中考数学复习 第七单元 三角形 第24课时 直角三角形和勾股定理课件.ppt

第24课时直角三角形和勾股定理 1 下列四组线段中 能组成直角三角形的是 a a 1 b 2 c 3b a 2 b 3 c 4c a 2 b 4 c 5d a 3 b 4 c 52 在rt abc中 c 90 b 30 斜边ab的长为2cm 则ac长为 a 4cmb 2cm 小题热身 d c 3 如图24 1 一圆柱体的底面周长为24cm 高bd为4cm bc是直径 一只蚂蚁从点d出发沿着圆柱的表面爬行到点c的最短路程大约是 a 6cmb 12cmc 13cmd 16cm 图24 1 b 解析 如答图 将圆柱体展开 连结dc 圆柱体的底面周长为24cm 则da 12cm 根据两点之间线段最短 第3题答图 4 2016 泉州 如图24 2 在rt abc中 e是斜边ab的中点 若ab 10 则ce 图24 2 5 一 必知3知识点1 直角三角形定义 有一个角是直角的三角形是直角三角形 直角三角形的性质 1 直角三角形的两个锐角 2 直角三角形的斜边上的中线等于斜边的 3 在直角三角形中 30 的角所对的边等于斜边的 直角三角形的判定 有两个角互余的三角形是 三角形 考点管理 互余 一半 一半 直角 2 勾股定理勾股定理 如果直角三角形的两直角边分别为a b 斜边为c 那么a2 b2 c2 智慧锦囊 勾股定理的作用 1 已知直角三角形的两条边 求第三边 2 已知直角三角形的一边 确定另外两边的关系 3 证明带有平方关系的问题 4 把实际问题转化为直角三角形中应用勾股定理的问题 3 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长分别为a b c 并且满足a2 b2 c2 那么这个三角形是 三角形 勾股数 能构成直角三角形的三条边长的三个正整数 称为勾股数 智慧锦囊 勾股定理逆定理的应用 1 判断三角形的形状 2 证明两条线段垂直 3 实际应用 直角 二 必会2方法1 面积法用面积法证明是常用的技巧之一 勾股定理的证明通常用面积法 即利用某个图形的多种面积求法或面积之间的和差关系列出等式 从而得到证明的结论 2 数形结合思想在解决一些实际问题时 如立体图形侧面两点的距离问题 折叠问题 航海问题 梯子下滑问题等 常直接或间接运用勾股定理及其逆定理 解决这些问题的过程 充分体现了数形结合思想 是中考的热点 直角三角形的性质的运用 图24 3 a 例1答图 如图24 4 在 abc中 c 90 b 30 边ab的垂直平分线de交ab于点e 交bc于点d cd 3 则bc的长为 图24 4 c 解析 线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等 ad bd 可得 dae 30 易得 adc 60 cad 30 则ad为 bac的平分线 由角平分线的性质 得de cd 3 再根据直角三角形30 角所对的直角边等于斜边的一半可得bd 2de 6 bc 9 勾股定理的应用 2017 绍兴 如图24 5 小巷左右两侧是竖直的墙 一架梯子斜靠在左墙时 梯子底端到左墙角的距离为0 7m 顶端距离地面2 4m 如果保持梯子底端位置不动 将梯子斜靠在右墙时 顶端距离地面2m 则小巷的宽度为 a 0 7mb 1 5mc 2 2md 2 4m c 图24 5 例2答图 解析 如答图 在rt acb中 acb 90 bc 0 7m ac 2 4m ab2 0 72 2 42 6 25 在rt a bd中 a db 90 a d 2m bd2 a d2 a b2 bd2 22 6 25 bd2 2 25 bd 0 bd 1 5m cd bc bd 0 7 1 5 2 2 m 1 如图24 6 有两棵树 一棵高12m 另一棵高6m 两树相距8m 一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢 问小鸟至少飞行 m 图24 6 解析 根据 两点之间线段最短 可知 小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行 飞行的路程最短 运用勾股定理可将两点之间的距离求出 变式跟进1答图 10 图24 7 2 9 勾股定理与拼图 2016 株洲 如图24 8 以直角三角形a b c为边 向外分别作等边三角形 半圆 等腰直角三角形和正方形 上述四种情况中 面积关系满足s1 s2 s3的图形个数有 图24 8 d a 1个b 2个c 3个d 4个 解析 根据直角三角形以a b c为边 应用勾股定理 可得a2 b2 c2 第一个图形中 首先根据等边三角形的面积的求法 表示出3个三角形的面积 然后根据a2 b2 c2 可得s1 s2 s3 第二个图形中 首先根据圆的面积的求法 表示出3个半圆的面积 然后根据a2 b2 c2 可得s1 s2 s3 第三个图形中 首先根据等腰直角三角形的面积的求法 表示出3个等腰直角三角形的面积 然后根据a2 b2 c2 可得s1 s2 s3 第四个图形中 首先根据正方形的面积的求法 表示出3个正 1 2018 中考预测 如图24 9 正方形abcd的边长为2 其面积标记为s1 以cd为斜边作等腰直角三角形 