高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第二节 两直线的位置关系课件 文.ppt

第二节两直线的位置关系 总纲目录 教材研读 1 两条直线平行与垂直的判定 考点突破 2 两直线相交 3 三种距离 考点二距离问题 考点一两条直线的位置关系 考点三对称问题 1 两条直线平行与垂直的判定 1 两条直线平行对于两条不重合的直线l1 l2 若其斜率分别为k1 k2 则有l1 l2 k1 k2 特别地 当直线l1 l2不重合且斜率都不存在时 l1与l2 平行 2 两条直线垂直如果两条直线l1 l2的斜率都存在 设为k1 k2 则有l1 l2 k1 k2 1 当一条直线的斜率为零 另一条直线的斜率不存在时 两条直线互相 垂直 教材研读 2 两直线相交直线l1 a1x b1y c1 0且l2 a2x b2y c2 0的公共点的坐标与方程组的解一一对应 相交 方程组有 唯一解 交点坐标就是方程组的解 平行 方程组 无解 重合 方程组有 无数个解 3 三种距离 1 过点 1 0 且与直线x 2y 2 0平行的直线方程是 a x 2y 1 0b x 2y 1 0c 2x y 2 0d x 2y 1 0 a 答案a由题意知 斜率k 又直线过点 1 0 所以所求直线方程为y x 1 即x 2y 1 0 2 两条直线l1 2x y 1 0和l2 x 2y 4 0的交点为 a b c d b 答案b解方程组得所以两直线的交点为 3 已知点 a 2 a 0 到直线l x y 3 0的距离为1 则a等于 a b 2 c 1d 1 d 答案d由题意得 d 1 a 1 a 0 a 1 4 已知直线l1 x y 1 0 l2 x y 1 0 则l1 l2之间的距离为 a 1b c d 2 b 答案b由题意可知l1与l2平行 故l1与l2之间的距离d 故选b 5 已知坐标平面内两点a x x 和b 那么这两点之间距离的最小值是 答案 解析由题意可得两点间的距离d 即最小值为 6 若直线 3a 2 x 1 4a y 8 0与 5a 2 x a 4 y 7 0垂直 则a 0或1 答案0或1 解析由题意知 3a 2 5a 2 1 4a a 4 0 整理得a2 a 0 解得a 0或1 典例1 1 已知过点a 2 m 和点b m 4 的直线为l1 直线2x y 1 0为l2 直线x ny 1 0为l3 若l1 l2 l2 l3 则实数m n的值为 2 已知两直线l1 ax by 4 0和l2 a 1 x y b 0 求满足下列条件的a b的值 l1 l2 且直线l1过点 3 1 l1 l2 且坐标原点到这两条直线的距离相等 考点一两条直线的位置关系 考点突破 答案 1 10 解析 1 l1 l2 2 m 2 解得m 8 经检验 l1与l2不重合 l2 l3 2 1 1 n 0 解得n 2 m n 10 2 因为l1 l2 所以a a 1 b 0 又因为直线l1过点 3 1 所以 3a b 4 0 故a 2 b 2 因为直线l2的斜率存在 l1 l2 所以直线l1的斜率存在 所以 1 a 又因为坐标原点到这两条直线的距离相等 所以l1 l2在y轴上的截距互为相反数 即 b 联立 可得a 2 b 2或a b 2 1 已知两直线的斜率存在 判断两直线平行或垂直的方法 1 两直线平行 两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等 2 两直线垂直 两直线的斜率之积等于 1 提醒 当直线斜率不确定时 要注意斜率不存在的情况 方法技巧 2 由一般式确定两直线位置关系的方法 提醒 在判断两直线的位置关系时 比例式与 的关系容易记住 在解答选择题 填空题时 建议多用比例式来解答 1 1若直线2x y 10 y x 1 y ax 2交于一点 则a的值为 答案 解析解方程组可得所以直线2x y 10与y x 1的交点坐标为 9 8 代入y ax 2 得 8 a 9 2 所以a 1 2经过两直线l1 x 2y 4 0和l2 x y 2 0的交点p 且与直线l3 3x 4y 5 0垂直的直线l的方程为 4x 3y 6 0 答案4x 3y 6 0 解析解法一 由方程组得即p 0 2 l l3 直线l的斜率k 直线l的方程为y 2 x 即4x 3y 6 0 解法二 直线l过直线l1和l2的交点 可设直线l的方程为x 2y 4 x y 2 0 即 1 x 2 y 4 2 0 l与l3垂直 3 1 4 2 0 11 直线l的方程为12x 9y 18 0 即4x 3y 6 0 1 3 2018湖北武汉质检 已知两直线l1 mx 8y n 0和l2 2x my 1 0 试确定m n的值 使 1 l1与l2相交于点p m 1 2 l1 l2 3 l1 l2 且l1在y轴上的截距为 1 解析 1 由题意得解得m 1 n 7 即当m 1 n 7时 l1与l2相交于点p m 1 即当m 1 n 7时 l1与l2相交于点p 1 1 2 l1 l2 解得或即m 4 n 2或m 4 n 2时 l1 l2 3 当且仅当2m 8m 0 即m 0时 l1 l2 又 1 n 8 即m 0 n 8时 l1 l2 且l1在y轴上的截距为 1 典例2 1 若p q分别为直线3x 4y 12 0与6x 8y 5 0上任意一点 