广东省揭阳市高三数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

广东省揭阳市2015届 高三上学期期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设集合a=x|x21=0，b=x|x（x1）=0，则ab=（）a1，1b0，1c0，1d0，1，12（5分）设i为虚数单位，复数z=（1+i）2，则z的共轭复数为（）a2ib2ic22id2+2i3（5分）已知命题p：四边形确定一个平面，命题q：两两相交的三条直线确定一个平面，则下列命题为真命题的是（）apqbpqc（p）qdp（q）4（5分）已知数列an的前n项和sn=n2+n，则a32a22=（）a9b18c21d5（5分）已知|=6，|=4，与的夹角为120，则（+2）（3）的值是（）a84b144c48d726（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=3x+5y，则log3的最大值为（）a18b2c9dlog37（5分）图1是某小区100户居民月用电量（单位：度）的频率分布直方图，记月用电量在50，100）的用户数为a1，用电量在100，150）的用户数为a2，以此类推，用电量在300，350的用户数为a6，图2是统计图1中居民月用电量在一定范围内的用户数的一个算法流程图根据图1提供的信息，则图2中输出的s值为（）a82b70c48d308（5分）已知函数f（x）的定义域为r，若f（x+1）、f（x1）都是奇函数，则（）af（x）是奇函数bf（x）是偶函数cf（x+5）是偶函数df（x+7）是奇函数二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分（一）必做题（9-13题）9（5分）一几何体的三视图如图示，则该几何体的体积为10（5分）函数f（x）=1ex的图象与y轴相交于点p，则曲线在点p处的切线的方程为11（5分）在的二项式展开式中，常数项等于12（5分）抛物线y=上到焦点的距离等于6的点的坐标为13（5分）在区域中随机取一点p（a，b），则满足bsina+1的概率为二.选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题）14（5分）在极坐标系（，）（0，02）中，曲线=2cos与24cos+3=0的交点的极坐标为（几何证明选讲选做题）15如图，锐角三角形abc是一块钢板的余料，边bc=24cm，bc边上的高ad=12cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在bc上，其余两个顶点分别在ab、ac上，则这个正方形零件的面积为cm2三解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（12分）在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c且ac，已知abc的面积s=，cosb=，b=3（1）求a和c的值；（2）求cos（bc）的值17（12分）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分用xn表示编号为n（n=1，2，6）的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：编号n12345成绩xn7076727072（1）求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；（2）从这6位同学中，随机地选3位，记成绩落在（70，75）的人数为，求的分布列和数学期望18（14分）如图，四棱锥pabcd中，底面abcd为矩形，pa平面abcd，e为pd的中点（1）证明：pb平面aec；（2）已知ap=1，ad=，设ec与平面abcd所成的角为，且tan=，求二面角daec的大小19（14分）已知函数f（x）=，f（1）=1，f（）=，数列xn满足x1=，xn+1=f（xn）（1）求x2，x3的值；（2）求数列xn的通项公式；（3）证明：+20（14分）双曲线c的焦点分别为f1（2，0），f2（2，0），且双曲线c经过点p（4，2）（1）求双曲线c的方程；（2）设o为坐标原点，若点a在双曲线c上，点b在直线x=上，且，是点o为圆心的定圆恒与直线ab相切？若存在，求出该圆的方程，若不存在，请说明理由21（14分）若实数x、y、m满足|xm|ym|，则称x比y更接近m（1）若x23比1更接近0，求x的取值范围；（2）对任意两个正数a、b，试判断与哪一个更接近ab？并说明理由；（3）当a2且x1时，证明：比x+a更接近lnx广东省揭阳市2015届高三上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设集合a=x|x21=0，b=x|x（x1）=0，则ab=（）a1，1b0，1c0，1d0，1，1考点：交集及其运算 专题：集合分析：直接利用已知条件求出集合a、b，然后求出并集即可解答：解：集合a=x|x21=0=1，1，b=x|x（x1）=0=0，1，则ab=1，0，1故选：d点评：本题考查集合的并集的求法，并集中的元素是两个集合的所有元素，但是不能重复2（5分）设i为虚数单位，复数z=（1+i）2，则z的共轭复数为（）a2ib2ic22id2+2i考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的乘法运算法则求出复数z，然后求出共轭复数解答：解：i为虚数单位，复数z=（1+i）2=1+2i1=2i则z的共轭复数为：2i故选：a点评：本题考查复数的基本运算，复数的概念，基本知识的考查3（5分）已知命题p：四边形确定一个平面，命题q：两两相交的三条直线确定一个平面，则下列命题为真命题的是（）apqbpqc（p）qdp（q）考点：复合命题的真假 