大学经典课件之高等数学——8-10最小二乘法.pdf

第八章第八章 第十节 第十节 问题的提出 问题的提出 已知一组实验数据 求它们的近似函数关系 已知一组实验数据 求它们的近似函数关系 y f x 0 kyx kk o y x 需要解决两个问题 1 确定近似函数的类型 需要解决两个问题 1 确定近似函数的类型 根据数据点的分布规律根据数据点的分布规律 根据问题的实际背景 2 确定近似函数的标准 根据问题的实际背景 2 确定近似函数的标准 ii xfy 实验数据有误差 不能要求实验数据有误差 不能要求 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 1nL 最小二乘法最小二乘法 o y x 偏差偏差 iii xfyr 有正有负 有正有负 值都较小且便于计算 可由偏差平方和最小值都较小且便于计算 可由偏差平方和最小 min 2 0 ii n i xfy 为使所有偏差的绝对 来确定近似函数 为使所有偏差的绝对 来确定近似函数 f x 最小二乘法原理 最小二乘法原理 设有一列实验数据 分布在某条曲线上 通过 设有一列实验数据 分布在某条曲线上 通过偏差平方和最小偏差平方和最小求该曲线的方 法称为 求该曲线的方 法称为最小二乘法 最小二乘法 找出的函数关系称为找出的函数关系称为经验公式 经验公式 1 0 nkyx kk L 它们大体 它们大体 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别 当数据点分布近似一条直线时 问题为确定 特别 当数据点分布近似一条直线时 问题为确定 a b 令令 min 2 0 bxay k n k k baM a M 0 2 0 kk n k k xbxay b M 0 2 0 bxay k n k k bxay 满足 满足 使使 o y x 得得 ax n k k 0 2 bx n k k 0 n k kk yx 0 ax n k k 0 bn 1 n k k y 0 解此线性方程组 即得 解此线性方程组 即得 a b 称为法方程组称为法方程组 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1 例1 为了测定刀具的磨损速度 每隔 1 小时测一次刀为了测定刀具的磨损速度 每隔 1 小时测一次刀 具的厚度 得实验数据如下 找出一个能使上述数据大体适合的经验公式 具的厚度 得实验数据如下 找出一个能使上述数据大体适合的经验公式 解 解 通过在坐标纸上描点可看出它们 大致在一条直线上 列表计算 故可设经验公式为 通过在坐标纸上描点可看出它们 大致在一条直线上 列表计算 故可设经验公式为 btay o y t 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 27 0 26 8 26 5 26 3 26 1 25 7 25 3 24 8 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 mm i y h i t i 得法方程组得法方程组 a140b28 a285 2088 b 717 解得解得 125 27 3036 0 ba故所求经验公式为故所求经验公式为 125 273036 0 ttfy i t 0 M i 2 i t i y iit y 7 0 0 27 0 0 7 49 24 8 137 6 28 140 208 5 717 0 MMMM 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 为衡量上述经验公式的优劣 计算各点偏差如下 为衡量上述经验公式的优劣 计算各点偏差如下 o y t 称为均方误差 称为均方误差 M n 1 对本题均方误差对本题均方误差 124 0 7 1 M 它在一定程度上反映了经验函数的好坏 它在一定程度上反映了经验函数的好坏 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 108165 0 2 7 0 i i i tfyM 偏差平方和为偏差平方和为 27 0 26 8 26 5 26 3 26 1 25 7 25 3 24 8 0 1 2 3 4 5 6 7 mm i tf 算得的算得的 mm i y 实测的实测的 i 27 125 26 518 25 911 25 303 26 821 26 214 25 607 25 000 0 125 0 018 0 189 0 003 0 021 0 086 0 093 0 200 ii tfy 例2 例2 在研究某单分子化学反应速度时 得到下列数据 在研究某单分子化学反应速度时 得到下列数据 57 6 41 9 31 0 22 7 16 6 12 2 8 9 6 5 3 6 9 12 15 18 21 24 1 2 3 4 5 6 7 8 i y i i 其中其中 表示从实验开始算起的时间 表示从实验开始算起的时间 y 表示时刻表示时刻 反应 物的量 试根据上述数据定出经验公式 反应 物的量 试根据上述数据定出经验公式 fy 解 解 由化学反应速度的理论知 经验公式应取由化学反应速度的理论知 经验公式应取 m eky 其中其中k m 为待定常数 对其取对数得为待定常数 对其取对数得 kmylnln kbmaXyYln ln 令令 bXaY 线性函数 书中取的是常用对数 线性函数 书中取的是常用对数 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 o y 因此 因此 a b 应满足法方程组 应满足法方程组 a k k 8 1 2 b k k 8 1 8 1 ln k kk y a k k 8 1 b8 8 1 ln k k y 经计算得经计算得 994 2801081836 ba 714 238108 ba 解得 解得 364 4 104 0 ba 57 78 104 0 b ekm所求经验公式为所求经验公式为 104 0 57 78 ey 其均方误差为其均方误差为 135 0 7 1 M 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 观测数据 用最小二乘 法确定 观测数据 用最小二乘 法确定a b 通过计算确定某些经验公式类型的方法 通过计算确定某些经验公式类型的方法 1 0 niyx ii L 2 1 11 niyyyxxx iiiiii L 令令 1 定值若 定值若 i i x y bxay 则考虑 则考虑 ln