大学经典课件之高等数学——10-3格林公式.pdf

第十章第十章 第三节第三节 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 格林公式格林公式 二 曲线积分与路径无关的条件 一 格林公式 三 全微分方程 二 曲线积分与路径无关的条件 一 格林公式 三 全微分方程 设 设 D 为平面区域 如果 为平面区域 如果 D 内任一闭曲线所 围成的区域全都属于 内任一闭曲线所 围成的区域全都属于 D 则称 则称 D 为平面单连通 区域 否则称为复连通区域 为平面单连通 区域 否则称为复连通区域 复连通区域单连通区域复连通区域单连通区域 D D 连通区域连通区域 一 格林公式一 格林公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 设有界闭区域 设有界闭区域 D 的边界由一条或几条 闭曲线组成 规定 的边界由一条或几条 闭曲线组成 规定 D 的边界的正向如下 当观察者沿这个方向行走时 区域 的边界的正向如下 当观察者沿这个方向行走时 区域 D 总在 它的左边 总在 它的左边 区域边界曲线的正向区域边界曲线的正向 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理 1 定理 1 设闭区域 设闭区域 D由分段光滑的曲线 由分段光滑的曲线 L 围成 函数 围成 函数 yxQyxP及及在 在 D上具有一阶 连续偏导数 则有 上具有一阶 连续偏导数 则有 格林公式格林公式 其中 其中 L是 是 D的取正向的边界曲线 公式 1 叫 做 的取正向的边界曲线 公式 1 叫 做格林公式格林公式 1 L D QdyPdxdxdy y P x Q 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 若区 域 1 若区 域 D既是 既是 X型 又是 型 又是 Y型 即平 行于坐标轴的直 线和 型 即平 行于坐标轴的直 线和 L至多交于 两点 至多交于 两点 21 bxaxyxyxD 证明 证明 21 dycyxyyxD y x o a b D c d 1 xy 2 xy A B C E 2 yx 1 yx 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 dx x Q dydxdy x Q y y d c D 2 1 d c d c dyyyQdyyyQ 12 CAECBE dyyxQdyyxQ EACCBE dyyxQdyyxQ L dyyxQ 同理可证同理可证 L D dxyxPdxdy y P y x o d 2 yx D c C E 1 yx A B 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 两式相加得两式相加得 L D QdyPdxdxdy y P x Q 2 若区域 2 若区域 D由分段光滑的闭 曲线围成 如图 将 由分段光滑的闭 曲线围成 如图 将D分成三分成三个个 既是既是 X型又是型又是 Y型的区域型的区域 1 D 2 D 3 D 则 则 L 1 L 2 L3 L D 1 D 2 D3 D 321 DDDD dxdy y P x Q dxdy y P x Q 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 321 DDD dxdy y P x Q dxdy y P x Q dxdy y P x Q 321 LLL QdyPdxQdyPdxQdyPdx L QdyPdx 321 来说为正方向对 来说为正方向对DLLL G D 3 L 2 L F C E 1 L A B 3 若区域不止由一条闭曲线 3 若区域不止由一条闭曲线所所 围成 添加直线段围成 添加直线段 AB CE 则则D的 边界曲线由 的 边界曲线由 AB 2 L BA AFC CE 3 L EC 及及 CGA 构成 构成 由 2 知由 2 知 D dxdy y P x Q CEAFCBALAB 2 CGAECL QdyPdx 3 L QdyPdx 231 LLL QdyPdx 32 1 来说为正方向对 来说为正方向对DLLL 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 综上所述 格林公式成立 综上所述 格林公式成立 注意格林公式成立的条件 注意格林公式成立的条件 例 1 例 1 计算 计算 L ydyydxx 2 其中 其中 L是抛物线是抛物线xy 2 与直线与直线xy 所围的闭曲线 方向沿逆时针方向 所围的闭曲线 方向沿逆时针方向 解 解 yQyxP 2 2 x y P x Q L ydyydxx 2 则则 dxdyx D 2 1 1 A xy xy 2 o x y dyxdx x x 2 1 0 28 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 