第二章第11讲导数与函数单调性.DOC

第11讲导数与函数单调性函数的单调性在(a，b)内可导函数f(x)，f(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f(x)0f(x)在(a，b)上为增函数f(x)0f(x)在(a，b)上为减函数做一做函数f(x)exx的单调递增区间是_解析：因为f(x)exx，所以f(x)ex1，由f(x)0，得ex10，即x0.答案：(0，)必明辨的1个易错点函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f(x)0；f(x)0是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件练一练若函数f(x)x3x2mx1是R上的单调增函数，则m的取值范围是_解析：因为f(x)x3x2mx1，所以f(x)3x22xm.又因为f(x)在R上是单调函数，所以412 m0，即m.答案：考点一求函数的单调区间(2014高考天津卷节选)已知函数f(x)x2ax3(a0)，xR.求f(x)的单调区间和极值解由已知，有f(x)2x2ax2(a0)令f(x)0，解得x0或x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0f(x)00f(x)0所以f(x)的单调递增区间是；单调递减区间是(，0)，.当x0时，f(x)有极小值，且极小值f(0)0；当x时，f(x)有极大值，且极大值f.方法归纳求可导函数单调区间的一般步骤和方法(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f(x)，令f(x)0，求出它在定义域内的一切实数根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f(x)在各个开区间内的符号，根据f(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性1.已知函数f(x)axxln x，且图象在点处的切线斜率为1(e为自然对数的底数)(1)求实数a的值；(2)设g(x)，求g(x)的单调区间；解：(1)f(x)axxln x，f(x)a1ln x，x(0，)，依题意f()a1，所以a1.(2)因为g(x)，其定义域是(0,1)(1，)，所以g(x).设(x)x1ln x，则(x)1.当x1时，(x)10，(x)是增函数，对x1，(x)(1)0，即当x1时，g(x)0，故g(x)在(1，)上为增函数；当0x1时，(x)1(1)0，即当0x0，故g(x)在(0,1)上为增函数所以g(x)的单调递增区间为(0,1)，(1，)考点二由函数的单调性研究参数问题(高频考点)已知aR，函数f(x)(x2ax)ex(xR，e为自然对数的底数)(1)当a2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)是否存在a使函数f(x)为R上的单调递减函数，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由解(1)当a2时，f(x)(x22x)ex，所以f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.令f(x)0，即(x22)ex0，因为ex0，所以x220，解得x.所以函数f(x)的单调递增区间是(，)(2)若函数f(x)在R上单调递减，则f(x)0对xR都成立，即x2(a2)xaex0对xR都成立因为ex0，所以x2(a2)xa0对xR都成立所以(a2)24a0，即a240，这是不可能的故不存在a使函数f(x)在R上单调递减名师点评已知函数的单调性求函数范围可以转化为不等式恒成立问题；f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上f(x)0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解2.已知函数f(x)2x2ln x，其中a为常数(1)若a1，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间1,2上为单调函数，求a的取值范围解：(1)若a1时，f(x)3x2x2ln x，定义域为(0，)，f(x)4x3(x0)当f(x)0，x(0,1)时，函数f(x)3x2x2ln x单调递增当f(x)0，x(1，)时，函数f(x)3x2x2ln x单调递减故函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，)(2)f(x)4x，若函数f(x)在区间1,2上为单调函数，即在1,2上，f(x)4x0或f(x)4x0，即4x0或4x0在1,2上恒成立即4x或4x.