专题：简易逻辑分析：命题p：是一个假命题，例如：把一个平面四边形沿着对角线折起一个角度可得一个空间四边形；命题q：是一个假命题，例如一个三棱锥的三条棱不在同一个平面内解答：解：命题p：四边形确定一个平面，是一个假命题，例如：把一个平面四边形沿着对角线折起一个角度可得一个空间四边形，因此不正确；命题q：两两相交的三条直线确定一个平面，是一个假命题，例如一个三棱锥的三条棱不在同一个平面内因此pq是真命题故选：c点评：本题考查了简易逻辑的判定、空间线面的位置关系判定，考查了推理能力，属于基础题4（5分）已知数列an的前n项和sn=n2+n，则a32a22=（）a9b18c21d考点：等差数列的前n项和 专题：等差数列与等比数列分析：直接利用已知条件，求出数列的前3项，然后求解即可解答：解：数列an的前n项和sn=n2+n，则a1=，a2=5=，a3=a32a22=18故选：b点评：本题考查等差数列求和，数列项的求法，考查计算能力5（5分）已知|=6，|=4，与的夹角为120，则（+2）（3）的值是（）a84b144c48d72考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：利用向量的乘法展开所求，利用已知可求向量的数量积以及模解答：解：由已知可得=64=12，所以（+2）（3）=3696+12=48；故选c点评：本题考查了向量的运算，数量积的乘法，模与向量的平方等知识点，属于基础题6（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=3x+5y，则log3的最大值为（）a18b2c9dlog3考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到最大值解答：解：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+5y得y=，平移直线y=，则由图象可知当直线y=经过点a时直线y=的截距最大，此时z最大，当经过点b时，直线的截距最小，此时z最小由，解得，即a（1，3），此时z=31+53=18，则log3的最大值为log3=log39=2，故选：b点评：本题主要考查线性规划的应用以及对数的基本运算，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键7（5分）图1是某小区100户居民月用电量（单位：度）的频率分布直方图，记月用电量在50，100）的用户数为a1，用电量在100，150）的用户数为a2，以此类推，用电量在300，350的用户数为a6，图2是统计图1中居民月用电量在一定范围内的用户数的一个算法流程图根据图1提供的信息，则图2中输出的s值为（）a82b70c48d30考点：程序框图；频率分布直方图 专题：图表型；算法和程序框图分析：根据直方图中的各个矩形的面积代表了频率求出居民月用电量在100，150），300，350内的频率，然后根据“频数=样本容量频率”求出a1，a6的用户数，即可得解解答：解：由图2知，输出的s=a2+a3+a4+a5，由图1知，a1+a6=（0.0024+0.0012）50100=18，故s=10018=82，故选：a点评：本题考查程序框图、频率分布直方图的相关知识，直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所以各个矩形面积之和为1，频数=样本容量频率，属于基础题8（5分）已知函数f（x）的定义域为r，若f（x+1）、f（x1）都是奇函数，则（）af（x）是奇函数bf（x）是偶函数cf（x+5）是偶函数df（x+7）是奇函数考点：函数的周期性；函数奇偶性的判断 专题：计算题；函数的性质及应用分析：运用奇函数的定义，将x换成x，得到f（x+2）=f（x2），再把x换成x+2，可得f（x）是以4为周期的周期函数，8也是函数f（x）的周期，即可判断d正确解答：解：由f（x+1）、f（x1）都是奇函数得f（x+1）=f（x+1），f（x1）=f（x1），从而有f（x）=f（2x），f（x）=f（x2），故有f（2x）=f（x2）f（x+2）=f（x2）f（x+4）=f（x），即f（x）是以4为周期的周期函数，因f（x1）为奇函数，8也是函数f（x）的周期，所以f（x+7）也是奇函数故选d点评：本题考查函数的奇偶性和周期性的判断，考查运算能力，属于中档题和易错题二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分（一）必做题（9-13题）9（5分）一几何体的三视图如图示，则该几何体的体积为考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：由三视图可知，该几何体为底一圆柱的一半，底面直径为2，高为2，求出体积即可解答：解：由题意，该几何体为一圆柱的一半，底面直径为2，高为2体积v=故答案为：点评：本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键10（5分）函数f（x）=1ex的图象与y轴相交于点p，则曲线在点p处的切线的方程为x+y=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的综合应用分析：求出函数f（x）与y轴的交点坐标，再求出原函数的导函数，得到函数在x=0处的导数，由直线方程的点斜式得答案解答：解：由f（x）=1ex，得f（0）=1e0=0又f（x）=ex，f（0）=e0=1f（x）=1ex在点p（0，0）处的切线方程为y0=1（x0），即x+y=0故答案为：x+y=0点评：本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题11（5分）在的二项式展开式中，常数项等于20考点：二项式定理的应用 