高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第六节 双曲线课件 文.ppt

第六节双曲线 总纲目录 教材研读 1 双曲线的定义 考点突破 2 双曲线的标准方程和几何性质 考点二双曲线的标准方程 考点一双曲线的定义 考点三双曲线的几何性质 考点四直线与双曲线的位置关系 1 双曲线的定义平面内与两个定点f1 f2的 距离的差的绝对值等于常数 小于 f1f2 且不等于零 的点的轨迹叫做双曲线 这两个定点叫做 双曲线的焦点 两焦点间的距离叫做 双曲线的焦距 集合p m mf1 mf2 2a f1f2 2c 其中a c为常数且a 0 c 0 1 当 2a f1f2 时 p点的轨迹是双曲线 2 当 2a f1f2 时 p点的轨迹是两条射线 教材研读 3 当 2a f1f2 时 p点不存在 2 双曲线的标准方程和几何性质 双曲线的焦半径公式已知f1 c 0 f2 c 0 分别是双曲线 1 a 0 b 0 的左 右焦点 点p x0 y0 是该双曲线上任意一点 则 pf1 a ex0 pf2 a ex0 e为双曲线的离心率 1 双曲线2x2 y2 8的实轴长是 a 2b 2c 4d 4 c 答案c双曲线2x2 y2 8的标准方程为 1 故实轴长为4 2 双曲线方程为x2 2y2 1 则它的右焦点坐标为 a b c d 0 c 答案c 原方程可化为 1 a2 1 b2 c2 a2 b2 右焦点坐标为 3 若双曲线e 1的左 右焦点分别为f1 f2 点p在双曲线e上 且 pf1 3 则 pf2 等于 a 11b 9c 5d 3 b 答案b pf1 3 a c 8 故点p在双曲线的左支上 由双曲线的定义得 pf2 pf1 2a 6 所以 pf2 9 故选b 4 双曲线c的焦点分别为 6 0 6 0 且经过点 5 2 则该双曲线的标准方程为 a 1b 1c 1d 1 b 答案b由题意得2a 4 所以a 2 又c 6 所以b2 c2 a2 36 20 16 所以双曲线的标准方程为 1 故选b 5 若方程 1表示双曲线 则m的取值范围是 m 1或m 2 答案m 1或m 2 解析因为方程 1表示双曲线 所以 2 m m 1 0 即m 1或m 2 6 若双曲线 1 a 0 b 0 的焦点到其渐近线的距离等于实轴长 则该双曲线的离心率为 答案 解析由题意知 2a 又c2 a2 b2 bc 2ac 即b 2a c2 a2 b2 5a2 5 即e2 5 e 典例1 2018山东济南质检 已知圆c1 x 3 2 y2 1和圆c2 x 3 2 y2 9 动圆m同时与圆c1及圆c2相外切 则动圆圆心m的轨迹方程为 考点一双曲线的定义命题方向一求轨迹方程 考点突破 答案x2 1 x 1 解析如图所示 设动圆m与圆c1及圆c2分别外切于点a和点b 根据两圆外切的充要条件 得 mc1 ac1 ma mc2 bc2 mb 因为 ma mb 所以 mc2 mc1 bc2 ac1 3 1 2 6 这表明动点m到两定点c2 c1的距离的差是常数2且小于 c1c2 根据双曲线的定义知 动点m的轨迹为双曲线的左支 点m到c2的距离大 到c1的距离小 且a 1 c 3 则b2 8 设点m的坐标为 x y 则其轨迹方程为x2 1 x 1 典例2已知f1 f2为双曲线c x2 y2 2的左 右焦点 点p在c上 pf1 2 pf2 则cos f1pf2 命题方向二解决 焦点三角形 问题 答案 解析 由双曲线的定义有 pf1 pf2 2a 2 pf1 2 pf2 pf1 4 pf2 2 则cos f1pf2 探究1本例中将条件 pf1 2 pf2 改为 f1pf2 60 则 f1pf2的面积是多少 解析不妨设点p在双曲线的右支上 则 pf1 pf2 2a 2 在 f1pf2中 由余弦定理 得cos f1pf2 所以 pf1 pf2 8 所以 pf1 pf2 sin60 2 探究2本例中将条件 pf1 2 pf2 