高考数学一轮复习 第二篇 函数、导数及其应用 第6节 二次函数与幂函数课件 理 新人教版.ppt

第6节二次函数与幂函数 考纲展示 知识梳理自测 考点专项突破 易混易错辨析 知识梳理自测把散落的知识连起来 教材导读 1 不等式ax2 bx c 0恒成立的条件是什么 提示 a b 0 c 0或a 0且 b2 4ac0时 不论 取何值 y的值只能是正的 因此幂函数的图象不能出现在第四象限 3 两个幂函数最多有几个交点 提示 两个幂函数最多有三个交点 如y x3与y x 知识梳理 1 二次函数 1 定义形如的函数叫做二次函数 2 表示形式 一般式 y 顶点式 y 其中为抛物线顶点坐标 零点式 y 其中x1 x2是抛物线与x轴交点的横坐标 y ax2 bx c a 0 ax2 bx c a 0 a x h 2 k a 0 h k a x x1 x x2 a 0 2 幂函数 1 幂函数的概念形如y x r 的函数称为幂函数 其中x是 为 2 常见幂函数的图象与性质 自变量 常数 重要结论 1 二次函数图象对称轴的判断方法 1 对于二次函数y f x 对定义域内所有x 都有f x1 f x2 那么函数y f x 的图象关于x 对称 2 对于二次函数y f x 对定义域内所有x 都有f a x f a x 成立的充要条件是函数y f x 的图象关于直线x a对称 a为常数 2 幂函数y x 在第一象限的图象特征 1 1时 图象过 0 0 1 1 下凸递增 例如y x3 2 0 1时 图象过 0 0 1 1 上凸递增 例如y 3 0 1 时的图象是抛物线型 1时的图象是竖直抛物线型 0 1时的图象是横卧抛物线型 0时的图象是双曲线型 双基自测 1 幂函数y f x 的图象过点 4 2 则幂函数y f x 的图象是 c d 2 下列说法中 正确的是 a 幂函数的图象都经过点 1 1 和点 0 0 b 当 0时 函数y x 的图象是一条直线 c 若幂函数y x 的图象关于原点对称 则y x 在定义域内y随x的增大而增大 d 幂函数y x 当 0时 在第一象限内函数值随x值的增大而减小 解析 对于a 0时 幂函数y x 的图象经过点 1 1 和点 0 0 0时 幂函数y x 的图象经过点 1 1 所以选项a错误 对于b 0时 函数y x x 0 其图象是一条直线去掉点 0 1 所以选项b错误 对于c 当 1时 y x 1的图象关于原点对称 y x 1在定义域内y随x的增大而增大不成立 所以选项c错误 对于d 当 0时 幂函数y x 在第一象限内函数值随x值的增大而减小 所以选项d正确 故选d 3 若函数f x x2 2ax在区间 0 1 上是增函数 在区间 3 4 上是减函数 则实数a的取值范围是 a 0 3 b 1 3 c 1 3 d 0 4 解析 因为函数f x x2 2ax在区间 0 1 上是增函数 在区间 3 4 上是减函数 所以对称轴x a应在x 1的右侧 x 3的左侧或与x 1 x 3重合 所以1 a 3 故选c c 4 已知函数f x x2 bx c的图象的对称轴为直线x 2 则 a f 0 f 1 f 3 b f 3 f 1 f 0 c f 3 f 1 f 0 d f 0 f 1 f 3 d 解析 因为函数f x x2 bx c的图象是开口向下 对称轴为直线x 2的抛物线 所以f 1 f 3 且f 0 f 1 故选d 5 已知幂函数f x 的图象过点 2 则函数f x 考点专项突破在讲练中理解知识 考点一 幂函数图象与性质 例1 1 若四个幂函数y xa y xb y xc y xd在同一坐标系中的图象如图 则a b c d的大小关系是 a d c b a b a b c d c d c a b d a b d c 解析 1 在第一象限内 x 1的右侧部分的图象 图象由下至上 幂指数增大 所以a b c d 故选b 2 2017 湖北襄阳质检 已知幂函数f x xa的图象经过点 2 4 则下列判断中不正确的是 a 函数图象经过点 1 1 b 当x 1 2 时 函数f x 的值域是 0 4 c 函数满足f x f x 0 d 函数f x 的单调减区间为 0 解析 2 因为幂函数y xa的图象经过点 2 4 所以4 2a 即22 2a 解得a 2 故函数的解析式为y x2 故函数图象经过点 1 1 a正确 当x 1 2 时 函数f x 的值域是 0 4 b正确 由于f x x 2 x2 函数不满足f x f x 0 c错 函数f x 的单调减区间为 0 正确 故选c 反思归纳 1 求解与幂函数图象有关的问题 应根据幂函数在第一象限内的函数图象特征 结合其奇偶性 单调性等性质研究 2 利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧 结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂 选择适当的幂函数 借助其单调性进行比较 答案 1 a 考点二 二次函数的图象与性质 考查角度1 二次函数图象的识别 例2 若一次函数y ax b的图象经过第二 三 四象限 则二次函数y ax2 bx的图象只可能是 解析 因为一次函数y ax b的图象经过第二 三 四象限 所以a 0 b 0 所以二次函数的图象开口向下 对称轴方程x 0 只有选项c适合 故选c 反思归纳研究二次函数图象应从 三点一线一开口 三个方面分析 三点 中有一个点是顶点 另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点 常取与x轴的交点 一线 是指对称轴这条直线 一开口 是指抛物线的开口方向 考查角度2 二次函数图象的应用 例3 导学号38486033 2016 吉林松原模拟 设函数f x x2 x a a 0 已知f m 0 d f m 1 0 解析 因为f x 的对称轴为x f 0 a 0 所以f x 的大致图象如图所示 由f m 0 所以f m 1 f 0 0 故选c 反思归纳求解与二次函数有关的不等式问题 可借助二次函数的图象特征分析不等式成立的条件 考查角度3 二次函数的值域 最值 例4 当a 时 函数f x x2 2ax a的定义域为 1 1 值域为 2 2 答案 1 反思归纳解决 含参数的二次函数的值域与最值 问题一般先用配方法化为y a x h 2 k a 0 的形式 根据对称轴方程x h和所给区间并结合图象求解 1 对称轴和区间都固定时 根据单调性和图象直接求解 2 若区间固定 对称轴变动 这时要讨论顶点横坐标是否在区间中 若对称轴固定 区间变动 这时要讨论区间与对称轴的位置关系 讨论的目的是为了明确对称轴和区间的位置关系 再根据函数单调性求最值或值域 以y ax2 bx c a 0 在区间 m n 上的最值为例 有如下方法和结论 考查角度4 二次函数零点的分布问题 例5 导学号38486035已知关于x的方程 m 3 x2 4mx 2m 1 0的两根异号 且负根的绝对值比正根大 则实数m的取值范围是 答案 m 3 m 0 反思归纳研究二次函数零点的分布问题 应结合二次函数的图象与二次方程根的关系数形结合求解 具体方法如下 只讨论a 0的情况 a0的情况 考查角度5 二次函数解析式的求法 例6 导学号18702065已知二次函数f x 的二次项系数为a a 0 且方程f x 2x的两个实数根分别为1和3 若方程f x 6a 0有两个相等的实数根 则f x 的解析式为 解析 因为方程f x 2x的两个实数根分别为1和3 所以设f x 2x a x 1 x 3 则f x a x 1 x 3 2x ax2 2 4a x 3a 由方程f x 6a 0 得ax2 2 4a x 9a 0 因为方程f x 6a 0有两个相等的实数根 所以 2 4a 2 4a 9a 0 整理 得5a2 4a 1 0 解得a 1或a 舍去 故f x 的解析式为f x x2 6x 3 答案 f x x2 6x 3 反思归纳求二次函数解析式常用方法 1 当已知抛物线上任意三点时 通常设所求二次函数为一般式y ax2 bx c a b c为常数 a 0 然后列出三元一次方程组求解 2 当已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大 小 值 则设所求二次函数为顶点式y a x h 2 k 其顶点是 h k a 0 3 当已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为 x1 0 x2 0 则设所求二次函数为交点式y a x x1 x x2 a 0 考查角度6 二次函数与不等式恒成立问题 例7 已知二次函数f x ax2 bx 1 a b r x r 1 若函数f x 的最小值为f 1 0 求f x 的解析式 并写出单调区间 2 在 1 的条件下 f x x k在区间 3 1 上恒成立 试求k的取值范围 解 2 由题意知 x2 2x 1 x k在区间 3 1 上恒成立 即k x2 x 1在区间 3 1 上恒成立 令g x x2 x 1 x 3 1 g x 在区间 3 1 上是减函数 则g x min g 1 1 所以k 1 故k的取值范围是 1 反思归纳 1 含参数的二次不等式给定区间恒成立问题 若能分离参数 则分离参数转化为最值问题 不能分离参数时 则直接转化为与函数最值有关的不等式 2 二次函数在r上的恒成立问题 可结合其图象转化为与判别式的符号有关的不等式 反思归纳求解与二次函数有关的复合函数问题 应结合二次函数的性质以及复合函数的性质综合分析解答 备选例题 例1 2017 枣庄一模 已知函数f x 是定义在r上的偶函数 当x 0时 f x x2 2x 如果函数g x f x m m r 恰有4个零点 则m的取值范围是 解析 函数g x f x m m