它山之石可以攻玉_经典面试题中的数学思维.pdf

它山之石 可以攻玉 经典面试题中的数学思维 彭 刚 广西师范大学 541001 近年来 面对日益激烈的全球化竞争 如何选 拔出优秀的面试者是世界著名公司共同关注的问 题 这些视人才如生命的公司通过各种方式考察 面试者 因而涌现出很多优秀的面试题 并常有数 学思维蕴涵其中 折射出当今社会对公民数学应 用意识以及数学素养的要求 值得数学教育工作 者借鉴与思考 1 快速估算 面试题 Microsoft 请估算一下上海东方明 珠电视塔的质量 微软公司在复旦大学举行的一场校园招聘 第一轮笔试题目中就有这道令应试者困惑的 东 方明珠 题 难倒了众多学子 这类题目有不同的 版本 比如 估算一下长江里的水的质量 或者 美 国有多少辆车 这是大的 宏观方面的问题 小的 方面比如 估算一下一个行进在小雨中的人 5 分 钟内身上淋到的雨的质量 等等 据上海微软软件有限公司负责招聘考试的软 件研发部经理蔡先生说 就东方明珠这道题来 说 它和一般的谜语或智力题还是有区别的 这类 题为快速估算题 主要考的是快速估算的能力 这 是开发软件必备的能力之一 重要的是对考生得 出这个结果的过程也就是方法的考察 蔡经理说了一种比较合理的答法 他首先在 纸上画出东方明珠的草图 然后快速估算支架和 各个支柱的高度 以及球的半径 算出各部分体 积 然后进行各部分密度运算 最后相加得出一个 结果 蔡经理认为 像这样的题目 包括一些推理 题 考的都是人解决问题的能力 不是哪道题你记 住了答案就可以的 启示 近年来 新的课程标准十分重视学生 估算能力的培养 像上述蕴涵建立数学模型思想 的估算 较好地综合考查了学生的数学素养 链接 PISA 关于估算能力的试题 一次摇滚音乐会上 听众们都被集中在一个 长 100米 宽 50 米的长方形区域里 由于歌迷非 常多 他们必须很紧密地站在一起 请你估计一下 大概有多少人参加了这场音乐会 2 逻辑推理 面试题 Microsoft 小明和小强都是张老师的学生 张老师的生 日是 M 月 N 日 二人都知道张老师的生日是下 列 10 组中的一天 张老师把 M 值告诉了小明 把 N 值告诉了小强 张老师问他们是否知道他的生 日是哪一天 3 月 4 日 3月 5 日 3 月 8 日 6 月 4 日 6月 7 日 9 月 1 日 9月 5 日 12 月 1 日 12 月 2 日 12 月 8 日 小明说 如果我不知道的话 小强肯定也不知 道 小强说 本来我也不知道的 但是现在我知道 了 小明说 哦 那我也知道了 请根据以上对话推断出张老师的生日是哪一 天 分析 由于小明肯定 如果自己不知道的话 12010 年 第 49 卷 第 4 期 数学通报 PISA Prog ram for International Student Assessment 是由经济合作与发展组织 OECD 发起的一项以 15 岁中学生为考察对象 的国际性学生评价项目 主要了解他们所掌握的知识与技能为将来成人生活的准备情况 小强也不知道 因而排除 6 月和 12 月的可能 否 则在 N 等于 2 或 7 的情况下 即使在小明不知道 张老师生日的情况下 小强也知道 于是只考虑 下面 5 种可能 3月 4日 3 月 5 日 3月 8日 9月 1日 9 月 5 日 由于小强说 本来我也不知道的 但是现在我 知道了 因而排除 N 等于 5 的情况 只考虑下面 3种可能 3月 4日 3 月 8 日 9月 1日 由于小明最后说也知道了张老师的生日 因 而 M 等于 9 答案是 9 月 1 日 启示 此题考查了观察和推断能力 其中还 蕴涵了逆向思维 目前 我国高中数学新课程中 简易逻辑 主要内在是四种命题及其相互关系 充要条件等等 上述福尔摩斯式题目可以成为有 益的补充 它既具有趣味性 又具有挑战性 链接 有三筐水果 第一筐装的全是苹果 第 二筐装的全是橘子 第三筐是橘子与苹果混在一 起 筐上的标签都是骗人的 比如 如果标签写的 是橘子 那么可以肯定筐里不会只有橘子 可能还 有苹果 你的任务是拿出其中一筐 从里面只拿 一只水果 然后正确写出三筐水果的标签 3 递推归纳 面试题 IBM 村子里有 50 个人 每个人有 一条狗 这 50 条狗中有病狗 这种病不会传染 每个人都可以观察其他的 49 条狗以判断他们是 否生病 但不能看自己的狗 观察后的结果不能交 流 也不能通知病狗的主人 主人一旦推算出自己 的狗是病狗 就要枪毙自己的狗 而且每个人只有 权力枪毙自己的狗 没有权力处理别人的狗 已知 第一天 第二天都没有枪响 到了第三天传来一阵 枪声 