改为 0 则 f1pf2的面积是多少 解析不妨设点p在双曲线的右支上 则 pf1 pf2 2a 2 由于 0 所以 所以在 f1pf2中 有 pf1 2 pf2 2 f1f2 2 即 pf1 2 pf2 2 16 所以 pf1 pf2 4 所以 pf1 pf2 2 方法技巧双曲线定义的应用技巧双曲线定义的应用主要有两个方面 一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线 进而根据要求可求出曲线方程 二是在 焦点三角形 中 常利用正弦定理 余弦定理 经常结合 pf1 pf2 2a 运用平方的方法 建立与 pf1 pf2 的联系 在应用双曲线定义时 要注意定义中的条件 搞清所求轨迹是双曲线 还是双曲线的一支 若是双曲线的一支 则需确定是哪一支 1 1 abc的顶点a 5 0 b 5 0 abc内切圆的圆心在直线x 2上 则顶点c的轨迹方程是 答案 1 x 2 解析如图 abc与内切圆的切点分别为g e f ag ae 7 bf bg 3 ce cf 所以 ca cb 7 3 4 根据双曲线定义 所求轨迹是以a b为焦点 实轴长为4的双曲线的右支 方程为 1 x 2 1 2已知f是双曲线 1的左焦点 a 1 4 p是双曲线右支上的一动点 则 pf pa 的最小值为 9 答案9 解析因为f是双曲线 1的左焦点 所以f 4 0 设其右焦点为h 4 0 则由双曲线的定义可得 pf pa 2a ph pa 2a ah 4 4 5 9 典例3根据下列条件 求双曲线的标准方程 1 虚轴长为12 离心率为 2 截距为26 且经过点m 0 12 3 经过两点p 3 2 和q 6 7 考点二双曲线的标准方程 解析 1 由题意知 2b 12 e b 6 c 10 a 8 双曲线的标准方程为 1或 1 2 双曲线经过点m 0 12 m 0 12 为双曲线的一个顶点 故焦点在y轴上 且a 12 2c 26 c 13 b2 c2 a2 25 双曲线的标准方程为 1 3 设双曲线的标准方程为mx2 ny2 1 mn 0 双曲线经过两点p 3 2 和q 6 7 解得 双曲线的标准方程为 1 方法技巧求双曲线标准方程的一般方法 1 待定系数法 设出双曲线的标准方程 根据已知条件 列出参数a b c的方程并求出a b c的值 与双曲线 1有相同渐近线时 可设所求双曲线方程为 0 2 定义法 依定义得出距离之差的等量关系式 求出a的值 由定点位置确定c的值 2 1 2017东北三校联合模拟 与椭圆c 1共焦点且过点 1 的双曲线的标准方程为 a x2 1b y2 1c 1d x2 1 c 答案c椭圆 1的焦点坐标为 0 2 0 2 设双曲线的标准方程为 1 m 0 n 0 则解得m n 2 所以双曲线的标准方程为 1 2 2已知双曲线 1 a 0 b 0 的焦距为2 且双曲线的一条渐近线与直线2x y 0垂直 则双曲线的方程为 a y2 1b x2 1c 1d 1 a 答案a由题意可得解得a 2 b 1 所以双曲线的方程为 y2 1 故选a 考点三双曲线的几何性质 典例4 1 2017课标全国 5 5分 若a 1 则双曲线 y2 1的离心率的取值范围是 a b 2 c 1 d 1 2 2 2017课标全国 15 5分 已知双曲线c 1 a 0 b 0 的右顶点为a 以a为圆心 b为半径作圆a 圆a与双曲线c的一条渐近线交于m n两点 若 man 60 则c的离心率为 命题方向一离心率问题 答案 1 c 2 解析 1 由题意知e 因为a 1 所以e1 所以1 e 故选c 2 不妨设点m n在渐近线y x上 如图 amn为等边三角形 且 am b 则a点到渐近线y x的距离为b 又将y x变形为一般形式bx ay 0 则a a 0 到渐近线bx ay 0的距离d 所以 b 即 所以双曲线离心率e 典例5 1 已知双曲线c 1的焦距为10 点p 2 1 在c的渐近线上 则c的方程为 a 1b 