令h(x)4x，因为函数h(x)在1,2上单调递增，所以h(2)或h(1)，即或3，解得a0或00，此时f(x)0，函数f(x)单调递减；当x(1，)时，g(x)0，函数f(x)单调递增；当a0时，由f(x)0，即ax2x1a0，解得x11，x21.a当a时，x1x2，g(x)0恒成立，此时f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减；b当0a10.x(0,1)时，g(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递减；x时，g(x)0，函数f(x)单调递增；x时，g(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递减；c当a0时，由于10，此时f(x)0，函数f(x)单调递减；x(1，)时，g(x)0，函数f(x)单调递增综上所述：当a0时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，函数f(x)在(1，)上单调递增当a时，函数f(x)在(0，)上单调递减；当0a0，故单调增区间是(0，)答案：(0，)2函数f(x)x315x233x6的单调减区间为_解析：由f(x)x315x233x6得f(x)3x230x33，令f(x)0，即3(x11)(x1)0，解得1x0，g(x)6x22x1中200恒成立，故f(x)0恒成立，即f(x)在定义域上单调递增，无极值点答案：04函数f(x)2xx32在区间(0,1)内的零点个数是_解析：因为f(x)2xln 23x20，所以函数f(x)2xx32在(0,1)上递增，且f(0)10210.所以有1个零点答案：15已知函数yx33xc的图象与x轴恰有两个公共点，则c_.解析：设f(x)x33xc，对f(x)求导可得，f(x)3x23，令f(x)0，可得x1，易知f(x)在(，1)，(1，)上单调递增，在(1,1)上单调递减若f(1)13c0，可得c2；若f(1)13c0，可得c2.答案：2或26已知函数f(x)ex2xa有零点，则a的取值范围是_解析：由原函数有零点，可转化为方程ex2xa0有解，即方程a2xex有解令函数g(x)2xex，则g(x)2ex，令g(x)0，得xln 2，g(x)0时，xln 2所以g(x)在(，ln 2)上是增函数，在(ln 2，)上是减函数，所以g(x)的最大值为g(ln 2)2ln 22.因此，a的取值范围就是函数g(x)的值域，所以a的取值范围为(，2ln 22答案：(，2ln 227已知函数f(x)x24x3ln x在t，t1上不单调，则t的取值范围是_解析：由题意知f(x)x4，由f(x)0得函数f(x)的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t1)内，函数f(x)在区间t，t1上就不单调，由t1t1或t3t1，得0t1或2t0)，当x0时，有00且a13，解得1a2.答案：10且a1)，如果函数f(x)在区间(，0)内单调递增，那么a的取值范围是_解析：由题意可知x3ax0，x(，0)恒成立，所以a(x2)max，即a.当a1时，函数yx3ax，x(，0)递减，y3x2a0，x(，0)恒成立，所以a(3x2)max，故a1时，函数yx3ax，x(，0)递增，y3x2a0，x(，0)恒成立，所以a(3x2)min，a0，舍去，综上a的取值范围是，1)答案：，1)2已知函数f(x)(xR)满足f(1)1，且f(x)的导函数f(x)，则f(x)的解集为_解析：设F(x)f(x)，则F(1)f(1)110，F(x)f(x)，对任意xR，有F(x)f(x)0，即函数F(x)在R上单调递减，则F(x)0的解集为(1，)，即f(x)的解集为(1，)答案：(1，)3已知f(x)x36x29xabc，ab0；f(0)f(1)0；f(0)f(3)0.其中正确结论的序号是_解析：因为f(x)3x212x93(x1)(x3)，由f(x)0，得1x0，得x3，所以f(x)在区间(1,3)上是减函数，在区间(，1)，(3，)上是增函数又ab0，y极小值f(3)abc0.所以0abc4.所以a，b，c均大于零，或者a0，b0.又x1，x3为函数f(x)的极值点，后一种情况不可能成立，如图所以f(0)0.所以f(0)f(1)0.所以正确结论的序号是.答案：4已知定义在R上的奇函数f(x)，设其导函数为f(x)，当x(，0时，恒有xf(x)F(2x1)的实数x的取值范围是_解析：由F(x)xf(x)，得F(x)f(x)xf(x)xf(x)f(x)0，所以F(x)在(，0)上单调递减，又可证F(x)为偶函数，从而F(x)在0，)上单调递增，故原不等式可化为32x13，解得1x0时，f(x)0，当0x时，f(x)时，f(x)0，函数f(x)单调递增所以函数f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，)(2)当a0时，令f(x)0，得2ax2bx10.由b28a0，得x1，x2.显然x10.当0xx2时，f(x)x2时，f(x)0，函数f(x)单调递增所以函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.综上所述，当a0，b0时，函数f(x)的单调递减区间是(0，)；当a0，b0时，函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是；当a0时，函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.6(选做题)已知函数f(x)x2bsin x2(bR)，F(x)f(x)2，且对于任意实数x，恒有F(x)F(x)0.(1)求函数f(x)的解析式；(2)已知函数g(x)f(x)2(x1)aln x在区间(0,1)上单调递减，求实数a的取值范围解：(1)F(x)f(x)2x2bsin x22x2bsin x，依题