高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.8 立体几何中的向量方法（二）求空间角课件 理 北师大版.ppt

8 8立体几何中的向量方法 二 求空间角和距离 第八章立体几何与空间向量 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 2 直线与平面所成角的求法设直线l的方向向量为a 平面 的法向量为n 直线l与平面 所成的角为 a与n的夹角为 则sin cos 1 两条异面直线所成角的求法设a b分别是两异面直线l1 l2的方向向量 则 知识梳理 2 如图 n1 n2分别是二面角 l 的两个半平面 的法向量 则二面角的大小 满足 cos 二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角 或其补角 3 求二面角的大小 1 如图 ab cd分别是二面角 l 的两个面内与棱l垂直的直线 则二面角的大小 cos n1 n2 利用空间向量求距离 供选用 1 两点间的距离设点a x1 y1 z1 点b x2 y2 z2 知识拓展 2 点到平面的距离如图所示 已知ab为平面 的一条斜线段 n为平面 的法向量 则b到平面 的距离为 题组一思考辨析1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角 2 直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角 3 两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角 4 两异面直线夹角的范围是 直线与平面所成角的范围是 二面角的范围是 0 5 若二面角 a 的两个半平面 的法向量n1 n2所成角为 则二面角 a 的大小是 基础自测 1 2 4 5 6 3 题组二教材改编2 已知两平面的法向量分别为m 0 1 0 n 0 1 1 则两平面所成的二面角为a 45 b 135 c 45 或135 d 90 1 2 4 5 6 解析 3 答案 两平面所成二面角为45 1 2 4 5 6 答案 3 如图 正三棱柱 底面是正三角形的直棱柱 abc a1b1c1的底面边长为2 侧棱长为2 则ac1与侧面abb1a1所成的角为 3 解析 1 2 4 5 6 3 c1ad为ac1与平面abb1a1所成的角 题组三易错自纠4 在直三棱柱abc a1b1c1中 bca 90 m n分别是a1b1 a1c1的中点 bc ca cc1 则bm与an所成角的余弦值为 解析 1 2 4 5 6 答案 3 1 2 4 5 6 3 解析以点c为坐标原点 ca cb cc1所在直线分别为x轴 y轴 z轴 建立如图所示的空间直角坐标系 设直三棱柱的棱长为2 则可得a 2 0 0 b 0 2 0 m 1 1 2 n 1 0 2 0 90 30 5 已知向量m n分别是直线l和平面 的方向向量和法向量 若cos m n 则l与 所成的角为 1 2 4 5 6 答案 3 解析 30 6 2018 马鞍山月考 过正方形abcd的顶点a作线段pa 平面abcd 若ab pa 则平面abp与平面cdp所成的角为 解析 1 2 4 5 6 3 答案 45 解析如图 以点a为坐标原点 ab ad ap所在直线分别为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系 设ab pa 1 则a 0 0 0 d 0 1 0 p 0 0 1 由题意 知ad 平面pab 设e为pd的中点 连接ae 则ae pd 又cd 平面pad cd ae 从而ae 平面pcd 1 2 4 5 6 3 题型分类深度剖析 典例如图 四边形abcd为菱形 abc 120 e f是平面abcd同一侧的两点 be 平面abcd df 平面abcd be 2df ae ec 1 证明 平面aec 平面afc 题型一求异面直线所成的角 师生共研 证明 证明如图所示 连接bd 设bd ac g 连接eg fg ef 在菱形abcd中 不妨设gb 1 由 abc 120 由be 平面abcd ab bc 2 可知ae ec 从而eg2 fg2 ef2 所以eg fg 又ac fg g ac fg 平面afc 所以eg 平面afc 因为eg 平面aec 所以平面aec 平面afc 2 求直线ae与直线cf所成角的余弦值 解答 解如图 以g为坐标原点 分别以gb gc所在直线为x轴 y轴 用向量法求异面直线所成角的一般步骤 1 选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系 2 确定异面直线上两个点的坐标 从而确定异面直线的方向向量 3 利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值 4 两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值 证明 四边形abcd是菱形 bd ac ae 平面abcd bd 平面abcd bd ae 又 ac ae a ac ae 平面acfe bd 平面acfe 跟踪训练 2017 广东五校诊断 如图所示 菱形abcd中 abc 60 ac与bd相交于点o ae 平面abcd cf ae ab ae 2 1 求证 bd 平面acfe 证明 2 当直线fo与平面bed所成的角为45 时 求异面直线of与be所成角的余弦值的大小 解答 解以o为原点 oa ob所在直线分别为x轴 y轴 过o且平行于cf的直线为z轴 向上为正方向 建立空间直角坐标系 设平面ebd的法向量为n x y z 令z 1 则n 2 0 1 典例 2016 全国 如图 四棱锥p abcd中 pa 底面abcd ad bc ab ad ac 3 pa bc 4 m为线段ad上一点 am 2md