以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形 其面积标记为s2 按照此规律继续下去 s2018的值为 图24 9 c 2 如图24 10是一株美丽的勾股树 其中所有的四边形都是正方形 所有的三角形都是直角三角形 若正方形a b c d的面积分别为2 5 1 2 则最大的正方形e的面积是 解析 根据勾股定理的几何意义 可得a b的面积和为s1 c d的面积和为s2 s1 s2 s3 即s3 2 5 1 2 10 图24 10 10 3 如图24 11 四边形abcd efgh nhmc都是正方形 边长分别为a b c a b n e f五点在同一条直线上 则c 用含有a b的代数式表示 图24 11 4 如图24 12是一种 羊头 形图案 其作法是 从正方形 开始 以它的一边为斜边 向外作等腰直角三角形 然后再以其直角边为边 分别向外作正方形 和 以此类推 若正方形 的边长为64cm 则第4个正方形的边长为 cm 图24 12 点悟 勾股定理既反映了直角三角形的三边关系 同时也反映了以直角三角形三边为边分别作出的正方形的面积关系 这是勾股定理的另一种表现形式 平面展开最短线段问题 图24 13 d 例4答图 1 2018 中考预测 如图24 14 透明的圆柱形容器 容器厚度忽略不计 的高为12cm 底面周长为10cm 在容器内壁离容器底部3cm的点b处有一饭粒 此时一只蚂蚁正好在容器外壁 且离容器上沿3cm的点a处 则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径的长是 图24 14 a 解析 如答图 将容器侧面展开 建立a关于ef的对称点a 根据两点之间线段最短可知a b的长度即最短路径 由题意得a d 5cm bd 12 3 3 12 cm 变式跟进1答图 2 如图24 15是一块长 宽 高分别是6cm 4cm和3cm的长方体木块 一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点a处 沿着长方体的表面到长方体上和a点相对的顶点b处吃食物 那么它需要爬行的最短路径的长是 图24 15 c 变式跟进2答图 3 我国古代有这样一道数学问题 枯木一根直立地上 高二丈 周三尺 有葛藤自根缠绕而上 五周而达其顶 问葛藤之长几何 题意是 如图24 16 把枯木看做一个圆柱体 因一丈是十尺 则该圆柱的高为20尺 底面周长为3尺 有葛藤自点a处缠绕而上 绕五周后其末端恰好到达点b处 则问题中葛藤的最短长度是 尺 图24 16 25 解析 如答图 一条直角边 即枯木的高 长20尺 另一条直角边长是5 3 15 尺 点悟 在求几何体表面上两点之间的最短距离时 可以通过把立体图形展开成平面图形 利用勾股定理求出几何体表面上两点之间的距离来解决 变式跟进3答图 勾股定理的逆定理如图24 17 e是正方形abcd内的一点 连结ae be ce 将 abe绕点b顺时针旋转90 到 cbe 的位置 若ae 1 be 2 ce 3 则 be c 图24 17 135 解析 首先根据旋转的性质得出 ebe 90 be be 2 ae e c 1 进而根据勾股定理的逆定理求出 ee c是直角三角形 从而得出答案 如答图 连结ee 将 abe绕点b顺时针旋转90 到 cbe 的位置 ae 例5答图 如图24 18 已知ab 4 bc 3 ad 12 dc 13 b 90 则四边形abcd的面积为 图24 18 变式跟进答图 36 赵爽弦图a 12sb 10sc 9sd 8s c 图24 19 1 2017 丽水 我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理 绘制了一幅 弦图 后人称其为 赵爽弦图 如图24 20 所示 在图 中 若正方形abcd的边长为14 正方形ijkl的边长为2 且ij ab 则正方形efgh的边长为 图24 20 10 2 2016 孝感 如图24 21是我国汉代数学家赵爽在注解 周髀算经 时给出的 赵爽弦图 图中的四个直角三角形是全等的 如果大正方形abcd的面积是小正方形efgh面积的13倍 那么tan ade的值为 图24 21 3 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理 创制了一幅 弦图 后人称其为 赵爽弦图 如图24 22 图 由弦图变化得到 它是由八个全等的直角三角形拼接而成 记图中正方形abcd 正方形efgh 正方形mnkt的面积分别为s1 s2 s3 若正方形efgh的边长为2 则s1 s2 s3 图24 22 12 解析 八个直角三角形全等 四边形abcd efgh mnkt是正方形 cg nf cf dg kf s1 cg dg 2 cg2 dg2 2cg dg gf2 2cg dg s2 gf2 s3 kf nf 2 kf2 nf2 2nf kf gf2 2cg dg s1 s2 s3 gf2 2cg dg gf2 gf2 2cg dg 3gf2 12 必明3易错点1 在利用勾股定理时 确定所给的边是直角边还是斜边 如果题中未说明 需要分类讨论 2 在已知三角形三边的前提下 判断这个三角形是否为直角三角形 首先要确定三条边中的最大边 再根