专题：计算题分析：研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得x的指数为0，得到相应的r，从而可求出常数项解答：解：展开式的通项为tr+1=x6r（）r=（1）r x62r令62r=0可得r=3常数项为（1）3=20故答案为：20点评：本题主要考查了二项式定理的应用，解题的关键是写出展开式的通项公式，同时考查了计算能力，属于基础题12（5分）抛物线y=上到焦点的距离等于6的点的坐标为（4，4）或（4，4）考点：抛物线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由抛物线解析式确定出p的值，进而确定出焦点坐标，设所求点坐标为（a，a2），利用两点间的距离公式列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可确定出所求点坐标解答：解：抛物线解析式变形得：x2=8y，即p=4，焦点坐标为（0，2），设所求点坐标为（a，a2），根据题意得：=6，解得：a=4或4，则所求点坐标为（4，4）或（4，4），故答案为：（4，4）或（4，4）点评：此题考查了抛物线的简单性质，两点间的距离公式，熟练掌握抛物线的简单性质是解本题的关键13（5分）在区域中随机取一点p（a，b），则满足bsina+1的概率为考点：定积分；几何概型 专题：概率与统计分析：本题是几何概型的考查，画出图形，利用几何概型概率公式，首先分别求出矩形的面积以及阴影部分的面积，然后求值解答：解：如图，由题意，满足几何概型，矩形的面积为24=8，满足bsina+1的是图中阴影部分，其面积为=（3a+cosa）|=6，所以由几何概型的概率公式得满足bsina+1的概率为；故答案为：点评：本题考查了几何概型的概率求法；关键是利用定积分求出满足条件的曲边梯形的面积，然后由概率公式解答二.选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题）14（5分）在极坐标系（，）（0，02）中，曲线=2cos与24cos+3=0的交点的极坐标为考点：简单曲线的极坐标方程 专题：坐标系和参数方程分析：首先，将所给的极坐标方程化为直角坐标方程，然后，求解其交点，然后，再将交点化为极坐标中的点即可解答：解：根据=2cos，得x2+y2=2x，根据24cos+3=0，得x2+y24x+3=0，x=，y=，交点（，）或（，），化为极坐标为：故答案为：点评：本题重点考查了极坐标和直角坐标方程的互化、曲线的交点的求解等知识，属于中档题（几何证明选讲选做题）15如图，锐角三角形abc是一块钢板的余料，边bc=24cm，bc边上的高ad=12cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在bc上，其余两个顶点分别在ab、ac上，则这个正方形零件的面积为64cm2考点：平行线分线段成比例定理 专题：选作题；立体几何分析：根据aefabc，相似三角形对应边上的高线的比等于相似比，求出正方形efgh的边长，可得正方形零件的面积解答：解：设ef与ad交于o，则efbc，aefabc，设正方形efgh的边长是xcm则解得：x=8故正方形零件的面积为64cm2故答案为：64点评：本题考查综合考查相似三角形性质的应用以及正方形的有关性质，解题的关键是根据正方形的性质得到相似三角形三解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（12分）在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c且ac，已知abc的面积s=，cosb=，b=3（1）求a和c的值；（2）求cos（bc）的值考点：余弦定理；两角和与差的余弦函数；正弦定理 专题：解三角形分析：（1）利用同角三角函数基本关系式可得sinb，再利用三角形的面积计算公式、余弦定理即可得出；（2）利用正弦定理可得sinc，利用同角三角函数基本关系式、两角和差的余弦公式即可得出解答：解：（1）0，由，得ac=5由余弦定理得：b2=a2+c22accosb，a2+c2=26，联立，结合ac，解得a=5，c=1（2）由正弦定理知，=，ac，cos（bc）=cosbcosc+sinbsinc=点评：本题考查了正弦定理、余弦定理、同角三角函数基本关系式、两角和差的余弦公式、三角形的面积计算公式，属于中档题17（12分）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分用xn表示编号为n（n=1，2，6）的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：编号n12345成绩xn7076727072（1）求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；（2）从这6位同学中，随机地选3位，记成绩落在（70，75）的人数为，求的分布列和数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 