n为pc的中点 1 证明 mn 平面pab 证明 题型二求直线与平面所成的角 师生共研 取bp的中点t 连接at tn 又ad bc 故tn綊am 四边形amnt为平行四边形 于是mn at 因为at 平面pab mn 平面pab 所以mn 平面pab 2 求直线an与平面pmn所成角的正弦值 解答 解取bc的中点e 连接ae 由ab ac得ae bc 以a为坐标原点 ae ad ap所在直线分别为x轴 y轴 z轴 建立如图所示的空间直角坐标系 设n x y z 为平面pmn的法向量 利用向量法求线面角的方法 1 分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量 转化为求两个方向向量的夹角 或其补角 2 通过平面的法向量来求 即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角 取其余角就是斜线和平面所成的角 跟踪训练如图 在直棱柱abcd a1b1c1d1中 ad bc bad 90 ac bd bc 1 ad aa1 3 1 证明 ac b1d 证明 证明易知ab ad aa1两两垂直 如图 以a为坐标原点 ab ad aa1所在直线分别为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系 设ab t 则相关各点的坐标为a 0 0 0 b t 0 0 b1 t 0 3 c t 1 0 c1 t 1 3 d 0 3 0 d1 0 3 3 2 求直线b1c1与平面acd1所成角的正弦值 解答 设直线b1c1与平面acd1所成的角为 设n x y z 是平面acd1的一个法向量 题型三求二面角 师生共研 典例 2017 全国 如图 四棱锥p abcd中 侧面pad为等边三角形且垂直于底面abcd ab bc ad bad abc 90 e是pd的中点 1 证明 直线ce 平面pab 证明取pa的中点f 连接ef bf 证明 所以ef綊bc 四边形bcef是平行四边形 ce bf 又bf 平面pab ce 平面pab 故ce 平面pab 2 点m在棱pc上 且直线bm与底面abcd所成角为45 求平面mab与平面abd夹角的余弦值 解答 设m x y z 0 x 1 则 因为bm与底面abcd所成的角为45 而n 0 0 1 是底面abcd的法向量 即 x 1 2 y2 z2 0 设m x0 y0 z0 是平面abm的法向量 则 由图可知平面mab与平面abd的夹角是锐角 利用向量法计算二面角大小的常用方法 1 找法向量法 分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量 然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小 但要注意结合实际图形判断所求角的大小 2 找与棱垂直的方向向量法 分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量 则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小 跟踪训练 2017 天津 如图 在三棱锥p abc中 pa 底面abc bac 90 点d e n分别为棱pa pc bc的中点 m是线段ad的中点 pa ac 4 ab 2 1 求证 mn 平面bde 证明 证明如图 以a为原点 分别以ab ac ap所在直线为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系 由题意 可得a 0 0 0 b 2 0 0 c 0 4 0 p 0 0 4 d 0 0 2 e 0 2 2 m 0 0 1 n 1 2 0 设n x y z 为平面bde的一个法向量 因为mn 平面bde 所以mn 平面bde 2 求平面cem与平面emn夹角的正弦值 解答 解易知n1 1 0 0 为平面cem的一个法向量 设n2 x1 y1 z1 为平面emn的一个法向量 不妨设y1 1 可得n2 4 1 2 解答 解由题意 设ah h 0 h 4 题型四求空间距离 供选用 师生共研 典例 2018 株洲模拟 如图 bcd与 mcd都是边长为2的正三角形 平面mcd 平面bcd ab 平面bcd ab 2 求点a到平面mbc的距离 解答 解如图 取cd的中点o 连接ob om 因为 bcd与 mcd均为正三角形 所以ob cd om cd 又平面mcd 平面bcd 平面mcd 平面bcd cd om 平面mcd 所以mo 平面bcd 以o为坐标原点 直线oc bo om分别为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系 因为 bcd与 mcd都是边长为2的正三角形 设平面mbc的法向量为n x y z 求点面距一般有以下三种方法 1 作点到面的垂线 点到垂足的距离即为点到平面的距离 2 等体积法 3 向量法 其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便 跟踪训练 2018 武昌质检 如图所示 在四棱锥p abcd中 侧面pad 底面abcd 侧棱pa pd pa pd 底面abcd为直角梯形 其中bc ad ab ad ab bc 1 o为ad的中点 1 求直线pb与平面poc所成角的余弦值 解答 解在 pad中 pa pd o为ad的中点 po ad 又 侧面pad 底面abcd 平面pad 平面abcd ad po 平面pad po 平面abcd 在直角梯形abcd中 o为ad的中点 oa bc 1 oc ad 以o为坐标原点 oc所在直线为x轴 od所在直线为y轴 op所在直线为z轴建立空间直角坐标系 如图所示 oa op oa oc op oc o oa 平面poc 则p 0 0 1 a 0 1 0 b 1 1 0 