+1 3ki-1 6ki-1-1 6ki-1+1 3ki 19 17 15 13 11 9 7 5 3 1（21）、对于偶数2m=6k-2，因为奇素数中有孪生素数存在，必有如下情形：3kj1 6kj1-1 6kj1+1 3kj1+1 奇素数 奇素数 3kj1+2 6kj1+2-1 6kj1+2+1 3kj1-36ki1+1 6ki1-1 3ki1 6ki1-1+1 6ki1-1-1 3ki1-1 6ki1-2+1 6ki1-2-1 3ki1-2 6ki1-3+1那么偶数2m-2=6k-4时的情形为：3kj1 6kj1-1 6kj1+1 3kj1+1奇素数奇素数 3kj1+2 6kj1+2-1 6kj1+2+1 3kj1-36ki1-1 3ki1 6ki1-1+1 6ki1-1-1 3ki1-1 6ki1-2+1 6ki1-2-1 3ki1-2 6ki1-3+1 6ki1-3-1那么偶数2m+2=6k时的情形为：3kj1 6kj1-1 6kj1+1 3kj1+1奇素数 奇素数 3kj1+2 6kj1+2-1 6kj1+2+1 3kj1-33ki1+2 6ki1+1 6ki1+1-1 3ki1+1 6ki1+1 6ki1-1 3ki1 6ki1-1+1 6ki1-1-1 3ki1-1 （22）、对于偶数2m=6k-2，必有如下情形：3kj2 6kj2-1 6kj2+1 3kj2+1 奇素数 奇合数3kj2+2 6kj2+2-1 6kj2+2+1 3kj2-36ki2+1 6ki2-1 3ki2 6ki2-1+1 6ki2-1-1 3ki2-1 6ki2-2+1 6ki2-2-1 3ki2-2 6ki2-3+1那么偶数2m-2=6k-4时的情形为：3kj2 6kj2-1 6kj2+1 3kj2+1 奇素数 奇合数3kj2+2 6kj2+2-1 6kj2+2+1 3kj2-36ki2-1 3ki2 6ki2-1+1 6ki2-1-1 3ki2-1 6ki2-2+1 6ki2-2-1 3ki2-2 6ki2-3+1 6ki2-3-1那么偶数2m+2=6k时的情形为：3kj2 6kj2-1 6kj2+1 3kj2+1 奇素数 奇合数3kj2+2 6kj2+2-1 6kj2+2+1 3kj2-33ki2+1 6ki2+1 6ki2-1 3ki2 6ki2-1+1 6ki2-1-1 3ki2-1 6ki2-2+1 6ki2-2-1 3ki2-2 （23）、对于偶数2m=6k-2，必有如下情形：3kj3 6kj3-1 6kj3+1 3kj3+1 奇合数 奇素数3kj3+2 6kj3+2-1 6kj3+2+1 3kj3-36ki3+1 6ki3-1 3ki3 6ki3-1+1 6ki3-1-1 3ki3-1 6ki3-2+1 6ki3-2-1 3ki3-2 6ki3-3+1 那么偶数2m-2=6k-4时的情形为：3kj3 6kj3-1 6kj3+1 3kj3+1 奇合数 奇素数3kj3+2 6kj3+2-1 6kj3+2+1 3kj3-36ki3-1 3ki3 6ki3-1+1 6ki3-1-1 3ki3-1 6ki3-2+1 6ki3-2-1 3ki3-2 6ki3-3+1 6ki3-3-1那么偶数2m+2=6k时的情形为：3kj3 6kj3-1 6kj3+1 3kj3+1 奇合数 奇素数3kj3+2 6kj3+2-1 6kj3+2+1 3kj3-33ki3+1 6ki3+1 6ki3-1 3ki3 6ki3-1+1 6ki3-1-1 3ki3-1 6ki3-2+1 6ki3-2-1 3ki3-2（24）、对于偶数2m=6k-2，必有如下情形：3kj4 6kj4-1 6kj4+1 3kj4+1 奇合数奇合数3kj4+2 