专题：概率与统计分析：（1）由题意得，由此能求出x6=90和这6位同学成绩的标准差（2）这6位同学中，成绩落在（70，75）的有编号为3、5两位同学，故的可能取值为：0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望解答：解：（1）由题意得，（2分）解得x6=90，（3分）这6位同学成绩的标准差：（6分）（2）这6位同学中，成绩落在（70，75）的有编号为3、5两位同学，故的可能取值为：0，1，2（7分）且，（8分），（9分），（10分）的分布列为：（11分）012p（）的数学期望：（12分）点评：本题考查标准差的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年2015届高考中都是必考题型之一18（14分）如图，四棱锥pabcd中，底面abcd为矩形，pa平面abcd，e为pd的中点（1）证明：pb平面aec；（2）已知ap=1，ad=，设ec与平面abcd所成的角为，且tan=，求二面角daec的大小考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）根据线面平行的判定定理即可证明pb平面aec；（2）方法1：根据线面所成的角的定义结合二面角的求解方法，进行求解方法2：利用向量法或定义法进行求解即可解答：证明：（1）连结bd交ac于点o，连接eoabcd为矩形，o为bd的中点（1分）又e为pd的中点，eopb（2分）eo平面aec，pb平面aec，pb平面aec（3分）（2）过点e作efpa交ad于f，连结fc，pa平面abcd，ef平面abcd，且ecf=（4分）由得（5分）则，（6分）解法一：过d作dqae交ae于点q，连结cq，pa面pad，面pad面abcd，（7分）又面pad面abcd=ad，cdad，cd面pad（8分）aq面apdcdaq，且dqaq=q，aq面cdq，故aqcq（9分）dqc是二面角daec的平面角（10分）ap=1，又e为pd的中点，（11分）在rtaqd中，（13分）0cqd，即二面角daec的大小为（14分）解法二：以a为原点，ab、ad、ap所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，（7分）则a（0，0，0），p（0，0，1），（8分）故，（9分）由条件可知，为平面ade的一个法向量，（10分）设平面aec的一个法向量为，则由，得，取x=2，得，（12分）设二面角daec的大小为，则=，即二面角daec的大小为（14分）点评：本题主要考查空间直线和平面平行的判定以及空间二面角的求解，利用向量法或定义法是解决空间角的常用方法，考查学生的推理和计算能力19（14分）已知函数f（x）=，f（1）=1，f（）=，数列xn满足x1=，xn+1=f（xn）（1）求x2，x3的值；（2）求数列xn的通项公式；（3）证明：+考点：数列与函数的综合；数列递推式；数列与不等式的综合 专题：等差数列与等比数列分析：（1）由已知求出a=2，b=1，从而得到，由此利用递推思想能求出x2，x3的值（2）猜想xn=再用数学归纳法进行证明，能求出数列xn的通项公式（3）由=，得到+，由此能证明+解答：（1）解：f（x）=，f（1）=1，f（）=，解得a=2，b=1，数列xn满足x1=，xn+1=f（xn），x2=f（）=，x3=f（）=（2）解：由（1）猜想xn=用数学归纳法证明：n=1时，x1=，成立假设n=k时成立，即，则xk+1=f（xk）=，也成立，由知xn=（3）证明：=，+=（1）+点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归思想、函数思想的合理运用，解题时要注意数学归纳法的合理运用20（14分）双曲线c的焦点分别为f1（2，0），f2（2，0），且双曲线c经过点p（4，2）（1）求双曲线c的方程；（2）设o为坐标原点，若点a在双曲线c上，点b在直线x=上，且，是点o为圆心的定圆恒与直线ab相切？若存在，求出该圆的方程，若不存在，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的关系；双曲线的标准方程 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）设双曲线方程为=1，由已知得，b2=8a2，由此能求出双曲线c的方程（2）设点a，b的坐标分别为（x0，y0），（，t），其中x02，或x02当y0t时，直线ab的方程为（y0t）x（）y+tx0=0，由此利用点到直线距离公式、弦长公式、韦达定理，利用已知条件能求出圆的方程解答：解：（1）依题意知双曲线c的焦点在x轴，设其方程为=1，（1分）点p（4，2）在双曲线c上，又b2=8a2，代入去分母整理得：a468a2+328=0，又ac，解得a2=4，b2=4，（3分）所求双曲线c的方程为（4分） （2）设点a，b的坐标分别为（x0，y0），（，t），其中x02，或x02（5分）当y0t时，直线ab的方程为yt=（x），即（y0t）x（）y+tx0=0，（6分），若存在以点o为圆心的定圆与ab相切，则点o到直线ab的距离必为定值，设圆心o到直线ab的距离为d，则d=（7分）y00，t=，（8分）又=4，=2，（11分）此时直线ab与圆x2+y2=