问共有几条病狗 分析 假设只有 1 条病狗 病狗的主人会看 到其他狗都没有病 便可推算出自己的狗有病 所 以第一天就会有枪响 因为没有枪响 说明病狗数 大于 1 假设只有 2 条病狗 病狗的主人都会看到只 有一条病狗 因为第一天没有听到枪响 所以病狗 数大于 1 因而病狗的主人会知道自己的狗是病 狗 第二天便会有枪响 既然第二天也没有枪响 说明病狗数大于 2 同理可知 如果第三天枪响 则有 3条病狗 实际上 我们还可以证明如果有 k 条病狗 则 在第 k 天枪响 启示 蕴涵了递推归纳以及逆向思维 集知识 性 趣味性于一体 是数学课堂教学的良好素材 链接 华罗庚先生的 帽子问题 有位老师想辨别他的 3 个学生谁更聪明 他 采用如下的方法 事先让他们看到 3 顶白帽子和 2 顶黑帽子 然后叫他们闭上眼睛 分别给戴上帽 子并藏起剩下的 2 顶帽子 最后叫他们睁开眼睛 通过看别人的帽子说出自己所戴帽子的颜色 3 个学生互相看了看 都踌躇了一会 异口同声地说 出自己戴的是白帽子 问他们如何猜出的 4 优化设计 面试题 Google 有一个 100 层高的大厦 从 这个大厦的某一层扔下玻璃围棋子恰好就会碎 称这一层为临界层 请你用手中的两枚玻璃围 棋子 找出一个最优的策略 来得知那个临界层 分析 题目要求策略最优 因而要使得在最 坏的情况下投掷的总次数 Tmax最少 首先考虑只 有一个棋子的情况 条件若为多枚棋子则均可转 化为一枚棋子的情况 1 一枚棋子 棋子必须在临界层扔下的时候 碎 所以唯一的策略是从第 1 层开始往上逐层投 掷 此时 Tmax 99 临界层为第 99 层或第 100 层 2 两枚棋子 利用多的这枚棋子缩小查找的 范围 因而把 100 层分成若干段 先用一枚棋子来 确定临界层所在的段 称为临界段 再利用另一 枚棋子确定临界层 总的投掷次数等于确定临界 段的次数 n1与确定临界层的次数 n2的和 现把 100 层平均分成 n 段 n 是 100 的正因 数 有 Tmax n 1 100 n 1 n 100 n 2 由均值不等式可知 n 10 时 Tmax 18 为最 小值 此时临界段为第 80 90 层 临界层为第 89 2数学通报 2010 年 第 49 卷 第 4 期 由题可知棋子在第 100 层一定会碎 所以如果从第 99 层扔下不碎的话 便可知道临界层即为第 100 层 此外 我们还假 定存在临界层为第 1层 即棋子从第 1 层扔下便碎的情况 新课改 高师数学教育专业学生终身 数学素质的自组织生成 基于超循环理论的模型构建 李艳琴1 熊世桓1 项昭2 1 贵州师范学院数计学院 550018 2 贵州师范大学数计学院 550001 20 世纪 60 年代 法国著名教育家保尔 郎 格朗在其代表作 终身教育引论 中提出了 终身 教育 的思想和理论 这种 终身教育 的教育理 念 对世界各国的教育实践和研究产生了深远的 层 如果把 100 层分成 12 段 100 9 11 1 1 9 10 18 91 99 100 与上述 n 10 的情 况相比 虽然每段的层数在减少 从而 n1有所减 少 但所分的段数有所增加 从而 n2有所增加 因而 Tmax并没有减少 如果把 100 层分成其他段 比如 9 段 100 12 8 4 情况也如此 根据上面的讨论 如何把 100 层合理 分段 是解决问题的关键 上述对大楼 100 层所分段数 的调整并没有使得 Tmax 18 减少的原因在于每 段包含的层数比较均匀 图 1 因而出现 nl与 n2 此消彼长的情况 鉴此 我们作以下方式的调整 图 1 图 2 把 100 层分成若干段 从下往上每段的层数 逐渐少 1 图 2 这样就使得在最坏的情况下 n1 增加 1 的同时 n2减少 1 因而 n1与 n2的总和不 变 等于第一段的层数 n 为了确定 n 的值 只需 解不等式 n n 1 1 100 得到 n 14 从而有如下最优策略 从第 14 层开始扔第一枚棋子 如果没有碎则 从第 14 13 27 层开始扔 如果还没有碎则从 14 13 12 39 层开始扔 依此类推 此时 Tmax 14 临界层可为第 27 层 第 39 层 第 99 层 启示 优化设计是提高程序运行效率的关 键 这在高中新课程算法初步内容中有较好的体 现 特别地 此题还蕴涵了化归以及逐步调整的数 学思想方法 融合了不等式与数列的有关知识 的 确是一道值得借鉴的经典面试题 推广 从上面的讨论可以发现此题的关键是 高阶 等差数列 一枚棋子 1 1 1 1 1 n i 1 C0i 100 两枚棋子 1 2 3 4 5 n