x y o L 例 2例 2 计算 计算 BA xdy 其中曲线 其中曲线 BA 是半径为 是半径为 r的圆在第一象限部分 的圆在第一象限部分 解解 引入辅助曲线 引入辅助曲线 L A B D BOABOAL 应用格林公式应用格林公式 xQP 0 有有 dyx BA BOOAL xdyxdyxdy 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 D L dxdyxdyQ 0 0 BOOA xdyxdy 4 1 2 rdxdyxdy D BA 例 3 例 3 计算 计算 L xx dyexdxye 1 其中 其中 L是沿 椭圆 是沿 椭圆1 2 2 2 2 b y a x 的上半部分由的上半部分由 0 aA到到 0 aB 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 aA 0 aB 0 bE o 解1解1 dbea aeb a a cos cos sin sin1 cos 0 cos 原式原式 0 sin cos by ax L aab2 2 计算较繁计算较繁 例 3 例 3 计算 计算 L xx dyexdxye 1 其中 其中 L是沿 椭圆 是沿 椭圆1 2 2 2 2 b y a x 的上半部分由的上半部分由 0 aA到到 0 aB 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 aA 0 aB 0 bE o 解2解2 ABAEBOAL AEBOA xx dyexdxye 1 D xx dxdyee 1 ab 2 AB xx dyexdxye 1 a a dxa2 L xx dyexdxye 1 aab2 2 例 4 例 4 计算计算rdyxF L r r 其中 1 其中 1 xjyiyxF r L是由是由0 1 yxyx 围 成的三角形闭路 其方向为逆时针方向 2 围 成的三角形闭路 其方向为逆时针方向 2 22 yx xjyi yxF r L 0 222 aayx 其其 方向为逆时针方向 方向为逆时针方向 解解 x y o A B 1 rdyxF L r r L xdyydx BOABOA 0 1 1 0 dxxxdy1 1 直接用公式 1 直接用公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 x y o A B 1 rdyxF L r r L xdyydx 1 1 用格林公式 1 用格林公式 D dxdy 1 1 2 直接用公式 2 直接用公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 oa x y rdyxF L r r L dy yx x dx yx y 2222 da a a a a a cos cos sin sin 2 2 0 2 2 sin cos ay ax L 2 用格林公式 2 用格林公式 rdyxF L r r L dy yx x dx yx y 2222 此步不能用格林公式此步不能用格林公式 L xdyydx a 2 1 此步可以用格林公式此步可以用格林公式 D dxdy a 1 1 1 2 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 oa x y 注意格林公式成立的条件 注意格林公式成立的条件 例 5例 5 计算 计算 L yx ydxxdy 22 其中 其中 L为一条无重点 分 段光滑且不经过原点的连续闭曲线 为一条无重点 分 段光滑且不经过原点的连续闭曲线 L的方向为逆时 针方向 的方向为逆时 针方向 则当 则当 0 22 yx 时 有 时 有 记记L所围成的闭区域为 所围成的闭区域为 D 解解 令令 2222 yx x Q yx y P y P yx xy x Q 222 22 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 L 1 当 1 当 D 0 0 时 时 2 当 当 D 0 0 时 时 1 D r l x y o L D 由格林公式知由格林公式知 L yx ydxxdy 0 22 作位于作位于D内圆周内圆周 222 ryxl 记 记 1 D由 由 L和 和 l所围成 所围成 则在 则在 1 D 上应用格林公式 得 上应用格林公式 得 y x o 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 22 lL yx ydxxdy 其中 其中 L和 和 l分别表示沿它们的逆时针方向 分别表示沿它们的逆时针方向 lL yx ydxxdy yx ydxxdy 2222 x y o r 1 D l L0 2222 lL yx ydxxdy yx ydxxdy 即即 2 注意格林公式成立的条件 注意格林公式成立的条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 