6kj4+2-1 6kj4+2+1 3kj4-36ki4+1 6ki4-1 3ki4 6ki4-1+1 6ki4-1-1 3ki4-1 6ki4-2+1 6ki4-2-1 3ki4-2 6ki4-3+1那么偶数2m-2=6k-4时的情形为：3kj4 6kj4-1 6kj4+1 3kj4+1 奇合数奇合数3kj4+2 6kj4+2-1 6kj4+2+1 3kj4-36ki4-1 3ki4 6ki4-1+1 6ki4-1-1 3ki4-1 6ki4-2+1 6ki4-2-1 3ki4-2 6ki4-3+1 6ki4-3-1那么偶数2m+2=6k时的情形为：3kj4 6kj4-1 6kj4+1 3kj4+1 奇合数奇合数3kj4+2 6kj4+2-1 6kj4+2+1 3kj4-33ki4+1 6ki4+1 6ki4-1 3ki4 6ki4-1+1 6ki4-1-1 3ki4-1 6ki4-2+1 6ki4-2-1 3ki4-2 对于偶数2m=6k-2，如果只出现上面（22）情形，这与偶数（2m-2）可表为两个奇素数之和的情形产生矛盾；如果只出现上面（23）情形，这与偶数2m可表为两个奇素数之和的情形产生矛盾；如果只出现上面（24）情形，这与偶数2m可表为两个奇素数之和的情形产生矛盾；对于偶数2m=6k-2，如果只出现上面（22）和（23）的情形，并且上面（22）情形中奇数（6ki2-1+1）这样情形的奇数均为奇合数以及上面（23）情形中奇数（6ki3-1-1）这样情形的奇数均为奇合数，这与偶数（2m-2）和偶数（2m+2）均可表为两个奇素数之和的情形产生矛盾。所以要满足定理3成立的情形以及满足偶数（2m-2）和偶数（2m+2）均可表为两个奇素数之和的情形，从上面（21），（22），（23），（24）的情形可知，当偶数2m=6k-2时，必须至少有下列情形之一：上面（21）情形中奇数（6ki1-1-1）和（6ki1-2+1）这样情形的奇数至少出现一组均为奇素数；上面（22）情形中奇数（6ki2-1-1）这样情形的奇数至少出现一个为奇素数以及上面（23）情形中奇数（6ki3-2+1）这样情形的奇数至少出现一个为奇素数，并且上面（22）情形中奇数（6ki2-1+1）这样情形的奇数至少出现一个为奇素数或者上面（23）情形中奇数（6ki3-1-1）这样情形的奇数至少出现一个为奇素数。从偶数2m=6k时的情形可知，偶数2m=6k-2时的情形中，必有下列情形之一至少出现一次：3kj1 6kj1-1 6kj1+1 3kj1+1 奇素数 奇素数 3kj1+2 6kj1+2-1 6kj1+2+1 3kj1-36ki1+1 6ki1-1 3ki1 奇素数 奇素数 3ki1-1 6ki1-2+1 6ki1-2-1 3ki1-2 6ki1-3+1或者3kj1 6kj1-1 6kj1+1 3kj1+1 奇合数 奇素数 3kj1+2 6kj1+2-1 6kj1+2+1 3kj1-36ki1+1 6ki1-1 3ki1 奇素数 奇素数 3ki1-1 6ki1-2+1 6ki1-2-1 3ki1-2 6ki1-3+1和3kj1 6kj1-1 6kj1+1 3kj1+1 奇素数 奇合数3kj1+2 6kj1+2-1 6kj1+2+1 3kj1-36ki1+1 6ki1-1 3ki1 奇素数 奇素数 3ki1-1 6ki1-2+1 6ki1-2-1 3ki1-2 6ki1-3+1第三、分析偶数2m=6k+2时的情形：1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 6ki+1 6ki-1 3ki 6ki-1+1 6ki-1-1 3ki-1 6ki-2+1 6ki-2-1 