则 pq 的最小值为 a b c d 2 已知a 4 3 b 2 1 和直线l 4x 3y 2 0 在坐标平面内存在一点p 使 pa pb 且点p到直线l的距离为2 则点p的坐标为 考点二距离问题 答案 1 c 2 1 4 或 解析 1 因为 所以两直线平行 由题意可知 pq 的最小值为这两条平行直线间的距离 即 所以 pq 的最小值为 2 设点p的坐标为 a b a 4 3 b 2 1 线段ab的中点m的坐标为 3 2 而ab的斜率kab 1 线段ab的垂直平分线方程为y 2 x 3 即x y 5 0 点p a b 在直线x y 5 0上 a b 5 0 又点p a b 到直线l 4x 3y 2 0的距离为2 2 即4a 3b 2 10 由 联立可得或 点p的坐标为 1 4 或 易错警示 1 点p x0 y0 到直线x a的距离d x0 a 到直线y b的距离d y0 b 2 在运用两平行线间的距离公式时要把两直线方程中x y的系数化为相等 同类练 1 已知直线3x 4y 3 0与直线6x my 14 0平行 则它们之间的距离是 a b c 8d 2 2 已知p是直线2x 3y 6 0上一点 o为坐标原点 且点a的坐标为 1 1 若 po pa 则p点的坐标为 答案 1 d 2 3 4 解析 1 由题意得 m 8 则直线6x my 14 0可化为3x 4y 7 0 两平行线之间的距离d 2 2 解法一 设p a b 则解得a 3 b 4 p点的坐标为 3 4 解法二 线段oa的中垂线的方程为x y 1 0 则由 解得则p点的坐标为 3 4 变式练如图 p是函数y x x 0 上一点 过p分别作直线y x和y轴的垂线 垂足分别为a b 1 求证 pa pb 为定值 2 求四边形oapb面积的最小值 解析 1 证明 设p x0 0 pa pb x0 x0 pa pb x0 pa pb 为定值 2 连接op 图略 直线pa的方程为y x0 x x0 即y x 2x0 由方程组解得x y x0 即a oa s四边形oapb s opa s opb oa pa ob pb x0 1 1 当且仅当 即x0 时 四边形oapb面积取最小值1 深化练点p 2 1 到直线l 1 3 x 1 2 y 2 5 的距离为d 则d的取值范围是 a 0 dd d a 答案a直线l 1 3 x 1 2 y 2 5 可化为 x y 2 3x 2y 5 0 由得 直线l恒过定点a 1 1 不包括直线3x 2y 5 0 pa 由此易知点p 2 1 到直线l 1 3 x 1 2 y 2 5 的距离d的取值范围是0 d 故选a 考点三对称问题 典例3过点p 0 1 作直线l使它被直线l1 2x y 8 0和l2 x 3y 10 0截得的线段被点p平分 求直线l的方程 命题方向一点关于点的对称 解析设l1与l的交点为a a 8 2a 则由题意知 点a关于点p的对称点b a 2a 6 在l2上 将其代入l2的方程 得 a 3 2a 6 10 0 解得a 4 则a 4 0 又p 0 1 所以直线l的方程为x 4y 4 0 典例4已知入射光线经过点m 3 4 被直线l x y 3 0反射 反射光线经过点n 2 6 则反射光线所在直线的方程为 命题方向二点关于线的对称 6x y 6 0 答案6x y 6 0 解析设点m 3 4 关于直线l x y 3 0的对称点为m a b 则反射光线所在直线过点m 所以解得a 1 b 0 又反射光线经过点n 2 6 所以所求直线的方程为 即6x y 6 0 命题方向三线关于线的对称 典例5求直线m 3x 2y 6 0关于直线l 2x 3y 1 0的对称直线m 的方程 解析在直线m上任取一点 如点m 2 0 则点m 2 0 关于直线l的对称点m 必在直线m 上 设点m的对称点m 的坐标为 a b 则解得故点m 的坐标为 设直线m与直线l的交点为n 由解得则n 4 3 由两点式可得直线m 的方程为9x 46y 102 0 1 关于中心对称问题的处理方法 1 若点m x1 y1 及n x y 关于p a b 对称 则由中点坐标公式得 2 求直线关于点的对称直线的方程 其主要方法 在已知直线上取两点 利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标 再由两点式求出直线方程 或者求出一个对称点 再利用两直线平行 由点斜式得到所求直线方程 当然 斜率必须存在 方法技巧 2 关于轴对称问题的处理方法若两点p1 x1 y1 与p2 x2 y2 关于直线l ax by c 0对称 则线段p1p2的中点在l上 且连接p1p2的直线垂直于l 由方程组可得到点p1关于l对称的点p2的坐标 x2 y2 其中b 0 x1 x2 3 1如图所示 已知两点a 4 0 b 0 4 从点p 2 0 射出的光线经直线ab反射后再射到直线ob上 最后经直线ob反射后又回到p点 则光线所经过的路程是 a 2b 6c 3d 2 a 答案a易得ab所在的直线方程为x y 4 设点p关于直线ab对称的点为a1 则a1 4 2 点p关于y轴对称的点为a2 则a2 2 0 则光线所经过的路程即a1 4 2 与a2 2 0 两点间的距离 于是 a1a2 2 3 2已知点a 1 3 关于直线y kx b对称的点是b 2 1 则直线y kx b在