l r ydxxdy 2 l ydxxdy r 2 1 2 1 1 1 2 D dxdy r 2 D 2 2 2 1 r r 满足格林公式 的条件 满足格林公式 的条件 例 6例 6 计算 计算 L yx ydxxdy 22 2 其中 其中 L为一条无重点 分为一条无重点 分段段 光滑且不经过原点的连续闭曲线 光滑且不经过原点的连续闭曲线 L的方向为逆时的方向为逆时针针 方向 方向 则当 则当 0 22 yx 时 有 时 有 记记L所围成的闭区域为 所围成的闭区域为 D 解解 令令 2222 2 2yx x Q yx y P y P yx xy x Q 222 22 2 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 L 1 当 1 当 D 0 0 时 时 2 当 当 D 0 0 时 时 1 D r l x y o L D 由格林公式知由格林公式知 L yx ydxxdy 0 2 22 作位于作位于D内椭圆周内椭圆周 222 2 ryxl 记 记 1 D由 由 L和 和 l所围成 所围成 则在 则在 1 D 上应用格林公式 得 上应用格林公式 得 y x o 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 2 22 lL yx ydxxdy 其中 其中 L和 和 l分别表示沿它们的逆时针方向 分别表示沿它们的逆时针方向 lL yx ydxxdy yx ydxxdy 2222 22 x y o r 1 D l L0 22 2222 lL yx ydxxdy yx ydxxdy 即即 2 注意格林公式的条件 注意格林公式的条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 l r ydxxdy 2 l ydxxdy r 2 1 2 1 1 1 2 D dxdy r 2 D 2 2 2 1 2 1 r r 满足格林公式 的条件 满足格林公式 的条件 格林公式 格林公式 L D QdyPdxdxdy y P x Q 取取 xQyP 得 得 L D ydxxdydxdy2 闭区域闭区域D的面积的面积 取取 0 xQP 得 得 计算平面面积计算平面面积 L ydxxdyA 2 1 取取 0 QyP 得 得 L xdyA L ydxA 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 曲线 曲线 AMO 由函数 由函数 0 axxaxy 表示 表示 例 7例 7 计算抛物线 计算抛物线 0 2 aaxyx与 与 x轴所围 成的面积 轴所围 成的面积 解解 ONA 为直线 为直线 0 y L ydxxdyA 2 1 AMOONA ydxxdyydxxdy 2 1 2 1 0 aA N M 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 AMO ydxxdy 2 1 dxxaxdx ax a x a 1 2 2 1 0 6 1 4 2 0 adxx a a G y x o 1 L QdyPdx 则称曲线积分则称曲线积分 L QdyPdx在 在 G内内与路径无关与路径无关 二 曲线积分与路径无关的条件二 曲线积分与路径无关的条件 2 L QdyPdx 1 L 2 L B A 定义 定义 如果对区域如果对区域G内任意 两点 内任意 两点A B 及任意两条从 及任意两条从A点 到 点 到B点的曲线点的曲线L1 L2 都有都有 否则称与路径有关 否则称与路径有关 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理 2 定理 2 设设G是平面上的一个单连通域 函是平面上的一个单连通域 函数数 yxQyxP在 在 G内具有一阶连续偏导数 则以下内具有一阶连续偏导数 则以下 四个条件相互等价四个条件相互等价 1 对 1 对 G内的任意一条分段光滑的闭曲线 内的任意一条分段光滑的闭曲线 L 0 L dyyxQdxyxP 2 曲线积分 2 曲线积分 L dyyxQdxyxP 在在G内与路径无关 内与路径无关 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 3 表达式 3 表达式 dyyxQdxyxP 在 在 G内是某个二元函 数的全微分 即存在 内是某个二元函 数的全微分 即存在 yxu 使得 使得 dyyxQdxyxPdu 4 4 y P x Q 在 在 G内每点处成立 内每点处成立 证明 证明 2 1 A B C D ADBCA QdyPdx0 BCAADB ACBADB ACBADB QdyPdxQdyPdx即即 3 2 000 yxM yxM yxxN 00 yx yx QdyPdxyxu 记记 00 yxx yx QdyPdxyxxu 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 