广东省揭阳市第一中学高二数学下学期期中试题 理.doc

揭阳一中2014-2015学年高二下学期期中考试数学（理）试题 一、选择题：本大题共12小题, 每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的1设集合，则 ( )a1 b2 c0，1 d1，22已知为虚数单位，复数的虚部记作，则( )a bcd3已知两个单位向量的夹角为,且满足,则实数的值是( )a b c d4已知数列为等比数列，若，则的值为( ) a. b. c. d. 图15执行如图1所示的程序框图，则输出s的值为( ) a. 16 b.25 c.36 d.49已知的三边所对的角分别为,且, 则的值为( )a. b. c. d. 7已知满足约束条件,则的最大值为( )a b c d 在中，分别为所对的边，若函数有极值点，则的范围是（ ）a. b. c. d.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积 为( ) b c d10抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于，则与的面积之比( ) 11函数是上的可导函数,时，则函数的零点个数为（ ）a. b. c. d. 12如果自然数的各位数字之和等于8，我们称为“吉祥数”. 将所有“吉祥数”从小到大排成一列，若，则( )a. 83 b.82 c.39 d.37二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分的展开式中常数项为 .（用数字表示） 15. 设p是函数图象上的动点，则点p到直线的距离的最小值为 16. 已知函数，点为坐标原点, 点n，向量， 是向量与的夹角，则的值为 . 三、解答题：本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤17. （10分）已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）若是第一象限角，且，求的值.18. （10分）空气质量指数（简称aqi）是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空气污染越严重，为了及时了解空气质量状况，广东各城市都设置了实时监测站下表是某网站公布的广东省内21个城市在2014年12月份某时刻实时监测到的数据： 城市 aqi数值城市 aqi数值城市 aqi数值城市 aqi数值城市 aqi数值城市 aqi数值城市 aqi数值广州118东莞137中山95江门78云浮76茂名107揭阳80深圳94珠海95湛江75潮州94河源124肇庆48清远47佛山160惠州113汕头88汕尾74阳江112韶关68梅州84（1）请根据上表中的数据，完成下列表格：空气质量优质良好轻度污染中度污染aqi值范围0,50)50，100）150,200)城市个数（2）统计部门从空气质量“良好”和“轻度污染”的两类城市中采用分层抽样的方式抽取个城市，省环保部门再从中随机选取个城市组织专家进行调研，则选取的3个城市中至少有2个城市空气质量“良好”的概率是多少？19. （12分）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其中正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形求证：平面；设为直线与平面所成的角，求的值；设为中点，在边上求一点，使平面，求的值.20.（12分）已知数列中，,.（1）求，的值；（2）求证：是等比数列，并求数列的通项公式；（3）数列满足，数列的前n项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围. 21. （12分）椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为(1) 求椭圆的标准方程；(2) 若直线与椭圆相交于两点(不是左右顶点)，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标f2oxypabf1a2l22.（14分）设函数，求函数的最大值；记，是否存在实数，使在上恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；证明：（，） 2014-2015学年高二下学期期中考试数学（理）参考答案选择题：1-12 dabccc ddabda二、填空题：13. ； 14. ； 15. ； 16. 三、解答题：17.（10分）（1）解： 1分 2分 . 3分 函数的最小正周期为. 4分解：， . 5分 . . 6分 是第一象限角， . 7 . 8分 9分 . 10分18.（10分）解:（1）根据数据，完成表格如下：空气质量优质良好轻度污染中度污染aqi值范围0,50)50，100）150,200)城市频数21261 4分 按分层抽样的方法， 从“良好”类城市中抽取个 5分 从“轻度污染”类城市中抽取个， 6分现从这6个城市选取3个城市，所有的选取可能为：种7分其中至少有2个城市空气质量“良好”的选取可能为：种8分故从6个城市选出的3个城市至少有2个城市空气质量“良好”的概率p=10分19.（12分）解：（1）证明该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，两两垂直。 且 , （3分）以ba，bb1 ，bc分别为轴建立空间直角坐标系，如图则n（4,4,0），b1（0, 8,0），c1（0,8,4），c（0,0,4）=（4,4,0）（-4,4,0）=-16+16=0 =（4,4,0）（0,0,4）=0 bnnb1，bnb1c1且nb1与b1c1相交于b1，bn平面c1b1n； -（5分）（2）设为平面的一个法向量，则 则 -（8分）（3）m（2,0,0）设p(0,0,a)为bc上一点,则, mp/平面cnb1, 又,当pb=1时mp/平面cnb1 -（12分）（12分）解：（1） 2分由知， 又是以为首项，为公比的等比数列， 5分 （2）， ， 两式相减得： ， 8分 9分若n为偶数，则10分若n为奇数，则11分 12分21.（12分）解：（1）由题： 左焦点 (c,0) 到点 p(2,1) 的距离为：d = = 2分oxypabf1f2a2l由可解得c = 1 ， a = 2 ， b 2 = a 2c 2 = 3 3分 所求椭圆 c 的方程为 4分（2）设 a(x1,y1)、b(x2,y2)，将 y = kx + m代入椭圆方程得 (4k 2 + 3) x 2 + 8kmx + 4m 212 = 0x1 + x2 = ，x1x2 = ， 5分且y1 = kx1 + m，y2 = kx2 + mab为直径的圆过椭圆右顶点 a2(2,0) ，所以 = 0 6分所以 (x12,y1)(x22,y2) = (x12) (x22) + y1y2 = (x12) (x22) + (kx1 + m) (kx2 + m)= (k 2 + 1) x1x2 + (km2) (x1 + x2) + m 2 + 4= (k 2 + 1)(km2)+ m 2 + 4 = 0 9分整理得 7m 2 + 16km + 4k 2 = 0m