复变函数经典习题.pdf

1 一 一 判断正误 正确划 错误划 判断正误 正确划 错误划 1 2 2 zz 2 若 0 z f 存在 则 zf在 0 z解析 3 若 yxu yxv连续 则 yxivyxuzf 连续 4 zf在区域D内解析 L是D内简单闭曲线 则 L dzzf0 5 函数 zf的奇点必都是孤立奇点 6 z zz 7 LnzLnz2 2 8 若 0 z是 zf的奇点 那么 zf在 0 z不可导 9 c n ni n dz zz I 02 00 1 1 0 rzzc 0 10 若级数 0 2 n n n zc在0 z处收敛 则它必在3 z处发散 二 填空题二 填空题 1 方程 20 sincos ttibtaz表示的曲线为 2 1 Ln 3 1 1 z z z dzee 4 级数 1 3 n n n z 的收敛半径为 5 单位脉冲函数 t 的傅立叶变换 tF 6 1 2 1 s L 7 0 3 2cos tdte t 8 若 zfw 在 0 z是共形映射 则 zfw 在 0 z具有两个性质 2 9 满足1 Re zz的点的轨迹是 10 将上半平面0 Im z映射成单位圆1 W的分式线性映射的一般形式 为 11 矩形脉冲函数 其它0 0 tA tf的 Fourier 变换为 12 t 为单位脉冲函数 且 tf无穷次可微 则 dttft 13 2 sin t tf 则其 Laplace 变换 sF 三 三 综合题综合题 1 解方程 01 2 z e 2 求卷积 tt 3 在1 z内将 z zf 1 1 展成罗朗级数 4 求 2 z z zf在1 0 z的泰勒展式 5 计算dz zz z I P 2 12 其中P是包含圆周1 z在内的任意简单正向闭曲线 6 求 0 sin 22 adx ax xx I 7 求 2 1 1 zz zf m 在有限整点处的留数 并求 3 zC dzzf C取 正向 其中 m为正整数 3 8 求积分 2 2 1 4 sin z dz z z 9 求积分 1 sin z dz z z 10 求积分 i i zdz e 3 2 11 求函数 0 0 其它 tA tf的傅氏变换 12 求函数 t tetf 1 的拉氏变换 13 解微分方程 1 0 0 34 yyeyyy t 14 i 1 15 t et 16 12 2 zzfw在iz 处的旋转角和伸缩率 17 将 z zf 1 1 在1 z处展成罗朗级数 18 函数 z 1 W 将z平面上曲线4 22 yx映射成W平面上怎样的曲线 并作图 19 求矩形单脉冲 其它0 0 tE tf的频谱函数 20 求函数ktttfsin 的 Laplace 变换 Rk 21 若ivuzf 在区域D内是解析的 且u是实常数 证明 zf在D 上是常数 22 证明 Fourier 变换的微分性质 即若 tfFwF tf在 上ct或只有有限个可去间断点 且当 t 时 0 tf 则 tfjwFtfF 23 若函数 ivuzf 及 zf 在区域D内解析 则 zf 恒为常数 4 24 若 1 1 n n zz z n是正整数 则 A Re 0 B Im 0 C arg 0 D arg 25 33 13i13i 22 nn A 1 2 n B 1 1 2 n C 2 D 2 26 对任意复数 12 z z 证明不等式 121212 zzzzzz 27 若 123 zzz 且 123 0zzz 证明以 123 z zz 为顶点的三角形是正三 角形 28 若复数 123 z zz 满足等式 1321 3123 zzzz zzzz 证明 213123 zzzzzz 29 设实数 1r 求下面级数的和 1 0 cos k k rk 2 1 sin k k rk 30 已知映射 1 z 求 1 圆周 2z 的像 2 直线 yx 的像 3 区域 1x 的像 31 求极限 2 1 22 lim 1 z zzzz z 32 证明 zz f z zz 在 0 0 点的极限不存在 33 证明 argf zz 在负实轴上不连续 34 映射 2 wz 在 iz 处的伸缩率k与旋转角 是 5 A 1 2 k B 2 2 k C 1 2 k D 2 2 k 35 在映射 1 w z 下 将 1 1z 映射为 A 右半平面 0u B 下半平面 0v C 半平面 1 2 u D 1 2 v 36 求将圆 2z 映射到右半平面 且 0 1 arg 0 2w w 的分式线性映射 37 求把上半平面Im 0z 映射成单位圆 1w 的分式线性映射 且满足条 件