yxuyxxu 000 yxM yxM yxxN MMMNMM 00 MN QdyPdx yxx yx QdyPdx xx x dxyxP xyP 中值定理 中值定理 xxxxyyxxMN 常数常数 x yxuyxxu yP 0 xx 则令则令的连续性由的连续性由 yxP 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 x yxuyxxu x u x lim 0 limyP x yxP 同理可证同理可证 yxQ y u 于是于是 dy y u dx x u du QdyPdx 4 3 x u yxP y u yxQ 2 yx u y P xy u x Q 2 xy u yx u 22 Q又又 x Q y P 1 4 由格林公式即得由格林公式即得 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 开区域 开区域 G是一个单连通域 是一个单连通域 2 函数 函数 yxQyxP在 在 G内具有一阶 连续偏导数 内具有一阶 连续偏导数 以上两条件缺一不可 以上两条件缺一不可 有关定理的说明 有关定理的说明 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 3 当曲线积分当曲线积分 L QdyPdx与路径无关时 函数 与路径无关时 函数 00 yx yx QdyPdxyxu 称为称为QdyPdx 的原函数 并有如下事实 的原函数 并有如下事实 B A AB yxuAuBuQdyPdx 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 AB QdyPdxQ B yx yx A QdyPdxQdyPdx 00 00 A yx B yx QdyPdxQdyPdx 0000 B A yxuAuBu 4 当曲线积分 当曲线积分 L QdyPdx 与路径无关时 与路径无关时 QdyPdx 的原函数 的原函数 yxu并不好求 要通过 曲线积分 并不好求 要通过 曲线积分 00 yx yx QdyPdxyxu 得到 其中 得到 其中 00 yx是区域是区域D内任意一点 内任意一点 0 yxC yxB x y o 00 yxA 00 yx yx QdyPdxyxu dyyxQdxyxP y y x x 00 0 dxyxPdyyxQ x x y y 00 0 或 或 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 y x 小结 小结 根据定理2 若在某区域内根据定理2 若在某区域内 x Q y P 则则 2 求曲线积分时 可利用格林公式简化计算 3 可用积分法求 2 求曲线积分时 可利用格林公式简化计算 3 可用积分法求d u P dx Q dy在域 在域 D 内的原函数 内的原函数 Dyx 00 及动点及动点 Dyx yyxQxyxPyxu yx yx d d 00 x x xyxP 0 d 0 或或 y y yyxQyxu 0 d 0 0 y 0 x 则原函数为则原函数为 y y yyxQ 0 d x x xyxP 0 d 若积分路径不是闭曲线 可若积分路径不是闭曲线 可添加辅助线添加辅助线 取定点 取定点 1 计算曲线积分时 可选择方便的积分路径 1 计算曲线积分时 可选择方便的积分路径 定理2 目录上页下页返回结束定理2 目录上页下页返回结束 例8 例8 验证验证yyxxyxdd 22 是某个函数的全微分 并求出这个函数 是某个函数的全微分 并求出这个函数 证 证 设设 22 yxQyxP 则则 x Q yx y P 2 由定理2 可知 存在函数 由定理2 可知 存在函数 u x y 使使 yyxxyxuddd 22 0 0 22 dd yx yyxxyxyxu 0 0 yx 0 x x xx 0 d0 yyx y d 0 2 yyx y d 0 2 22 2 1 yx 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例9 例9 验证验证 22 dd yx xyyx 在右半平面 在右半平面 x 0 内存 在原函数 并求出它 内存 在原函数 并求出它 证 证 令令 2222 yx x Q yx y P 则则 0 222 22 x x Q yx xy y P 由由 定理 2 定理 2 知在右半平面存在原函数知在右半平面存在原函数 0 1 22 dd yx yx xyyx yxu x x 1 d0 0 arctan x x y ox y y yx y x 0 22 d 0 x 0 1 yx 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 ox y 0 x 0 1 yx 0 1 22 dd yx yx xyyx yxu y y y 0 2 1 d y x y yarctan 1 arctanarctan y x arctan 2 x yx x y 1 