3ki-2 6ki-3+1 21 23 6kj-2-1 6kj-2+1 3kj-1 6kj-1-1 6kj-1+1 3kj 6ki-3-1 3ki-3 3kr 6kr+1 6kr-1 3kr 6kr-1+1 6kr-1-1 6ki-3+1 3ki-2 6ki-2-1 6ki-2+1 3ki-1 6ki-1-1 6ki-1+1 3ki 6ki-1 6ki+119 17 15 13 11 9 7 5 3 1（31）、对于偶数2m=6k+2，必有如下情形：3kj1 6kj1-1 6kj1+1 3kj1+1 奇素数 奇素数 3kj1+2 6kj1+2-1 6kj1+2+16ki1-1 3ki1 6ki1-1+1 6ki1-1-1 3ki1-1 6ki1-2+1 6ki1-2-1 3ki1-2 6ki1-3+1 那么偶数2m-2=6k时的情形为：3kj1 6kj1-1 6kj1+1 3kj1+1 奇素数 奇素数 3kj1+2 6kj1+2-1 6kj1+2+13ki1 6ki1-1+1 6ki1-1-1 3ki1-1 6ki1-2+1 6ki1-2-1 3ki1-2 6ki1-3+1 6ki1-3-1那么偶数2m+2=6k+4时的情形为：3kj1 6kj1-1 6kj1+1 3kj1+1 奇素数 奇素数 3kj1+2 6kj1+2-1 6kj1+2+16ki1+1 6ki1-1 3ki1 6ki1-1+1 6ki1-1-1 3ki1-1 6ki1-2+1 6ki1-2-1 3ki1-2 （32）、对于偶数2m=6k+2，必有如下情形：3kj2 6kj2-1 6kj2+1 3kj2+1 奇素数 奇合数 3kj2+2 6kj2+2-1 6kj2+2+16ki2-1 3ki2 6ki2-1+1 6ki2-1-1 3ki2-1 6ki2-2+1 6ki2-2-1 3ki2-2 6ki2-3+1 那么偶数2m-2=6k时的情形为：3kj2 6kj2-1 6kj2+1 3kj2+1 奇素数 奇合数 3kj2+2 6kj2+2-1 6kj2+2+13ki2 6ki2-1+1 6ki2-1-1 3ki2-1 6ki2-2+1 6ki2-2-1 3ki2-2 6ki2-3+1 6ki2-3-1那么偶数2m+2=6k+4时的情形为：3kj2 6kj2-1 6kj2+1 3kj2+1 奇素数 奇合数 3kj2+2 6kj2+2-1 6kj2+2+16ki2+1 6ki2-1 3ki2 6ki2-1+1 6ki2-1-1 3ki2-1 6ki2-2+1 6ki2-2-1 3ki2-2 （33）、对于偶数2m=6k+2，必有如下情形：3kj3 6kj3-1 6kj3+1 3kj3+1 奇合数 奇素数 3kj3+2 6kj3+2-1 6kj3+2+16ki3-1 3ki3 6ki3-1+1 6ki3-1-1 3ki3-1 6ki3-2+1 6ki3-2-1 3ki3-2 6ki3-3+1 那么偶数2m-2=6k时的情形为：3kj3 6kj3-1 6kj3+1 3kj3+1 奇合数 奇素数 3kj3+2 6kj3+2-1 6kj3+2+13ki3 6ki3-1+1 6ki3-1-1 3ki3-1 6ki3-2+1 6ki3-2-1 3ki3-2 6ki3-3+1 6ki3-3-1那么偶数2m+2=6k+4时的情形为：3kj3 6kj3-1 6kj3+1 3kj3+1 奇合数 奇素数 3kj3+2 6kj3+2-1 6kj3+2+16ki3+1 6ki3-1 3ki3 6ki3-1+1 6ki3-1-1 3ki3-1 6ki3-2+1 6ki3-2-1 3ki3-2 （34）、对于偶数2m=6k+2，必有如下情形：3kj4 6kj