c 1 0 0 d 0 1 0 2 求b点到平面pcd的距离 解答 设平面pcd的法向量为u x y z 取z 1 得u 1 1 1 解答 设平面caq的法向量为m x1 y1 z1 取z1 1 得m 1 1 1 平面cad的一个法向量为n 0 0 1 整理化简 得3 2 10 3 0 典例 12分 如图 在四棱锥p abcd中 pa 底面abcd ad ab ab dc ad dc ap 2 ab 1 点e为棱pc的中点 1 证明 be dc 2 求直线be与平面pbd所成角的正弦值 3 若f为棱pc上一点 满足bf ac 求平面fab与平面abp夹角的余弦值 利用空间向量求解空间角 答题模板 规范解答 答题模板 1 证明由题意 以点a为原点 ab ad ap所在直线分别为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系如图 规范解答 可得b 1 0 0 c 2 2 0 d 0 2 0 p 0 0 2 1分 设n x y z 为平面pbd的一个法向量 设n1 x1 y1 z1 为平面fab的一个法向量 不妨令z1 1 可得n1 0 3 1 取平面abp的法向量n2 0 1 0 答题模板利用向量求空间角的步骤 第一步 建立空间直角坐标系 第二步 确定点的坐标 第三步 求向量 直线的方向向量 平面的法向量 坐标 第四步 计算向量的夹角 或函数值 第五步 将向量夹角转化为所求的空间角 第六步 反思回顾 查看关键点 易错点和答题规范 课时作业 1 2018 抚顺调研 在正方体a1b1c1d1 abcd中 ac与b1d所成角的大小为 基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析以a点为坐标原点 ab ad aa1所在直线分别为x轴 y轴 z轴 建立如图所示的空间直角坐标系 设正方体的边长为1 则a 0 0 0 c 1 1 0 b1 1 0 1 d 0 1 0 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析以c点为坐标原点 ca cb cc1所在直线分别为x轴 y轴 z轴 建立如图所示的空间直角坐标系 则d 1 0 2 b1 0 1 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 在正方体abcd a1b1c1d1中 点e为bb1的中点 则平面a1ed与平面abcd夹角的余弦值为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析以a为原点 ab ad aa1所在直线分别为x轴 y轴 z轴 建立如图所示的空间直角坐标系 设棱长为1 设平面a1ed的一个法向量为n1 1 y z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 n1 1 2 2 平面abcd的一个法向量为n2 0 0 1 4 2017 西安调研 已知六面体abc a1b1c1是各棱长均等于a的正三棱柱 d是侧棱cc1的中点 则直线cc1与平面ab1d所成的角为a 45 b 60 c 90 d 30 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析如图所示 取ac的中点n 连接nb 以n为坐标原点 nb nc所在直线分别为x轴 y轴 建立空间直角坐标系 设平面ab1d的法向量为n x y z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 直线与平面所成角的范围是 0 90 直线cc1与平面ab1d所成的角为45 5 2018 大同模拟 设正方体abcd a1b1c1d1的棱长为2 则点d1到平面a1bd的距离是 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析如图 以点d为坐标原点 da dc dd1所在直线分别为x轴 y轴 z轴 建立坐标系 则d 0 0 0 d1 0 0 2 a1 2 0 2 b 2 2 0 6 二面角的棱上有a b两点 直线ac bd分别在这个二面角的两个半平面内 且都垂直于ab 已知ab 4 ac 6 bd 8 cd 2 则该二面角的大小为a 150 b 45 c 60 d 120 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 如图所示 在三棱柱abc a1b1c1中 aa1 底面abc ab bc aa1 abc 90 点e f分别是棱ab bb1的中点 则直线ef和bc1所成的角是 答案 60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析以b点为坐标原点 以bc所在直线为x轴 ba所在直线为y轴 bb1所在直线为z轴 建立空间直角坐标系 设ab bc aa1 2 则c1 2 0 2 e 0 1 0 f 0 0 1 异面直线所成角的范围是 0 90 ef和bc1所成的角为60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 在正四棱柱abcd a1b1c1d1中 aa1 2ab 则直线cd与平面bdc1所成角的正弦值为 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析以d为坐标原点 da dc dd1所在直线分别为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系 如图 设aa1 2ab 2 则d 0 0 0 c 0 1 0 b 1 1 0 c1 0 1 2 设平面bdc1的一个法向量为n x y z 令y 2 得平面bdc1的一个法向量为n 2 2 1 设cd与平面bdc1所成的角为 9 已知点e f分别在正方体abcd