22 d 或或 1 y 0 arctan x x y 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 10例 10 计算 计算 L dyyxdxyxI 6 62 2 其中 其中 L 为 抛物线 为 抛物线 2 xy 由点 由点 0 0 O到点 到点 4 2 B的一段弧 的一段弧 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解1 直接利用公式化成定积分直接利用公式化成定积分 2 0 222 2 6 62 dxxxxxxI 3 136 2 0 32 220 dxxx 解解2 yxQyxP 6 62 2 6 x Q y P 取折线路径取折线路径OAB 2 xy 0 2 A 4 2 B o 4 0 2 0 2 12 2dyydxxI 3 136 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 所以被积表达式是某个函数的全微分 即所以被积表达式是某个函数的全微分 即 解解3 x Q y P Q 2 00 6 62 yx yx dyyxdxyxyxu 则取则取 0 0 00 yx yx dyyxdxxyxu 00 2 6 2 23 2 1 6 3 2 yxyx 3 136 0 0 4 2 uuI 例 10例 10 计算 计算 L dyyxdxyxI 6 62 2 其中 其中 L 为 抛物线 为 抛物线 2 xy 由点 由点 0 0 O到点 到点 4 2 B的一段弧 的一段弧 解1解1 x y o 1 1 A L dyyxdxxyxI 2 422 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 10 2 sin xxyL Q 1 0 422 2 cos 2 2 sin 2 sin2 dxxxxxxx LL 15 23 例 11例 11 计算 计算 L dyyxdxxyxI 2 422 其其 中中L为由点为由点 0 0 O到点到点 1 1 A的曲线的曲线xy 2 sin 解2解2 xxyx yy P 2 2 2 知知 xyx xx Q 2 42 x Q y P 即 即 1 0 4 1 0 2 1 dyydxx故原式故原式 15 23 x y o 1 1 A L dyyxdxxyxI 2 422 由由 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 11例 11 计算 计算 L dyyxdxxyxI 2 422 其其 中中L为由点为由点 0 0 O到点到点 1 1 A的曲线的曲线xy 2 sin 例12 例12 设质点在力场作用下沿曲线设质点在力场作用下沿曲线 xycos 2 由由 2 0 A 移动到移动到 0 2 B求力求力 解 解 dd 2 L yxxy r k 令令 22 r xk Q r yk P 则有则有 0 22 4 22 yx r yxk y P x Q 可见 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关 可见 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关 22 yxr 其中 其中 2 xy r k F rFW L d 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 场所作的功场所作的功WW L L L B A y o x AB dd 2 yxxy r k AB d cos sin 2 0 2 2 k 0 2 sin 2 cos 2 yx k 2 思考 思考 积分路径是否可以取积分路径是否可以取 OBAOU 取圆弧取圆弧 L B A y o x 为什么 为什么 注意 注意 本题只在不含原点的单连通区域内积分 与路径无关 本题只在不含原点的单连通区域内积分 与路径无关 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 dd 2 L yxxy r k W dd 2 yxxy r k CBAC 2 0 2 2 4 1 2 dx x k 2 0 2 xyxx取折线取折线 L B A y o x 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 ACC 0 2 2 yyyx CB 0 2 2 2 4 1 2 dy y k 2 0 22 4 1 4 dx x k 2 0 2 2 2 1 4 1 2 x d x k 2 0 2 arctan2 x k k 2 dd 2 L yxxy r k W 例 13 例 13 设曲线积分 设曲线积分 L dyxydxxy 2 与路径无关 其 中 与路径无关 其 中 x 具有连续的导数 且 具有连续的导数 且 0 0 计算 计算 1 1 0 0 2 dyxydxxy 因为积分与路径无关 所以因为积分与路径无关 所以 x