1c 1d 1 2 2017课标全国 14 5分 双曲线 1 a 0 的一条渐近线方程为y x 则a 命题方向二渐近线问题 答案 1 a 2 5 解析 1 双曲线c的渐近线方程为 0及点p 2 1 在渐近线上 0 即a2 4b2 由题意得a2 b2 c2 25 联立 得b2 5 a2 20 则c的方程为 1 故选a 2 由题意可得 所以a 5 典例6 1 若双曲线 1 a 0 b 0 的离心率为 则其渐近线方程为 a y xb y 2xc y xd y x 2 2017课标全国 5 5分 已知双曲线c 1 a 0 b 0 的一条渐近线方程为y x 且与椭圆 1有公共焦点 则c的方程为 a 1b 1c 1d 1 命题方向三离心率与渐近线的综合问题 答案 1 a 2 b 典例7 2015课标全国 5 5分 已知m x0 y0 是双曲线c y2 1上的一点 f1 f2是c的两个焦点 若 0 则y0的取值范围是 a b c d 命题方向四求参数或变量的取值范围 a 答案a 解析若 0 则点m在以原点为圆心 半焦距c 为半径的圆上 则解得 可知 0 点m在圆x2 y2 3的内部 y0 故选a 1 双曲线离心率的求法求双曲线的离心率有两种思路 一是根据双曲线的定义及性质分别求出a与c 二是根据已知构造关于a c的方程或不等式 进而转化为关于e的方程或不等式求解 注意正确利用a b c的关系式 规律总结 2 双曲线的离心率与渐近线斜率的关系 1 已知双曲线的离心率e求渐近线方程时要注意e 及判断焦点的位置 2 已知渐近线方程y mx m 0 求离心率时 若焦点不确定 则m 或m 因此离心率有两种可能 提醒 如果已知双曲线方程 1或 1 求其渐近线方程 只要将方程等号右端 1 改写成 0 即得渐近线方程 3 与双曲线有关的范围问题的解题思路 1 若条件中存在不等关系 则借助此关系直接转化求解 2 若条件中没有不等关系 要善于发现隐含的不等关系 如借助双曲线上点的坐标的取值范围 方程中 0等来解决 3 1已知双曲线c 1 a 0 b 0 的离心率为 则c的渐近线方程为 a y xb y xc y xd y x c 答案c由双曲线的离心率e 可知 而双曲线 1 a 0 b 0 的渐近线方程为y x 故选c 3 2已知双曲线 1与直线y 2x有交点 则双曲线离心率的取值范围是 a 1 b 1 c d c 答案c双曲线的一条渐近线方程为y x 由题意得 2 e 3 3 2017东北四市模拟 f为双曲线 1 a 0 b 0 的左焦点 过点f且斜率为1的直线与双曲线的两条渐近线分别交于a b两点 若 则双曲线的离心率为 答案 解析设双曲线的两条渐近线分别为l1 l2 l1 y x l2 y x 由于kfa 1 则fa的方程为y x c 由可得a 由可得b 因为 所以点a为fb的中点 故 则b 3a 即b2 9a2 所以c2 a2 9a2 即e2 10 所以e 典例8已知中心在原点的双曲线c的右焦点为 2 0 右顶点为 0 1 求该双曲线c的方程 2 若直线l y kx 与双曲线c左支有两个不同的交点a b 求k的取值范围 考点四直线与双曲线的位置关系 解析 1 由题意设双曲线方程为 1 a 0 b 0 由已知得a c 2 再由a2 b2 c2 得b2 1 故双曲线c的方程为 y2 1 2 设a xa ya b xb yb 将y kx 代入 y2 1 得 1 3k2 x2 6kx 9 0 由题意知解得 k 1 k的取值范围是 k 1 规律总结 1 研究直线与双曲线的位置关系问题的通法 将直线方程代入双曲线方程 消元 得关于x或y的一元二次方程 当二次项系数等于0时 直线与双曲线相交于某支上一点 这时直线平行于一条渐近线 当二次项系数不等于0时 用判别式 来判定 2 用 点差法 可以解决弦中点和弦斜率的关系问题 但需要检验 4 1已知椭圆c1的方程为 y2 1 双曲线c2的左 右焦点分别是c1的左 右顶点 而c2的左 右顶点分别是c1的