a1b1c1d1的棱bb1 cc1上 且b1e 2eb cf 2fc1 则平面aef与平面abc夹角的正切值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 解析方法一延长fe cb相交于点g 连接ag 如图所示 设正方体的棱长为3 则gb bc 3 作bh ag于点h 连接eh 则 ehb即为所求两平面的夹角 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二如图 以点d为坐标原点 da dc dd1所在直线分别为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系 设da 1 由已知条件得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设平面aef的法向量为n x y z 平面aef与平面abc的夹角为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令y 1 z 3 x 1 则n 1 1 3 取平面abc的法向量为m 0 0 1 10 2017 河北石家庄二模 设二面角 cd 的大小为45 a点在平面 内 b点在cd上 且 abc 45 则ab与平面 所成角的大小为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 30 解析 解析如图 作ae 平面 于点e 在平面 内过e作ef cd于点f 连接af 因为ae cd ae ef e 所以cd 平面aef 所以af cd 所以 afe为二面角 cd 的平面角 所以 afe 45 因为 abc 45 所以 baf 45 连接be 则 abe为ab与平面 所成的角 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又因为 abe为锐角 所以 abe 30 11 2017 洛阳二模 已知三棱锥a bcd ad 平面bcd bd cd ad bd 2 cd 2 e f分别是ac bc的中点 p为线段bc上一点 且cp 2pb 1 求证 ap de 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 证明作pg bd交cd于g 连接ag ad 平面bcd ad dc dag 30 在rt adc中 ac2 ad2 cd2 4 12 16 ac 4 又e为ac的中点 de ae 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又ad 2 ade 60 ag de ad 平面bcd ad bd 又 bd cd ad cd d ad cd 平面adc bd 平面adc pg 平面adc pg de 又 ag pg g ag pg 平面agp de 平面agp 又ap 平面agp ap de 2 求直线ac与平面def所成角的正弦值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解以d为坐标原点 db dc da所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 则d 0 0 0 a 0 0 2 b 2 0 0 设平面def的法向量为n x y z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设直线ac与平面def所成的角为 12 2017 河南质检 如图 在四棱锥p abcd中 pa 底面abcd 底面abcd是直角梯形 adc 90 ad bc ab ac ab ac 点e在ad上 且ae 2ed 1 已知点f在bc上 且cf 2fb 求证 平面pef 平面pac 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 证明 ab ac ab ac acb 45 底面abcd是直角梯形 adc 90 ad bc 又 ae bf 四边形abfe是平行四边形 ab ef ac ef pa 底面abcd pa ef pa ac a pa ac 平面pac ef 平面pac 又ef 平面pef 平面pef 平面pac 2 平面apb与平面pbe夹角的余弦值为多少时 直线pc与平面pab所成的角为45 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解 pa ac ac ab pa ab a pa ab 平面pab ac 平面pab 则 apc为pc与平面pab所成的角 若pc与平面pab所成的角为45 取bc的中点g 连接ag 则ag bc 以a为坐标原点 ag ad ap所在直线分别为x轴 y轴 z轴 建立如图所示的空间直角坐标系 设平面pbe的法向量为n x y z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13 2017 全国 已知直三棱柱abc a1b1c1中 abc 120 ab 2 bc cc1 1 则异面直线ab1与bc1所成角的余弦值为 技能提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析方法一将直三棱柱abc a1b1c1补形为直四棱柱abcd a1b1c1d1 如图 所示 连接ad1 b1d1 bd 由题意知 abc 120 ab 2 bc cc1 1 图 在 abd中 由余弦定理知bd2 22 12 2 2 1 cos60 3 又ab1与ad1所成的角即为ab1与bc1所成的角 图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二以b1为坐标原点 b1c1所在的直线为x轴 垂直于b1c1的