Q y P 解解 2 2 xyxy yy P xyxy xx Q 2 xyyxP xyyxQ 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 由 由 0 0 知 知 0 C 2 xx 由由 xyxy2 Cxx 2 1 0 1 0 0ydydx 2 1 1 1 0 0 2 dyxydxxy 故故 定义 定义 对一阶微分方程 对一阶微分方程 0 dyyxQdxyxP 1 若存在某个二元函数 若存在某个二元函数 yxu 使得 使得 dyyxQdxyxPdu 则称微分方程 1 为 则称微分方程 1 为全微分方程全微分方程 的通解是 的通解是 Cyxu C是任意常数 是任意常数 这时方程这时方程 0 dyyxQdxyxPdu 三 全微分方程三 全微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 开 区 域 设 开 区 域 G是 一 个 单 连 通 域 函 数是 一 个 单 连 通 域 函 数 yxQyxP在 在 G内具有一阶连续偏导数 则内具有一阶连续偏导数 则 dyyxQdxyxP 在 在 G内为某一函数 内为某一函数 yxu的 全微分的 的 全微分的充要条件充要条件是等式是等式 x Q y P 在 在 G内恒成立 内恒成立 定理3定理3 0 yxC yxB x y o 00 yxA 00 yx yx QdyPdxyxu且且 dyyxQdxyxP y y x x 00 0 dxyxPdyyxQ x x y y 00 0 或 或 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 解1 解1 例 14 例 14 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解 0 2 2 2222 dyyxyxdxyxyx 22 2yxyxP 22 2yxyxQ 则 则 x Q yx y P 22为全微分方程为全微分方程 0 0 00 yx取取 则 则 0 0 2222 2 2 yx dyyxyxdxyxyxyxu xy dyyxyxdxx 00 222 2 3223 3 1 3 1 yxyyxx 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 故方程的通解为 故方程的通解为 Cyxyyxx 3223 3 1 3 1 解解2 因是全微分方程 设因是全微分方程 设 dyyxyxdxyxyxdu 2 2 2222 知知 22 2yxyx x u 则两边对 则两边对 x 求积分求积分 dxyxyxyxu 2 22 3 1 223 yxyyxx 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 两边对 两边对 y 求微分求微分 2 2 yxyx y u 22 2yxyx 即即 2 yy 则则 1 3 3 1 Cyy 1 3223 3 1 3 1 Cyxyyxxyxu 故 故方程的通解为 故 故方程的通解为 Cyxyyxx 3223 3 1 3 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例15 例15 求解求解0d 1 d 2 y x x x y x 解 解 2 1 xy P Q 这是一个全微分方程 用凑微分法求通解 将方程改写为 这是一个全微分方程 用凑微分法求通解 将方程改写为 0 dd d 2 x xyyx xx 即即 0 d 2 1 d 2 x y x 故原方程的通解为故原方程的通解为 0 2 1 d 2 x y x或或 C x y x 2 2 1 x Q 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 四 内容小结四 内容小结 1 格林公式1 格林公式 L yQxPdd 2 等价条件 在 2 等价条件 在DD内与路径无关 内与路径无关 y P x Q 在 在 D 内有内有yQxPuddd yx y P x Q D dd L yQxPdd 对 对 D 内任意闭曲线内任意闭曲线L L 有有0dd L yQxP 在 在 D 内有 设 内有 设 P Q 在 在 D 内具有一阶连续偏导数 则有内具有一阶连续偏导数 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 计算第二类曲线积分的方法计算第二类曲线积分的方法 1 利用公式 化为定积分计算 3 利用积分与路经无关的定理 选取适当的积 分路径 可以简化计算 1 利用公式 化为定积分计算 3 利用积分与路经无关的定理 选取适当的积 分路径 可以简化计算 2 补上辅助积分曲线 如平行于坐标轴的直线 等 形成闭曲线 然后利用格林公式转化为 二重积分和辅助线上的曲线积分 2 补上辅助积分曲线 如平行于坐标轴的直线 等 形成闭曲线 然后利用格林公式转化为 二重积分和辅助线上的曲线积分 机动 目录 上